Задания
I. Решить обыкновенные дифференциальные уравнения или их системы (сначала сделать попытку символьного решения; если это не удается, решить численно, построить графики)
1)
;
2)
,
,
;
3)
;
4)
,
5)
;
6)
,
,
a – постоянная,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
.
II. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения y=f(x, y) на отрезке [a, b] при начальном заданном условии y(a)=y0 и шаге интегрирования h:
1) методом Эйлера и усовершенствованным (модифицированным) методом Эйлера с шагом h и h/2,
2) методом Рунге-Кутта с шагом h и 2h,
3) методом Адамса.
№ |
Функция f(x, y) |
Интервал [a, b] |
y0 |
Шаг h |
1 |
|
[0; 1] |
y(0)=0,2 |
0,1 |
2 |
|
[0,2; 1,2] |
y(0,2)=0,25 |
0,1 |
3 |
|
[1,6; 2,6] |
y(1,6)=4,6 |
0,1 |
4 |
|
[0,2; 1,2] |
y(0,2)=1,1 |
0,1 |
5 |
|
[1,4; 2,4] |
y(1,4)=2,5 |
0,1 |
6 |
|
[1,7; 2,7] |
y(1,7)=5,3 |
0,1 |
7 |
|
[2,6; 4,6] |
y(2,6)=3,5 |
0,2 |
8 |
|
[2; 3] |
y(2)=2,3 |
0,1 |
9 |
|
[0; 1] |
y(0)=0,3 |
0,1 |
10 |
|
[1,8; 2,8] |
y(1,8)=2,6 |
0,1 |
11 |
|
[2,1;3,1] |
y(2,1)=2,5 |
0,1 |
12 |
|
[0; 0,5] |
y(0)=2,6 |
0,05 |
13 |
|
[–2; –1] |
y(–2)=3 |
0,1 |
14 |
|
[0,2; 1,2] |
y(0,2)=0,25 |
0,1 |
15 |
|
[1,5; 2,5] |
y(1,5)=4,5 |
0,1 |
16 |
|
[0,4; 1,4] |
y(0,4)=0,8 |
0,1 |
17 |
|
[1; 3] |
y(1)=1,5 |
0,2 |
18 |
|
[1; 2] |
y(1)=1,5 |
0,1 |
19 |
|
[1,5; 2] |
y(1,5)=2,1 |
0,05 |
20 |
|
[0; 2] |
y(0)=1,3 |
0,1 |
21 |
|
[–1; 1] |
y(–1)=0,2 |
0,2 |
22 |
|
[1,6; 2,6] |
y(1,6)=4,6 |
0,1 |
23 |
|
[0; 0,5] |
y(0)=0,3 |
0,05 |
24 |
|
[1; 2] |
y(1)=0 |
0,1 |
25 |
|
[0; 1] |
y(0)=0 |
0,1 |
26 |
|
[0,2; 1,2] |
y(0,2)=0,25 |
0,1 |
27 |
|
[1,7; 2,7] |
y(1,7)=5,6 |
0,1 |
28 |
|
[1,4; 2,4] |
y(1,4)=2,5 |
0,1 |
29 |
|
[0,6; 1,6] |
y(0,6)=0,8 |
0,1 |
30 |
|
[1; 2] |
y(1)=5,9 |
0,1 |
31 |
|
[0; 1] |
y(0)=0 |
0,1 |
32 |
|
[0,5; 1,5] |
y(0,5)=1,8 |
0,1 |
33 |
|
[1,2; 2,2] |
y(1,2)=1,8 |
0,1 |
34 |
|
[0; 1] |
y(0)=0 |
0,1 |
35 |
|
[0; 1] |
y(0)=0 |
0,1 |
36 |
|
[0; 1] |
y(0)=0 |
0,1 |
37 |
|
[0; 1] |
y(0)=0 |
0,1 |
38 |
|
[0; 1] |
y(0)=0,8 |
0,1 |
39 |
|
[0; 1] |
y(0)=0,4 |
0,1 |
40 |
|
[0; 1] |
y(0)=0,5 |
0,1 |
III. 1. Методом пристрелки найти решение граничных задач в точках xk = 0,1k.
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
IV. Решить методом конечных разностей одну из следующих краевых задач. Использовать не менее 5 узлов. Сравнить с точным решением. Построить графики. Провести аппроксимацию полученного решения по методу кусочно-линейной или кусочно-квадратичной интерполяции. Показать сходимость, увеличивая каждый раз число узлов в 2 раза.
Вариант
1.
,
.
Вариант
2.
,
.
Вариант
3.
,
.
Вариант
4.
,
.
Вариант 5. ,
.
Вариант
6.
,
.
Вариант
7.
,
.
Вариант
8.
,
.
Вариант
9.
,
.
Вариант 10.
,
.
V. Решить краевую задачу методом конечных разностей. Сравнить с точным решением. Показать сходимость. Построить график непрерывного решения на основе сплайн-интерполяции.
Вариант 1.
;
а)
;
б)
;
в)
.
Вариант 2.
;
а)
;
б)
;
в)
.
Вариант 3.
;
а)
;
б)
;
в)
.
Вариант 4.
;
а)
;
б)
;
в)
.
Вариант 5.
;
а)
;
б)
;
в)
.
Вариант
6.
,
а)
;
б)
;
в)
.
Вариант 7.
;
а)
;
б)
;
в)
.
Вариант 8.
;
а)
;
б)
;
в)
.
Вариант 9.
;
а)
;
б)
;
в)
.
Вариант 10.
;
а)
;
б)
;
в)
.
VI. С помощью МКР найти решение краевой задачи, не имеющей аналитического решения. Показать сходимость.
Вариант 1.
,
,
.
Вариант 2.
,
,
.
Вариант 3.
,
,
.
Вариант 4.
,
,
.
Вариант 5.
,
,
.
Вариант 6.
,
,
.
Вариант 7.
,
,
.
Вариант 8.
,
,
.
Вариант 9.
,
,
.
Вариант 10.
,
,
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Турчак Л.И. Основы численных методов. M.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.
2. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Высш. шк., 2001. – 382 с.
3. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. M.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 400 с.
4. Сборник задач по методам вычислений: учебное пособие для вузов / Под ред. П.И. Монастырного. M.: ФИЗМАТЛИТ, 1994. – 320 с.
5. Дьяконов В.П. Maple 7: учебный курс / В.П. Дьяконов. СПб: Питер, 2002. – 672 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 1
Нахождение общего решения 4
Нахождение частного решения 7
а) Решение задачи Коши для ОДУ 7
б) Решение краевой задачи для ОДУ 10
Решение системы уравнений для ОДУ 12
Численное решение дифференциальных уравнений 13
Программирование методов численного решения 14
а) Задача Коши 14
б) Краевая задача. Метод стрельбы 18
в) Метод конечных разностей 23
Задания 33
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 45
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению лабораторных работ по курсам «Математика» и «Специальные главы математики» для студентов направлений 150100 «Материаловедение и технология материалов», 222900 «Нанотехнологии и микросистемная техника» и 223200 «Техническая физика» очной формы обучения
Составители:
Кострюков Сергей Александрович
Пешков Вадим Вячеславович
Шунин Генадий Евгеньевич
В авторской редакции
Компьютерный набор С.А. Кострюкова
Подписано к изданию 20.12.2012. Уч.-изд. л. 2,7. “С” .
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»