Вопросы для самопроверки.

1. В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?

2. Каковы способы перевода чисел из одной системы счисления в другую?

3. Двузначное десятичное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный квадрат. Найдите все такие числа.

4. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить через два знака влево, т.е. с этой цифрой будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите это число.

5. Было 11 яблок. После того, как каждое из них разрезали пополам, стало 110 половинок. В какой системе счисления вели счет?

6. В какой системе счисления верны следующие равенства:

а) 11:110 = 0,1; б) 12+22 =100; в) 70-1 = 68;

г) 1-0,1 = 0,1; д) 0,01+0,1 = 0,11 ?

7. Переведите следующие десятичные числа в двоичную систему счисления: 0,5; 0,625; 0,999; 0,125; 0,3; 0,02.

8. Произведите сложение следующих десятичных чисел в двоичной системе счисления: 44₁₀ и 81₁₀; 35₁₀ и 104₁₀; 77₁₀ и 15₁₀.

9. Почему при работе с компьютерами используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

10. Как выглядят таблицы сложения и умножения в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?

11. В восьмеричной системе счисления неправильной записью числа является …. 17770, 165481, 10101010, 1020304.

12. Вычислить сумму двух восьмеричных чисел 101₈ и 11₈ и перевести её в десятичную систему счисления.

13. Произведите умножение следующих восьмеричных чисел в двоичной системе счисления: 47₈ и 12₈; 37₈ и 24₈; 64₈ и 15₈.

14. Перевести число 111100,1₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

15. Переведите следующие двоичные числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления 101011₂; 111010011₂; 0,101₂; 111,11₂; 100,001₂.

16. Произведите сложение следующих шестнадцатеричных чисел:

7АВС₁₆ и Е9ОС₁₆; ЕЕЕ3₁₆ и САСАВ₁₆.

18. Какая цифра пропущена в уменьшаемом, если при вычитании из шестнадцатеричного числа В..С шестнадцатеричного числа ААА, получили шестнадцатеричное число 152?

4. Логические основы эвм

Электронная техника использует элементы, обладающие двумя устойчивыми состояниями, поэтому наиболее простой для реализации является двоичная арифметика, использующая всего две цифры: 0 и 1 для записи любого числа. С этим же связано и то, что математической основой вычислительной техники является алгебра высказываний. Высказывание – это предложение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Каждому верному высказыванию приписывают значение истинности 1 (истинно), каждому неверному высказыванию – значение истинности 0 (ложно).

Высказывания могут быть простыми и сложными. Простые соответствуют алгебраическим переменным, а сложные являются аналогом алгебраических функций. Функции могут получаться путем объединения переменных с помощью логических действий.

Самой простой логической операцией является операция НЕ (отрицание, дополнение или инверсия, обозначается NOT X или Х). Результат отрицания всегда противоположен значению аргумента.

Логическое И (конъюнкция или логическое умножение, обозначается AND или ) имеет результат «истина» только в том случае, если оба её операнда истинны.

Операция ИЛИ (дизъюнкция, логическое сложение, обозначается OR или ) дает «истину», если значение «истина» имеет хотя бы один из операндов. Значения переменных для логических операций определяют таблицы истинности.

Таблица 1

Основные логические операции

X	NOT X		X	Y	X AND Y	X OR Y
0 1	1 0		0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	0 1 1 1

Операции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему логических операций, из которой можно построить сколь угодно сложное логическое выражение. Тем не менее , на практике по технологическим причинам в качестве основного логического элемента используется элемент И – НЕ

Таблица 2

Операция И – НЕ

X	Y	NOT (X AND Y)
0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 1 0

Можно проверить, что на базе элементов И – НЕ могут быть скомпонованы все базовые логические элементы (И, ИЛИ, НЕ), а значит, и любые другие, более сложные.

Упрощение сложной логической формулы заключается в преобразовании исходной формулы в более простую (как в обычной алгебре). В основе преобразования формул алгебры высказываний лежат свойства основных логических операций, вытекающие из определений отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

1. X  Х - закон двойного отрицания.

2. X Y  Y X - коммутативность дизъюнкции.

3. X Y  Y X - коммутативность конъюнкции.

4. (X Y)  Z  X  (Y Z) – ассоциативность дизъюнкции.

5. (X  Y)  Z  X  (Y Z) – ассоциативность конъюнкции.

6. X(YZ)  (XY)  (ХZ) – дистрибутивность конъюнкции

относительно дизъюнкции.

7. X  (YZ )  ( XY)  (ХZ) – дистрибутивность дизъюнкции

относительно конъюнкции.

8. X  Х  X.

9. X  Х  X.

10. X  0  X.

11. X  1  X.

12. X  0  0.

13. X  1  1.

14. X  Х  1.

15. X Х  0.

16. X  Y  X  Y.

17. X  Y  X  Y.

Эти свойства легко доказать, например, при помощи подстановки на место X, Y, Z всевозможных наборов их значений, т.е. при помощи составления таблиц истинности и установления совпадения значений результирующих столбцов.

Справедливость этих свойств легко усматривается и из содержательного толкования операций на уровне контактных схем.

Например, свойство 8: X  Х  X. Контактная схема, состоящая их двух параллельно соединенных контактов X, ведет себя так же, как один контакт X. Аналогично свойство 9: X  Х  X. Два последовательно соединенных контакта при их одновременном замыкании или размыкании ведут себя так же, как один контакт X.

В ряде записанных формул, раскрывающих свойства логических операций, стоят 0 и 1, которые следует рассматривать как логические константы.

0 – это постоянно разомкнутый контакт, независимый элемент контактной схемы. Так, свойство 10: X  0  X показывает, что замыкание или размыкание контактной схемы зависит лишь от контакта X, а свойство 12: X  0  0 показывает, что последовательное соединение постоянно разомкнутого контакта «0» всегда приводит к размыканию всей контактной схемы.

1 – это постоянно замкнутый контакт. Свойство 13: X  1  1 показывает, что при параллельном соединении постоянно замкнутого контакта 1 с контактом X схема всегда будет замкнута независимо от состояния контакта X. Свойство 11: X  1  X показывает, что если в последовательной цепи один контакт постоянно замкнут, то состояние цепи определяется состоянием другого контакта. Свойство 14: X  Х  1 – если каждый раз при размыкании одного параллельного контакта другой замыкается, то цепь всегда остается замкнутой. Свойство 15: X  Х  0 – если при замыкании одного из последовательных контактов другой размыкается, то цепь всегда остается разомкнутой.