4.5 Некоторые свойства z-преобразования

Z – преобразование обладает рядом свойств, позволяющих анализировать особенности ДЛС. Приведем лишь теоремы о начальном и конечном значениях.

Теорема о начальном значении

Предположим, что задано Z – преобразование F(Z) и требуется определить начальные значения f(0) последовательности.

По определению

(4.32)

Этот ряд сходится при всех , поэтому при всех

Теорема о конечном значении

70

Ограничим последовательность f (кг ), положив К = N, где N – достаточно большое число. Образуем функцию f(k_r-_r), запаздывающую относительно f (к_r ) на _r . Если

, (4.33)

то Z – преобразование для f_n (кг) будет

(4.34)

Найдем разность FN (Z) и FN-1(Z) при Z = 1;

2

Пусть , тогда

(4.35)

Формула (1.35) устанавливает связь между Z - преобразованием и конечным значением функции.

4.6 Z-передаточная функция дискретной системы

Вначале - некоторые исходные понятия и соотношения.

Вспомним разностные уравнения вход-выход в виде:

(4.36)

71

Число y(k)характеризует выход в момент кr (шаг дискретизации r обычно опускают). Числа y(k-1), y(k-2)

характеризуют предыдущее значение выхода, запоминаемые в памяти ЭВМ.

Аналогично числа и U(k), и U(k-1)характеризуют вход в дискретные моменты k, k-1, … и т.д., они также хранятся в памяти машины. Уравнение (4.36) называют рекурсивным или разностным, позволяющим вычислить каждое последующее значение выхода по предыдущим данным. Положим в (4.36)

, (4.37)

где

- дельта – последовательность Кронекера

( - импульс – одиночный). Подставляя (6) в (5), получим реакцию системы, которую обозначим через K(k):

(4.38)

Взвешенную временную последовательность (1.38) называют весовой (рис. 4. 11)

3

Рис. 4. 11

72

Если импульс воздействует на вход не при k = 0, а в произвольный момент (в j – той позиции ), то реакция системы

в k – той позиции будет (для k ≥ j )

, (4.39)

где - коэффициент для входного воздействия

В общем случае, когда входная последовательность представляет сумму (поток) дельта последовательностей, приложенных в моменты k= 0, 1, 2, …, то-есть,

временную последовательность на основании принципа суперпозиции на выходе можно определить как

(4.40)

или, после замены переменных m = k – j

(4.41)

Выражение (4.41) – аналог интеграла свертки для непрерывных систем. Воспользуемся (4.9) в самом общем виде: , (4.42)

где К(k) – взвешенная временная последовательность,

g(m) – дискретизированный входной сигнал.

Взяв Z – преобразование от (1.42), получим

73

;

или (для правой части(4.11)):

(4.43)

Сделав замену переменных n = k – m в (1.43), найдем

(4.44)

о

(1.45)

ткуда:

W(Z) называют Z – передаточной функцией дискретной системы. Через Y(Z) и G(Z) обозначены Z–преобразования последовательностей y(n_r) и g(n_r), то-есть, выходной и входной последовательностей.

Пример Z – передаточной функции. Пусть необходимо определить W(Z), соответствующую s – передаточной фунции:

(4.46)

Посмотрим вначале – какой непрерывной системе соответствует s - передаточная функция (1.46). Взяв обратное преобразование Лапласа от W(s), получим

(4.47)

где K(t) – импульсная переходная функция, или функция веса, то-есть, реакция системы на единичный  - импульс (t). Далее

74

от (4.47) перейдем к дискретной весовой временной последовательности согласно правилу:

(4.48)

то – есть,

(4.49)

Z – преобразование этой последовательности и будет представлять Z - передаточную функцию, соответствующую s – передаточной функции непрерывной системы (4.46):

, (4.50)

Описанный здесь способ получения Z – преобразования по s – преобразованию Лапласа позволяет осуществлять синтез дискретных систем по известным характеристикам исходных аналоговых систем.

7. Синтез дискретных систем

Рассмотрим простейший пример синтеза корректирующих звеньев САР в виде RC – цепочки, которая получила название «интегрирующей RC- цепи» (или фильтр нижних частот).

Интегрирующая RC – цепочка (рисунок 12) описывается дифференциальным уравнением, которое является частным случаем дифференциального уравнения для так называемого инерционного звена:

75

.

.

Рис. 4.12

(4.51)

где x₀ (t) – входное воздействие,

X (t) – выходное воздействие

а - называется коэффициентом усиления,

T– постоянная времени , (T > 0).

Для определения переходной функции h (t) подадим на вход звена единичную функцию:

(1.52)

0, k ≠ 0

(4.52)

при этом считается, что до момента t = 0 звено находилось в покое, то-есть х₀ = 0 для t < 0. Начальное условие принимается x (0) = 0, ибо при скачкообразном изменении x величина ,

получила бы бесконечное значение и уравнение (4.51) было бы нарушено.Решение ( 4.51) при указанных условиях имеет вид

(рис. 4.13:

(4.53)

76

На рис. 4.13 прямая ОМ – касательная к h(t) в точке t = 0, она пересекает асимптоту h(∞) в точке М, имеющей абсциссу Т.

Теперь для интегрирующей RC-цепочки вместо (4.51) запишем:

(4.54) Уравнение в операторной форме, соответствующее (4.51), будет:

(4.55)

Отсюда для передаточной функции интегрирующей RC –цепи при a =1 получим :

, (4.56)

Импульсная переходная функция из (22):

( 4.57)

Z - передаточная функция, соответствующая импульсной переходной функции (4.57), будет:

(4.58)

Разностное уравнение

77

(4.59)

Для построения схемы (1.58) удобнее представить в виде:

(4.60)

Дискретная система, соответствующая (4.60), может быть представлена схемой

_r/T

y(n)

х(n)

Рис. 4. 14

В схеме рис. 4.14 элемент является элементом задержки на время _r.

4.8 Простейшие дискретные линейные системы

и цифровые фильтры

.

Определение. ДЛС называется рекурсивной, если для получения последующего значения выходного сигнала используются предыдущие значения выходного сигнала. В противном случае система считается нерекурсивной.

Системы первого порядка

78

Рекурсивный фильтр.

Разностное уравнение:

(4.61)

Слагаемое определяет порядок фильтра (максимальную задержку).

Схема фильтра, соответствующая (4.61), приведена на рис. 4.15.

Рис. 4. 15

Z-передаточная функция, соответствующая (4.61):

(4.62)

К омплексный коэффициент передачи аналогового прототипа системы H(j) получается путем подстановки в (4.62) значения

Получим:

(4.63)

AЧХ фильтра:

79

(4.64)

Положим : тогда весовая функция

, (4.65)

а для АЧХ из (4.64) получим:

(4.66)

АЧХ фильтра для различных значений коэффициента а₁ приведены на рис. 4. 16. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1). а₁=1. Фильтр неустойчив: на границах ( при значениях частот t=0, 2, …) АЧХ обращается в бесконечность.

2). а₁ =0,99. Фильтр устойчив, так как АЧХ не обращается в бесконечность ни при каких частотах. Теоретически на избирательные свойства фильтра ограничений нет, однако для реализации высокой избирательности коэффициент а₁ должен приближаться к единице. Это влечет за собой усложнение вычислителя для работы с числами большой разрядности.

80

Дифференцирующая

RC-цепь

Рис. 4.16

3). . Система тоже обладает избирательными свойствами, но на частоте .

При а > 0 характеристика цифрового фильтра приближается к характеристике интегрирующей RC – цепи в области нижних частот, а при а 0 характеристика фильтра напоминает поведение дифференцирующей RC-цепи.