Учебное пособие 2049

r

Hе Hе

z

10. Найти стационарное распределение температуры u в изображенном на рис. 4.8 секторе круга. Использовать показанные краевые условия.

y

1

u

u n =–2

=0

n

x

Рис. 4.8

131

4.3.Краевые задачи для уравнения Лапласа

сдополнительными условиями

Пусть имеется система электродов, возможно, во внешнем электрическом поле. Требуется найти распределение электростатического поля в области, окружающей эти электроды, при условии, что электрод (проводник) заряжен (известен либо его заряд, либо потенциал на его поверхности) или не заряжен (известно только, что потенциал постоянен на поверхности проводника). Искомое распределение удовлетворяет уравнению Лапласа для потенциала с граничными условиями 1-го или 2-го рода, а также дополнительными условиями:

u = const на поверхности проводника;

( u n)dS Q (интеграл по поверхности провод-

S

ника равен вполне определенному числу)

В двумерной задаче поверхность проводника превращается в линию, а интеграл по поверхности – в криволинейный интеграл.

Пример 4. Найти распределение электростатического поля вблизи бесконечного провода круглого сечения, помещенного в поле плоского конденсатора (рис. 4.9).

проводник

Рис. 4.9

Ввиду симметрии задачи достаточно рассмотреть лишь половинуобласти.

132

Пример 5. Найти распределение электростатического потенциала для системы проводников, изображенной на рис.4.10.

Модификации. Решить рассмотренную задачу при измененных условиях:

а) на всех внешних граничных линиях задано u=0, остальные условия те же;

б) на левой внешней границе области u=0, на правой u=1, на верхней и нижней – u n 0; на линиях зоны {21} и

зоны {2}: u=const,

в) на всех внешних граничных линиях u=const; заданы полные заряды электродов (зоны {21} и {2}), т.е. интегральные условия на соответствующих линиях.

Задания

11. Для изображенных областей и указанных граничных условий найти распределение электростатического поля, построить эквипотенциальные кривые и графики изменения напряженности поля вдоль некоторых линий. Для проводящих границ использовать различные варианты условий (u=u0,

u=const или u u Q) .

133

Задачи с плоской геометрией

d

c

b

Г1

a

a:b=2:1;1:1;c:a=1:4;1:3;1:2; a d:a = 1:12; 1:8; 1:4

6) Заряженные проводники во внешнем поле

a:b = 1:1; c:a = 1:5; d:c = 1:3; 1:5.

134

точниками. Оно, как правило, дополняется граничными условиями 1-го, 2-го и 3-го рода, могут ставиться и другие дополнительные условия.

Пример 6. Найти стационарное распределение температуры в пластине L-образной формы, рассмотренной в примерах 2 и 3, все стороны которой поддерживаются при нулевой температуре. Пластина нагревается постоянным током, выделяющим в единице объема тепло Q. Данная задача сводится к решению уравнения Пуассона u=–Q/k (k – коэффициент теплопроводности) в соответствующей области с условием 1-го рода u|Г = 0.

Модификации. Провести аналогичный расчет поля для других граничных условий:

а) u|x=a=0, u|x=b=0, u n u y d 0, u n y 0 0;

б) u n x a 0, u n x b 0, u n u y d 0, u n y 0 0;

в) u |x a 0, u|x b 1, u n u y d 0, u n y 0 0

(здесь предполагается a x b, 0 y d).

Решить данную задачу как осесимметричную, считая, что геометрия области задана в координатах (r, z) цилиндрической системы, принимая z=x, r=y. В этом случае подобласть источников поля будет представлять собой шар, а вся область задачи – цилиндр.

Задания

13. Найти стационарное распределение температуры в прямоугольной пластине 0 x а, 0 y b, всестороны которой поддерживаются при нулевой температуре. Пластина нагревается от источников тепла, мощность которых описывается законом:

1)Q(x, y) = c (x2 + y2) + d (c , d – постоянные);

2)Q(x, y) = c sin (m x/a) sin (n y/b) (m, n – целые).

Данная задача сводится к решению уравнения Пуассона k u = –Q(x, y) (k – коэффициент теплопроводности) в прямоугольнике с граничными условиями u(x, 0) = u(x, b) = u(0, y) = = u(a, y) = 0.

136

14. Найти стационарное распределение температуры в области, представленной на рис. 4.10, если в подобластях 1 и2 имеются источники поля постоянной плотности. В качестве граничных условий на внешней границе области использоватьu n u 0 , u | 0 либо какие-нибудь другие, не лишенные физического смысла.

15. Для конфигураций, представленных в заданиях 23-26, найти распределение магнитного поля, считая, что через проводники течет ток с заданной постоянной плотностью j. Указание. Искомое распределение в виде векторного магнитного потенциала A можно найти, решив уравнения:

2 A 0 j внутри проводника,

2A 0 вне проводника.

16. Решить задачу Дирихле

2u 2u 4,x2 y2

в области, заданной неравенством x2 y2 1, с условием на

границе Г u 2y.

17. Решить задачу Дирихле

2u 2u 4,x2 y2

в области, заданной неравенством x2 y2 1, с условием на

границе Г u 2xy .

137

4.5. Решение краевой задачи при наличии физически неоднородных сред

пределение поля вблизи и внутри цилин-

Рис. 4.11

дра. Диэлектрическую проницаемость окружающего пространства считать равной 1.

Задача сводится к решению уравнения Лапласа u = 0 в прямоугольной области, состоящей из подобластей с различными значениями проницаемости, и с граничными условиями u = 0 при x = a, u n 1 при x = b (a произвольно, расстояние

|b–a| достаточно велико) и u n 0 на остальной части границы.

Задания

19. Для представленных ниже конфигураций найти распределение магнитостатического поля, построить эквипотенциальные кривые и графики изменения напряженности поля вдоль нескольких линий.

При неуказанных размерах геометрию области задавать приближенно, сохраняя конфигурацию и масштаб рисунка. В случае затруднений обращаться к преподавателю.

1=0.01; 0.333; 3; 10; 100. r2 : r1 = 3 : 2; 2 : 1; 3 : 1.1 = 5; 10; 100.

138

22. Найти распределение магнитостатического поля в области, представленной на рис. 4.10, если через проводники 1 и 2 с магнитными проницаемостями 1 и 2 протекают токи с постоянной плотностью j1 и j2 соответственно.

Решить ту же задачу, если j2 = 0, j1 0, а также для случая, когда оба проводника помещены во внешнее однородное магнитное поле Не.

Указание. Для решения использовать следующую форму-

4.6.Краевые задачи для уравнения Лапласа

вобласти с разрезами

Взадачах расчета магнитостатического поля вблизи массивных сверхпроводников через скалярный магнитный потенциал требуется решить уравнение Лапласа

2u 2u 0x2 y2

с учетом однородного условия Неймана u n 0 на границе сверхпроводника, с граничными условиями 1-го и 2-го рода на остальных границах и дополнительным условием скачка на некоторой поверхности (в двумерном варианте – линии) разреза . Условие скачка означает, что каждой точке разреза потенциалу приписывается два значения (по одну и по другую сторону разреза), отличающихся между собой на одно и то же число – силу тока I. В результате получается, что потенциал при переходе через терпит скачок, равный I. Точная матема-

140