1.3. Среда распространения виброакустических колебаний

Так как средой распространения виброакустических колебаний являются конструкции зданий, сооружений (стены, потолки, полы), трубы водоснабжения, отопления, канализации и другие твердые тела, то необходимо рассмотреть вопрос давления звуковых колебаний.

Смещение частиц в волне, бегущей в положительном направлении оси x, определяется выражением

 = f(z), (1.6)

где z = t – x/c.

Используя формулу (1.6), можно получить

p = -d/dx = -(df(z)/dz)(dz/dx) = (1/c)(df(z)/dz). (1.7)

С другой стороны, колебательная скорость частиц равна

 = (df(z)/dz)(dz/dt) = df(z)/dt. (1.8)

Сравнивая (1.7) и (1.8), найдем

 = p/(/c). (1.9)

Соотношение (1.9) можно представить несколько в ином виде.

 = p/  = p/ /C = p/, (1.10)

где

 = c =  /C. (1.11)

Амплитуда скорости _m связана с амплитудой смещения _m соотношением _m = _m. Основываясь на выражении (1.10), можно получить

_m = p_m/c. (1.12)

Величина c называется акустической жесткостью.

Рассмотрим произвольные плоские волны. Звуковое давление в волне, бегущей в положительном направлении оси x, можно записать как

p₁ = f₁(t – x/c). (1.13)

Использую соотношение (1.10) для скорости в такой волне, получим

₁ = (1/)f₁(t – x/c). (1.14)

Соответственно для волны, бегущей в противоположном направлении,

p₂ = f₂(t + x/c), ₂ = -(1/)f₂(t + x/c). (1.15)

Как в прямой, так и в обратной волне сжатие возникает при движении частиц в сторону распространения волны.

Процесс физического изменения состояния среды вполне определяется двумя уравнениями: одно дает изменение давления p, второе – изменение скорости частиц , или же смещение . Для гармонических плоских волн звуковое давление и колебательная скорость выражаются в виде

p = [Aexp(-jkx)+Bexp(jkx)]exp(jt),

x = (1/) [Aexp(-jkx)+Bexp(jkx)]exp(jt). (1.16)

До сих пор мы рассматривали плоские волны, распространяющиеся вдоль или против направления оси x. Приведем теперь математическую запись плоской волны, распространяющейся в направлении, составляющем произвольные углы с осями координат x,y.

Если обозначить через s расстояние, пройденное волной от начала координат, а через  – угол наклона направления распространения волны относительно оси x, то для гармонических волн давления и скорости будем иметь следующие выражения:

p = [Aexp(-jks)+Bexp(jks)]exp(jt),

x = (1/) [Aexp(-jks)+Bexp(jks)]exp(jt), (1.17)

где s = xcos + ysin.

Уровень речевого сигнала зависит от интенсивности источника, следовательно необходимо обратить внимание на интенсивность акустической волны.

Интенсивность акустической волны определяется количеством акустической энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, нормальной к направлению распространения. Иными словами, интенсивность равна акустической мощности, приходящейся на единицу поверхности фронта волны. Если в некоторый момент, в данной точке существует давление p, и скорость частиц равна , то мгновенное значение интенсивности I_t равно

I_t = p. (1.18)

Подставляя значение  из (1.10), получим выражение интенсивности через звуковое давление:

I_t = p²/c. (1.19)

Использую также соотношение (1.10), можно найти еще одну формулу для интенсивности:

I_t =  ²c. (1.20)

При гармонических колебаниях среднее значение интенсивности

I = (1/2)p_m_m. (1.21)

Соответственно

I = (1/2)p_m²/c, (1.22)

или I = (1/2)_m²c.

Интенсивность I удобно определять по отношению к некоторой интенсивности I₀, принятой за начальную, представляя I в виде

I/I₀ = 10^0,1N, (1.23)

где N – число децибел. Величина N называется уровнем интенсивности звука относительно заданной начальной интенсивности.

Преобразуя (1.18), находим

N = 10lg(I/I₀), (1.24)

Если N = 1 дБ, то I/I₀ = 10^-0,1 = 1,259, p/p₀ = 10^-0,05 = 1,22.

Значение 1 дБ примерно соответствует наименьшему изменению интенсивности звука, воспринимаемому человеческим ухом. В акустике за нулевой уровень интенсивности берется обычно I₀ = 10^-16 вт/см², что соответствует примерно наименьшей величине интенсивности звука, воспринимаемого человеком на частоте 2000 Гц. Интенсивности I₀ = 10^-16 вт/см² соответствует (при t = 20⁰C и 760 мм рт. ст.) давление p₀ = 2*10^-4 бар (эффективное значение).

За начальный уровень давления берется иногда p₀ = 1 бар. Тогда N = 20lg p.

Таблица 1.1

Величины I/I₀ и p/p₀ при значениях N от 0 до 10

N, дБ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I/I0	1	1,26	1,59	2,00	2,51	3,16	3,98	5,01	6,31	7,94	10,0
p/p0	1	1,12	1,26	1,41	1,59	1,78	2,00	2,24	2,51	2,82	3,16

Таблица 1.2

Значения N и величины интенсивности I при I₀ = 10^-16 вт/см²

N, дБ	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
I, вт/см2	10-16	10-15	10-14	10-13	10-12	10-11	10-10	10-9	10-8	10-7	10-6

На затухание виброакустических колебаний влияет энергия волны.

Энергия волны складывается из кинетической и потенциальной энергий. Выделим в жидкости элемент объема V. Его масса равна m = V. Если T – кинетическая энергия, отнесенная к единице объема, и  – скорость объема V, то кинетическая энергия TV объема определится равенством

TV = (1/2)m² = (1/2)V², (1.25)

и значит,

T = (1/2)². (1.26)

Рассматривая потенциальную энергию, положим, что элемент объема V под влиянием давления p изменился на dV. Если П – потенциальная энергия, отнесенная к единице объема, то соответствующее изменение потенциальной энергии dПV определяется равенством

dПV = - pdV. (1.27)

Вместе с тем

dp = - (1/C)dV/V, dV = - CVdp. (1.28)

Пользуясь (1.21) и (1.22), можем записать

dП = Cpdp. (1.29)

Если звуковое давление p изменилось от 0 до p, то соответствующая потенциальная энергия

П = C pdp = (1/2)Cp². (1.30)

Для мгновенного значения полной энергии W_t = T + П, отнесенной к единице объема, получаем

W_t = (1/2)² + (1/2)Cp². (1.31)

Используя формулы (1.10), (1.11), находим (1/2)² = (1/2)Cp², т. е. T = П.

Таким образом, бегущая плоская волна несет кинетическую и потенциальную энергию, причем в любой момент потенциальная энергия равна кинетической. Полное мгновенное значение энергии W_t равно

W_t = ² = Cp². (1.32)

При гармонических колебаниях среднее значение энергии W определяется выражением

W = (1/2)_m² = (1/2)Cp_m², (1.33)

где p_m и _m – амплитудные значения давления и скорости. Из сопоставления формул следует

I_t = W_tc. (1.34)

Для того чтобы придать наглядность равенству, положим, что энергия распределена равномерно по оси x. Интенсивность равна потоку энергии через единичное сечение за единицу времени, т. е. за время, в течение которого энергия перемещается на расстояние, численно равное скорости c распространения волны. Это значит, что через единичное сечение за единицу времени протекает энергия, заключенная в столбе длиной c, равная, следовательно, W_tc, т. е. I_t = W_tc [6].