Тема 5. Исследование функции с помощью производных и построение ее графика

1. Возрастание и убывание функции на интервале. Связь со знаком первой производной.

2. Точки максимума и минимума функции (точки экстремума). Необходимое условие экстремума кусочно-дифференцируемой функции одной переменной. Критические точки функции.

3. Проверка критической точки на существование в ней экстремума с помощью знака первой производной. Достаточный признак экстремума, основанный на знаке первой производной.

4. Проверка стационарной точки на существование в ней экстремума, основанный на знаке второй производной. Достаточный признак экстремума, основанный на знаке второй производной.

5. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной и кусочно-дифференцируемой функции на отрезке.

6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Связь направления выпуклости графика функции со знаком второй производной.

7. Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты и их отыскание.

8. Наклонные асимптоты и их отыскание.

9. Общая схема исследования функции: область определения; исследование поведения функции на границе ее области определения (предел функции на границе, асимптоты); нахождение первой производной; определение с ее помощью критических точек, интервалов возрастания и убывания функции и точек экстремума; нахождение второй производной; определение с ее помощью интервалов выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба. Построение ее графика по результатам исследования.

Литература: [1, гл. V, упр. 3, 14, 22, 27, 32, 34, 40, 52, 54, 62, 67-71, 75, 78, 84, 95, 103], [2, гл. VII, §2], [4, гл. V, § 25].

Раздел VI. Неопределенные интегралы

Тема 1. Неопределенные интегралы

1. Первообразная и неопределенный интеграл.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица простейших интегралов.

4. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

5. Формула интегрирования по частям.

6. Интегрирование простейших рациональных дробей.

7. Метод неопределенных коэффициентов разложения правильной рациональной дроби на простейшие.

8. Интегрирование тригонометрических выражений: Интегрирование выражений методом универсальной тригонометрической подстановки.

9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

Литература: [1]; [2, гл. IX]; [4]; [5, гл. VII, §29-33]; [6, стр. 5-16].

Тема 2. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла и его вычисление по формуле

Ньютона-Лейбница.

2. Основные свойства определенного интеграла.

3. Замена переменной в определенном интеграле.

4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

5.Вычисление площади криволинейной трапеции и площади

криволинейного сектора в полярной системе координат.

6. Вычисление длинны дуги кривой.

7. Вычисление объема тела вращения.

8. Физические приложения определенного интеграла.

9. Численное интегрирование: формулы прямоугольников, трапеций,

Симпсона.

Литература: [1]; [2, гл. X]; [4]; [5, гл. VIII, §35-39]; [6, стр. 17-20].