13. Применение рядов к раскрытию неопределенностей

Следует заметить, что правило Лопиталя является сильным средством вычисления пределов, но оно не заменяет полностью приемы вычисления пределов.

Действительно, с одной стороны, изучение раздела курса высшей математики "Ряды" [5] тесно связано с теорией пределов. Почти все признаки сходимости числовых рядов, а также отыскание области сходимости функциональных рядов (формулы для вычисления радиуса сходимости) основаны на вычислении пределов функций или их отношений. Поэтому рассмотренные выше методы раскрытия неопределенностей как нельзя лучше способствуют изучению темы "Ряды".

С другой стороны, теория степенных рядов, а в частности, разложения функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена позволяют вычислять пределы функций и раскрывать неопределенности рассмотренных видов.

Ряд Маклорена о точке для бесконечно дифференцируемых функций в окрестности этой точки имеет вид

. (27)

Приведем наиболее часто используемые степенные ряды некоторых элементарных функций:

(28)

Примеры

1. Вычислить .

Решение

Заменим и их разложениями в степенные ряды по формулам (28):

.

Библиографический список

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов/ Н.С. Пискунов.– Т. 1,2.–М.: Наука, 1968.–748 с.

2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ Г.Н. Берман. – М.: Наука, 1964.–386 с.

3. Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу/ Г.И. Запорожец. –М.: Наука, 1964.– 674 с.

4. Шнейдер, В.Е., Слуцкий, А.И., Шумов, А.С. Краткий курс высшей математики/ В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов.– Т.1.–М.: Высшая школа, 1978.–583 с.

5. Высшая математика в упражнениях и задачах/ Под ред. П.Е. Данко, А.Г. Попова и др.–М.: Высшая школа, 1971.–280 с.

6. Берман, А.Ф. Краткий курс математического анализа/ А.Ф. Берман. – М.: Наука, 1967.–383 с.

7. Кудрявцев, В.А.Демидович, Б.П. Краткий курс высшей математики/ В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович.– М.: Наука, 1989.– 656 с.

8. Стефан Банах, Дифференциальное и интегральное исчисление/ Стефан Банах. – М.: 1958.–404 с.

9. Рябушко, А.П. ,Барханов, В.В. и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике ч.1/ А.П.Рябушко, В.В. Барханов.– Минск. Вышейшая школа, 1990.–268 с.

10. Кремер, Н.Ш.,Пушко, Б.А. и др. Высшая математика для экономистов. Учебное пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер,Б.А. Пушко. – М.: ЮНИТИ. 1997.– 439 с.

11. Гусак, А.А. Высшая математика/А.А. Гусак.– Минск, изд-во БГУ, 1978. –340 с.

12. Дюбук, П.Е., Кручников, Г.И. и др. Сборник задач по курсу высшей математики для втузов/ П.Е.Дюбук, Г.И. Кручников.– М.: Высшая школа, 1963.– 662 с.

13. Гончаров, М.Д., Муштенко, В.С. Конспект лекций по математике/ М.Д. Гончаров, В.С. Муштенко.– Воронеж, 2003.– 132 с.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................	3
1. Понятие, определение и свойства предела функции..........................	3
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.............................	5
3. Первый замечательный предел.............................................................	7
4. Второй замечательный предел.............................................................	8
5.Раскрытие неопределенностей вида ...........................................	9
6. Раскрытие неопределенностей вида .........................................	12
7. Раскрытие неопределенностей вида ...................................	14
8. Раскрытие неопределенностей вида ......................................	15
9. Раскрытие неопределенностей вида ...........................................	16
10. Применение бесконечно малых к раскрытию неопределенностей...	19
11. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя......................	24
12. Некоторые специфические методы раскрытия неопределенностей вида ...................	26
13. Применение рядов к раскрытию неопределенностей........................	31
Библиографический список..........................................................................	32