Учебное пособие 2055
.pdfАналогично определяют f ( y / x) |
f (x, y) |
. |
|
||
|
f1 (x) |
|
Теорема умножения плотностей |
|
|
f (x, y) |
f1 (x) f y x |
f2 ( y) f x y . |
|
|
|
|||
Случайные величины |
1 |
и |
2 |
называются независимыми, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
если для любых |
чисел x,y |
случайные события |
1 |
x |
и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайные события независимы, если выполняется любое из условий:
1)F(x, y) F1 (x) F2 ( y).
2)f (x, y) f1(x) f2 ( y) .
3) |
f ( y x) |
f2 ( y) |
или |
f |
x |
y |
f1 (x) . |
|
|
|
|||
|
Условным математическим ожиданием называют выра- |
||||||||||||
жение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
2 |
1 |
xi |
|
|
y j P |
2 |
yi |
1 xi |
для дискретного слу- |
|||
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чайного вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M |
2 |
x |
yf |
|
y |
x |
dy |
для непрерывного случайного векто- |
|||||
ра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина K |
, |
|
cov |
1, |
2 |
M |
M |
M |
назы- |
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
вается корреляционным моментом (ковариацией) двух слу- |
|||||||||||||
чайных величин |
|
1 |
и |
2 . |
|
|
|
|
|
|
71
|
Если |
|
1, |
|
2 |
– непрерывная двумерная случайная величина |
||||||||||||||
с плотностью распределения |
f (x, y) , то |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
cov( |
1 , |
|
2 ) |
|
(x |
m1 )( y m2 ) f (x, y)dxdy |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xyf (x, y)dxdy m1m2 , |
|
|
|
|||
где m1 |
M 1, |
|
m2 |
|
M 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Для дискретного случайного вектора |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
m |
|
|
|
|
|
n |
m |
|
|
|
|
cov( 1, |
2 ) |
|
|
|
|
|
(xi |
m1 ) ( yi |
m2 ) pij |
xi y j |
pij m1m2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
j 1 |
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|||
Величина r |
|
|
|
|
|
K |
|
называется коэффициентом корреля- |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D D |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ции случайных величин 1 и |
2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Если r |
|
|
0 , то случайные величины |
1 |
и |
2 |
называются |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
некоррелированными. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Свойства корреляционного момента и коэффициента |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
корреляции |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
r |
, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Если |
1 |
и |
|
2 независимы, то r , |
0 . Обратное неверно: из |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
некоррелируемости случайных величин не следует их независимость.
3) Если |
2 |
a 1 b , то |
r 1 2 |
1. |
|
4) |
cov( 1, |
2 ) |
cov( 2 , 1) . |
||
5) |
cov( , |
) |
D . |
72
6) |
cov(a 1,b 2 ) |
ab cov( 1, |
2 ) . |
|
|
|
|
||||||
7) |
cov(a 1 |
b 2 , |
3 ) |
a cov( 1 |
3 ) |
b cov( |
2 , 3 ) . |
||||||
|
Свойства математического ожидания и дисперсии |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
случайного вектора |
|
||||||
1) |
MC |
C , где C – постоянная. |
|
|
|
|
|||||||
2) |
MC |
CM . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
M ( 1 |
2 ) M 1 |
M 2 . |
|
|
|
|
|
|||||
4) |
M ( 1 |
2 ) |
M 1 |
M 2 |
cov( 1 |
2 ) . |
|
|
|
||||
Если cov( 1 2 ) |
|
0 , то M ( 1 |
2 ) |
M 1 M 2 . |
|||||||||
|
Случайная |
|
величина |
|
называется неотрицательной |
||||||||
( |
0), |
если она принимает только неотрицательные значе- |
|||||||||||
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Если |
|
0 , |
M |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
DC |
0 , где С – постоянная. |
|
|
|
|
|||||||
7) |
DC |
C2 D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8) |
D( 1 |
2 ) |
D 1 |
D 2 |
2 cov( 1, 2 ) . |
|
|
||||||
Если cov( 1 2 ) |
|
0 , то D( 1 |
2 ) |
D 1 |
|
D 2 . |
|||||||
9) |
D( |
C) |
D . С – постоянная. |
|
|
|
|||||||
10) D |
M ( |
|
M )2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
11) D |
M 2 |
|
M |
2 |
0 |
|
M |
2 |
M 2 . |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
Двумерная случайная величина |
1 |
2 |
называется распре- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деленной по нормальному закону, если ее плотность распреде-
ления
73
f (x, y) |
1 |
|
|
|
|
exp |
|
1 |
|
|
|
(x |
m )2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 r |
2 |
) |
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
r2 |
|
|
|
||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
|
2r(x m )( y m ) |
|
( y m )2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь m1 |
M 1 , |
m2 |
|
M 2 , |
2 |
|
D 1 , |
|
2 |
D 2 , |
||||||
|
1 |
|
|
2 |
r – коэффициент корреляции случайных величин 1 и 2 . Для
нормальной случайной величины понятия независимости и некоррелируемости эквивалентны.
Двумерная случайная величина распределена равномерно в области D , если ее плотность распределения
|
|
1 |
|
, (x, y) |
D |
f (x, y) |
|
S |
|||
|
|
|
|||
|
0, |
(x, y) |
D |
Здесь S – площадь области D .
Пример 1. Дискретная двумерная случайная величина
,распределена по закону, приведенному в таблице
Таблица 3
|
|
–1 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
0,2 |
0,1 |
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,1 |
0,1 |
|
0,2 |
Определить: |
|
|
|
|
|
1) Законы распределения составляющих |
и ; |
||||
|
|
|
74 |
|
|
2) Условный закон распределения случайной величины при
условии, что |
1; |
3) M |
1 ; |
4)Коэффициент корреляции r , .
Решение. Имеем
|
–1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.1) |
|
0,6 |
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
–1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
0,2 |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M |
1 0,6 1 0, 4 |
|
0, 2 , |
|
|
|
|
M |
|
1 0,3 2 0,5 0,7, |
||||||||||||||
D |
( 1)2 0, 6 |
|
12 |
0, 4 - ( |
0, 2)2 |
|
|
0,96 , |
|
|
||||||||||||||
D |
( 1)2 |
0,3 |
22 0,5 |
(0, 7)2 |
|
|
1,81. |
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.2) |
|
|
|
2/3 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P |
1 |
|
1 |
|
|
|
P |
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
1 |
|
|
0, 2 |
2 3 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
P |
1 |
|
|
|
|
|
0, 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P |
1 |
|
1 |
|
P |
1, |
1 |
|
|
0,1 |
|
1 3 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0, 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сравнивая (8.1) и (8.2), видим, что , |
зависимые случайные |
|||||||||||||||||||||||
величины: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
K , |
Pij xi yi |
m1 |
m2 |
( 1) ( 1) 0, 2 ( |
1) |
2 0,3 |
|||||||||||
|
i, j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 ( 1) 0,1 |
1 2 0, 2 |
|
0, 2 0,7 = 0, 2 |
0,6 |
0,1 |
0, 4 |
0,14 |
||||||||||
= 0,04 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r , |
K , |
0, 04 |
|
|
|
0, 04 |
|
|
0, 04 |
|
0, 03 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,98 1,345 |
|
1,32 |
|
|||||
|
|
0, 96 |
1,81 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 2. Двумерная |
случайная |
величина |
, |
имеет |
равномерное распределение вероятностей в треугольной области АВС, то есть
|
f (x, y) |
c, |
(x, y) |
ABC, |
|
|
0, (x, y) ABC. |
||||
|
|
||||
Найти |
постоянную |
c , |
одномерные плотности f1 (x) , f2 ( y) |
||
случайных величин |
|
и |
, коэффициент корреляции r , ус- |
||
ловную плотность f ( y |
x) |
и условное математическое ожида- |
|||
ние M |
x . |
|
|
|
|
y
C
A |
B |
x |
т. A(0, 0) , т. B(1,0) , т. С(0,1) .
1) Постоянную с найдем из условия нормировки
76
1 |
|
f (x, y)dxdy |
|
cdxdy |
c |
S |
c 1 2 , c |
2 , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где S – площадь треугольника ABC . Обозначим область, ог- |
||||||||||||||||
раниченную треугольником ABC через D . Тогда |
|
|
|
|||||||||||||
f (x, y) |
2, |
|
(x, y) |
D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0, (x, y) |
D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) Уравнение прямой BC : y |
1 |
x . Тогда область D можно |
||||||||||||||
задать аналитически следующим образом: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
D |
0 x |
|
1 |
или |
D |
|
|
0 |
y |
1 |
y . |
|
|
|
||
0 |
y |
1 x |
|
0 |
x |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) f1 (x) |
|
f (x, y)dy |
2 |
dy |
0 |
x |
1 |
|
2(1 |
x),0 |
x |
1, |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0, |
x 0, |
x |
1, |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
0, x |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f2 ( y) |
f (x, y)dx |
2(1 |
y), |
|
0 |
y |
1, |
|
|
|
||||||
0, |
y |
0, |
y |
1. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
xf1 (x)dx |
x |
2(1 |
x)dx |
|
1 3 . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
yf2 ( y)dy |
y |
2(1 |
y)dy |
1 3. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
D |
|
x2 f (x)dx |
m2 |
x2 |
2(1 |
x)dx |
0, 055 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
y2 f |
2 |
( y)dy |
m2 |
0, 055 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|
|
|
|
|
|
|
4) Kxy
D
rKxy
xy
5) f y x
xyf (x, y)dxdy mx my
0,0278 |
|
0,5 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
(0,055)2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
f (x, y) |
|
1 |
, |
0 |
|||||
|
|
|
|||||||
|
1 x |
||||||||
|
f1 (x) |
|
|
|
|||||
|
0, |
|
(x, |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
x |
1 |
|
|
2 |
dx |
dy |
0, 0278 . |
||
|
|||||
9 |
|||||
0 |
|
0 |
|
||
|
|
|
x 1, 0 y 1 x,
y) D.
M ( x) |
yf ( y x) dy |
1 x
0
y |
|
1 |
dy, |
0 |
x |
1, |
|
|
|||||
1 |
x |
|||||
0, |
|
x |
0, |
x |
1. |
1 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y2 |
|
|
1 x |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
1 x |
1 |
x |
2 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
, |
|
0 |
|
|
x |
1, |
|
|
|
|
|
||||||
M ( |
x) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0, |
|
|
x |
0, |
x |
1. |
|
|
|
|
||||||||
Пример 3. |
|
Случайная точка |
|
1 , 2 |
распределена равно- |
|||||||||||||||
мерно внутри круга радиуса R D |
x2 |
y2 |
R2 . Найти ма- |
|||||||||||||||||
тематическое ожидание случайной величины |
1 2 . |
|||||||||||||||||||
Решение. Плотность распределения вероятности |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
, |
x2 |
|
y2 |
R2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f (x, y) |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0, |
|
|
|
x2 |
y2 |
R2 |
|
|
|
|
|
78
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
cos |
0 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||||
M |
|
|
|
xydxdy |
|
y |
|
sin |
0 |
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
dxdy |
|
|
|
d |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 R 2 |
|
3 cos |
sin d |
|
d |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
R |
3 d |
2 |
|
|
d |
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
R |
|
sin2 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
R2 4 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
R4 |
sin2 2 |
|
sin2 |
0 |
|
1 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R2 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Пара случайных величин и имеет совместное нормальное распределение с вектором математических
ожиданий 2, 1 |
и ковариационной матрицей K |
||||
|
K |
, |
2 |
2 |
3 |
|
|
3 |
7 . |
||
Известно, что P |
2 |
3 |
0, 65 . Найти D , D . |
Решение. Совместная нормальность пары случайных вели-
чин |
и обеспечивает нормальность каждой из них и любой |
|||
их линейной комбинации, в частности величина |
2 |
|||
нормальна с параметрами |
|
|
||
M |
M 2M |
2 2( 1) 0 , D |
D 4D |
4cov( , ) |
.
Подставляя в последнее соотношение элементы ковариационной матрицы:
получим D 2 |
2 , D |
|
7 2 , |
|
cov( |
, |
) 3 |
2 , |
D |
2 |
2 |
4 7 |
2 |
4 3 |
2 |
18 |
2 . |
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
По условию P |
|
3 |
0, 65 , |
откуда, |
используя нормальность |
||||||||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F |
|
3 |
|
0, 65 |
|
|
|
|
3 |
|
0,385 |
|
|
|
|
1,837. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
18 |
|
18 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Искомые дисперсии равны, соответственно, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
2 |
2 |
6, 747 , D |
|
|
7 2 |
|
23, 622 . |
|||||||||||||||
|
|
Пример 5. Случайный вектор |
|
|
1 , |
2 |
имеет вектор ма- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
тематических ожиданий |
|
|
1 |
(2,1) и корреляционную матрицу |
|||||||||||||||||||||||
m |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
K |
2 1 |
. |
1 2 1 |
2 , |
|
2 |
1 |
|
3 2 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить |
|
|
вектор |
математических |
ожиданий |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
M 1 , M 2 |
случайного вектора |
|
|
|
( |
1 , 2 ) |
и корреляци- |
|||||||||||||||||
|
m |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
онную матрицу вектора |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Решение. |
M 1 |
M 2 1 |
2 |
|
|
2M 1 |
M 2 |
2 2 1 3. |
|||||||||||||||||
M 2 |
M 1 |
3 2 |
|
M 1 3M 2 |
2 |
3 |
5 . |
|
2 |
(3,5) . |
|||||||||||||||||
|
m |
D
D
.
1
2
D 2
D
1 |
2 |
4D 1 |
4K |
1 |
3 2 |
D 1 |
6K |
1 2
1 2
D 2
9D 2
4 2 4 1 4 8 .
2 |
6 1 |
9 |
4 |
44 |
K 1 2 cov 1 , 2 cov 2 1 2 , 1 3 2
2 cov |
1 1 |
6 cov |
1 2 |
cov 2 1 |
3cov 2 1 = |
2D 1 |
5K |
1 2 |
3D 2 |
4 5 12 |
3 . |
|
|
|
|
80 |
|