- •Основные математические операции методические указания
- •1. Дифференцирование
- •2. Интегрирование
- •3. Вычисление пределов функций
- •4. Разложение функций в ряды
- •5. Вычисление сумм и произведений
- •6. Разные математические операции convert/parfrac – разложение рациональной функции на простые дроби
- • Residue – нахождение вычета функции в заданной точке
- • Fourier, invfourier – прямое и обратное преобразования Фурье
- •Задания
- •Дополнительные задания
- •Содержание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задания
Вариант 1
1. Найти производные:
a) , если y=ln(cos(x2+1));
б) yIV, если ;
в) и для параметрически заданной функции: ;
г) и для неявно заданной функции ;
2. Вычислить интегралы
а) ; б) ;
в) ; г) ;
3. Найти суммы рядов: а) ; б) ;
4. Вычислить пределы:
а) ; б) ;
5. Выполнить операции векторного анализа:
а) в точке ;
б) ;
в) .
6. Построить графики функций:
a) ; б) .
7. Разложить функции в ряд в окрестности точки z0:
а) ; z0=0,
б) ; z0=;
в) .
8. Выполнить интегральные преобразования
а) L[f(t)], где
б) .
9. Решить операционным методом задачу Коши
а) , ;
б) .
10. Найти вычеты указанных функций относительно точки z0
a) , z0=0;
б) , z0=;
в) z0=
Вариант 2
1. Найти производные
а) , если ;
б) , если ;
в) и для функции, заданной параметрически: , ;
г) и для функции, заданной неявно уравнением .
2. Вычислить интегралы
а) ; б) ;
в) ; г) .
3. Найти суммы рядов
а) ; б)
4. Вычислить пределы
а) ; б) .
5. Решить задачи теории поля:
а) найти производную скалярного поля в точке A(–2, 1, 2) по направлению вектора ;
б) вычислить дивергенцию и ротор векторного поля: ;
в) вычислить лапласиан скалярного поля: .
6. Найти значения функции F(x) при x=0.2, x=0.5 и x=1 и построить её график, если
а) ;
б) ;
в) .
7. Разложить функцию в ряд по степеням z–z0, если
а) z0=0, б) , в) z0=.
8. а) Найти синус- и косинус-преобразования Фурье от функции , заданной на интервале [0, ).
б) Найти функцию, определенную на [0, ), косинус-преобразование которой равно .
9. Найти установившееся решение дифференциального уравнения .
10. Разложить функцию f(t) в тригонометрический ряд Фурье на интервале (–,)
a) б) .
Построить графики заданной функции и частичной суммы S5(t).
Дополнительные задания
1. Найти дивергенцию градиента функции a) , б) .
2. а) Найти производную скалярного поля в точке М(1,1,1) по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности .
б) Найти производную скалярного поля в точке A по направлению вектора ; A(–2, 1, 2), B(–2, –2, 6).
3. а) Найти угол между и , если , M1(1; 1; 0), M2(–1; 0; 1).
б) Найти угол между и , если
; M1(1;2;3), M2(1;1;–1).
4. Является ли поле , потенциальным, соленоидальным?
5. Проверить соленоидальность поля:
.
Формулы для справок
Первая и вторая производные функции y(x), заданной параметрически:
если x=(t), y=(t), то ; .
Градиент скалярного поля и(x,y,z):
.
Производная скалярного поля и по направлению s:
=(gradu,s)=|gradи|cos,
где – угол между градиентом и единичным вектором s.
Дивергенция векторного поля a(x, y, z):
.
Ротор векторного поля а:
.
Лапласиан функции и(x,y,z): .
Разложение в тригонометрический ряд Фурье функции f(t) на интервале (–l, l):
,
, , .
Ряд Фурье в комплексной форме:
,
где
(функция f(t) – 2l-периодическая).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дьяконов В.П. Maple 7: учебный курс. СПб: Питер, 2002. – 672 с.
2. Сдвижков О. А. Математика на компьютере: Maple 8. – М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 176 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учеб.: В 2-х т. Т.1. Спб: Мифрил. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1996.– 416 с.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учеб.: В 2-х т. Т.2. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.—560 с.
5. Бугров Я.С. , Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. Ростов н/Д: Феникс, 1997. – 512 с.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Ростов н/Д: Феникс, 1997. – 512 с.
7. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2. / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. – 432 с.
8. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 3. / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002. – 576 с.