Алгоритм нахождения сильных компонент графа

Шаг 1. G – данный граф. Для G построить матрицу достижимости R. Получить матрицу контрдостижимости Q=R^T.

Шаг 2. Положить С=RQ, где  – поэлементное умножение матриц.

Шаг 3. Преобразовать матрицу С к блочно-диагональ-ному виду путем перестановки строк и столбцов. Каждая из диагональных подматриц соответствует сильной компоненте графа G. Останов.

Граф G*=(X*,V*) определяется так: каждая его вершина представляет множество вершин некоторой сильной компоненты графа G, дуга (x_i*, x_j*) существует в G* тогда и только тогда, когда в G существует дуга (x_i, x_j), такая, что x_i принадлежит компоненте, соответствующей вершине x_i*, а x_j – компоненте, соответствующей вершине x_j*. Граф G* называют конденсацией графа G.

Пример решения задачи

Для графа построить матрицу смежности, матрицу инцидентности; получить матрицу достижимостей; найти сильные компоненты и построить граф конденсации.

Решение. Матрица смежности графа имеет вид:

Матрица инцидентности графа имеет вид:

Построим матрицу достижимостей R. Для этого найдем множества достижимостей для каждой вершины графа по формуле (1), используя матрицу смежности А.

Матрица достижимостей графа примет вид:

Найдем сильные компоненты графа. Матрица контрдостижимостей Q=R^T

Получим матрицу С, осуществив поэлементное умножение матриц R и Q. Матрица С примет вид:

Преобразуем полученную матрицу C к блочно-диагональному виду. Поменяем местами 1-й и 3-й столбцы матрицы.

Поменяем местами 1-ю и 3-ю строчки матрицы, получим

Из преобразованной матрицы видно, что в графе можно выделить три сильные компоненты:

Построим граф конденсации, вершинами которого сильные компоненты графа, т. е.

. Так как в исходном графе существует дуга (x₂, x₁), то в графе конденсации будет дуга, связывающая вершины . Дуга (x₂, x₃) позволяет сформировать дугу ( ) графа конденсации. Дуга (x₃, x₄) позволяет сформировать дугу ( ) графа конденсации. Граф конденсации исходного графа примет вид (рис. 7):