Учебное пособие 2049

28. Найти распределение магнитного поля для бесконеч-

ного цилиндра, помещенного во внешнее однородное поле Be ,

перпендикулярное его оси.

Указание. Использовать формулировку для векторного потенциала:

А = 0 вне сверхпроводника;

A (1/ 2L)A 0 внутри сверхпроводника.

Расчетную область следует выбрать в виде прямоугольника, при этом граничные условия на его сторонах легко фор-

29. Найти распределение магнитного поля для шара, помещенного во внешнее однородное поле.

Указание. Использовать формулировку функции потока:

Граничные условия определяются из соотношений

30. Решить задачу о распределении поля для системы кольцо+шар (см. задание 24 п. 5), считая, что в кольце протекает сверхток I и оно находится в чисто мейсснеровском состоянии (в него поле не проникает совсем), а шар имеет отличную от нуля глубину проникновения.

151

4.8. Смешанная краевая задача для уравнения теплопроводности

В этой работе требуется найти распределение функции u(x, y, t), удовлетворяющей нестационарному уравнению теплопроводности

заданного в области , граничным условиям 1–3-го рода и начальному условию

u(x, y, 0)=u0(x, y).

Помимо задачи распределения тепла (u – температура), такой постановке удовлетворяет, например, задача распределения магнитного поля внутри проводника, на который действует внешнее поле Hе (в квазистационарном приближении). Действительно, в случае трансляционной симметрии в направлении z, требуется решить уравнение внутри проводника

где = ( 0 )–1 ( 0 = 4 10–7 Гн/м – магнитная постоянная, – удельная проводимость: 107 Ом–1 м–1) с соответствующими начальными и граничными условиями.

Задания

31. Затухание магнитного поля в прямоугольной бесконечно длинной пластине.

Пусть прямоугольная пластина со сторонами a и b=a/2 имеет бесконечное направление вдоль оси z, а магнитное поле,

152

Hz(0, y, t) = Hz(a, y, t) = Hz(x, 0, t) = Hz(x, b, t) = 0, 0 < t < ,

Hz(x, y, 0) = H0(x, y), 0 x a, 0 y b.

Найти конечно-элементное решение для b=1, a=2; 5; 10,

=0.1, H0 = 1, H0 = sin( x/a) sin( y/b).

Сравнить с аналитическим решением:

32. Проникновение переменного магнитного поля в прямоугольную бесконечно длинную проводящую пластину.

Рассмотрим ту же пластину, что и в предыдущей задаче, но помещенную во внешнее переменное поле с частотой . Тогда для определения поля внутри пластины требуется решить уравнение (4.1) при следующих условиях

Hz(0,y,t) =Hz(a,y,t) = Hz(x,0,t) = Hz(x,b,t) = H0 sin t, 0 < t < , Hz(x, y, 0) = 0, 0 x a, 0 y b.

Таким образом, имеем задачу с периодическими граничными условиями. Размеры пластины взять, как в задании 1, а частоту= 10, 20, 100, 200. Определить глубину скин-эффекта.

33. Для следующих областей (рис. 4.17-4.19) решить задачи в условиях заданий 31 и 32.

Рис. 4.17. Бесконечный цилиндр

153

4.9.Сверхпроводниковые подвесы

Вданной работе требуется найти распределение магнитного поля для подвесов и вычислить ряд электромеханических характеристик, имеющих практический интерес. Предполагается, что ток I во всех токонесущих элементах одинаков. Тогда индуктивность можно определить по формуле

или в дискретном виде

L I20 i, j i j Ni Njd I20 i, j Sij i j .

Сила, действующая на сверхпроводящее тело, –

(S – поверхность сверхпроводника).

Компонента силы Fq, действующая вдоль обобщенной координаты q, и запасенная энергия (индуктивность) связаны соотношением

Fq W 1 I2 L .

q 2 q

Матрица жесткости, характеризующая отклик системы на возмущение по степеням свободы p и q, определяется как

Таким образом, чтобы вычислить жесткость, необходимо провести серию расчетов распределения поля для малых смещений сверхпроводящего тела вдоль всех степеней свободы. В результате строится зависимость L = L(p, q) в виде степенного ряда путем подбора коэффициентов интерполяционным методом. Затем по формуле (4.2) вычисляются коэффициенты cpq .

155

37. Для представленных ниже конфигураций подвесов, имеющих осевую симметрию относительно оси z, найти индуктивность L, подъемную силу FH ,. жесткость czz и точку на поверхности сверхпроводников, где напряженность поля максимальна. Для функции L использовать представление

L(z) = L0 + a(z – z0) + b(z –z0)2 + с(z – z0)3,

где координата z0 соответствует равновесному положению тела, L0 , a, b, с – коэффициенты, подлежащие определению.

157

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Основные физико-математические модели модуля AC/DC

и базового модуля Comsol Multiphysics [37]

Система уравнений Максвелла

∙ = 0,

иследующее из них уравнение непрерывности

индукции электростатического поля соответственно, – вектор плотности тока, – объёмная плотность электрического заряда.

Материальные соотношения

=+ ,

= ( + ),

=+ ,

Третье уравнение системы – дифференциальная форма закона Ома с добавочной плотностью внешнего тока .

158

В случае линейных изотропных материалов вектор поляризации коллинеарен вектору напряжённости электрического поля, а вектор намагниченности – напряжённости магнитного поля. В этом случае материальные соотношения имеют вид:

среды соответственно.

В случае анизотропных сред материальные соотношения записываются в тензорной форме.

Потенциалы электромагнитного поля

Задачи в постановке индуцированного потенциала

циал индуцированного магнитного поля.

159

Электромагнитная энергия

Электрическая и магнитная энергия рассчитываются по следующим формулам:

Дифференцирование этих выражений по времени даёт формулы для расчёта электрической и магнитной мощности:

= ∙ ,

160