Учебное пособие 1888

Так как

f (x)

3x2 0.4x 0.2

и

при x3

x

1.5 имеем

f (x)

3 1.1982

0.4 1.5

0.2

3 1.43 0.8

3.49 ,

то можно

принять

0

x3

0.0072

0.002 .

3.49

Таким образом,

1.198

0.002

,

где 0

1.

xn 1

xn

f (xn )

.

(4.8)

f (xn )

Достаточные условия сходимости этого метода содержатся в

следующей теореме.

Теорема. Пусть функция

f (x)

определена и дважды

диффе-

ренцируема на отрезке a, b ,

причем f (a)

f (b)

0 , а производ-

ные

f (x), f

(x)

сохраняют знак на отрезке

a, b . Тогда, исходя

из начального приближения

x0

a, b , удовлетворяющего нера-

венству f (x0 )

f (x0 )

0 ,

можно построить последователь-

ность xn 1

xn

f (xn )

,

n

0, 1, 2, ...,

сходящуюся к един-

f (xn )

ственному на

a, b решению

уравнения f (x) 0 .

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене не-

большой дуги кривой y

f (x) касательной, проведенной в некото-

рой точке кривой (рис. 9).

Выберем, например, x0

b , для которого

f (x0 ) f (x0 ) 0 .

Проведем касательную к кривой

y

f (x) в точке B0 (x0 , f (x0 )) .

В качестве первого приближения x1

корня

возьмем абсциссу точ-

ки

пересечения

этой касательной

с осью

OX .

Через

точку

xn

M 2

xn

xn 1

2

,

2m1

где M 2 - наибольшее значение

модуля второй производной

f (x)

на отрезке

a, b

;

m1 - наименьшее значение модуля первой

на отрезке a, b . Таким образом,

производной

f (x)

если

Рис. 9

M

2

xn xn 1

, то

xn

2

. Последнее соотношение оз-

2m1

достатку и значения по избытку точного корня

уравнения (4.1).

Пусть

f (x)

0 и

f (x) 0

при

a

x b . Полагаем

x0 a ,

x0

b получим

x

a

(b a) f (a)

,

x

b

f (b)

.

1

f (b)

f (a)

1

f (b)

Значения

x1

и x1 , лежат по разные стороны от искомого корня

(так как

f (x1 ) и

f (x1 )

имеют разные знаки). Далее на x1, x1

лучаем два числа

x2

и

x2

еще более близких к значению корня.

Продолжая

таким образом до тех пор, пока разность между

най-

денными приближенными значениями не станет меньше,

чем тре-

буемая точность, получим формулы

xn

1

xn

(xn

xn ) f (xn )

,

(n

0, 1, 2, ...) .

f (xn )

f (xn )

xn

1

xn

f (xn )

,

(n

0, 1, 2, ...) .

f (xn )

Пример. Вычислить с точностью до

0.0005 положительный

корень уравнения x5

x

0.2

0 .

Решение.

Так как

f (1)

0 и

f (1.1)

0 , то корень

лежит

в интервале (1; 1.1), т.е.

1

1.1.

Имеем: f (x)

5x4

1

и

f (x)

20x3 . В

выбранном нами интервале

f

(x)

0 ;

f

(x) 0 ,

т.е.

знаки производных сохраняются.

Применим

комбинированный

метод,

полагая

x0

1

и

x0

1.1 .

Так как

f (x0 )

f (1)

0.2 ;

f (x0 )

f (1.1)

0.3105;

f (x0 )

f

(1.1)

6.3205,

то формулы (4.6) и (4.8)

дают:

x

1

0.1 0.2

1.039 ;

x

1.1

0.31051

1.051.

1

0.51051

1

6.3205

Ввиду того, что x1

x1

0.012, то точность недостаточ-

ная.

Находим следующую пару приближений:

x2

1.039

0.012 0.0282

1.04469, x2

1.051

0.313

1.04487.

0.0595

5.1005

Здесь x2

x2

0.00018,

т.е. нужная степень точности достиг-

нута.

x

(x) .

(4.9)

Выберем каким-либо способом начальное приближение

x0

искомого

корня

и

вычислим

x1

(x0 ), x2

(x1), ...,

xn

(xn

1), .. . Получим последо-

вательность чисел

x0 , x1, ...,

xn , ...

. Если эта последовательность

– сходящаяся, т.е. существует предел,

lim xn , то число

яв-

n

равенстве

xn

(xn

1) к

пределу

при n

,

получим

( ) ,

то есть

-

корень уравнения

(4.1). При достаточно

большом

n xn мало отличается от , следовательно,

xn

является

приближенным значением корня уравнения (4.1).

Геометрически способ итерации можно показать следующим

образом. На плоскости XOY строятся графики функций

y x и

y

(x) . Абсцисса точки пересечения

этих графиков

является

действительным корнем. Взяв в качестве

начальной произвольную

. Из рисунков видно, что если

(x)

0

на отрезке a, b , то

последовательные приближения xn

(xn

1)

колеблются около

корня

(ломаная называется “спираль”) (рис. 10),

Решение. Для отделения корней представим это уравнение в

виде x

1

cos x. Построив графики функций y

x и y

1

cos x ,

2

2

видим,

что корень этого уравнения содержится

внутри

отрезка

0,

(рис.12). f (x) 2x

cosx; f (x) 2 sin x 0. Поло-

2

жим,

x(0)

0.5. Последовательные приближения найдем по фор-

мулам

x(k

1)

1

cos x(k )

(k 0,1,2,...) :

2

Рис. 12

x(1)

1

cos x(0)

1

cos0.5 0.43879128;

2

2

x(2)

1

cos x(1)

1

cos0.43879128

0.45263292;

2

2

x(3)

1

cos x(2)

1

cos0.45263292

0.44964938;

2

2

x(4)

1

cos x(3)

1

cos0.44964938 0.45029978.

2

2

1

1

Так как

q

max

q (x)

max sin x

,

2

2

0 x

0 x

2

2

x(4)

x(4) x(3)

0.0006504

10 3.

то

Следовательно,

x(4)

0.450 с точностью 10 3.

F1

(x, y) 0

(4.10)

ветственно через hn и

kn ,

запишем точные значения корней x , y

в виде:

x xn

hn ,

y yn kn .

Таким образом,

вместо системы (4.10) имеем:

F1(xn

hn , yn

kn ) 0

(4.11)

F2 (xn

hn , yn

kn ) 0.

F1(xn , yn ) hn

F1(xn , yn )

kn

F1(xn , yn )

0

x

y

(4.12)

F2

(xn , yn ) hn

F2 (xn

, yn )

kn

F2

(xn

, yn )

0.

x

y

Если якобиан этой системы

F1(xn , yn )

F1(xn , yn )

J (xn , yn )

x

y

0 ,

F2

(xn , yn )

F2 (xn , yn )

x

y

F1

(xn , yn )

F1(xn , yn )

yn 1

yn

1

x

(4.16)

F2 (xn

, yn )

J (xn , yn )

F2 (xn , yn )

x

( n

0, 1,2,...) .

Начальные значения x0 ,

y0

определяются приближено.

Пример. Найти действительные корни системы

F (x, y) 2x3

y 2 1 0

1

F (x, y)

xy3

y 4 0.

2

Решение. Графическим путем найдем грубо приближенные

значения корней

x0

1.2 ,

y0 1.7 .

Подставив в систему в (4.10) получим:

F1(1.2,1.7)

0.434

F2 (1.2,1.7)

0.1956.

Вычислим Якобиан

J (x, y)

6x2

2 y

,

y3

3xy2

1

отсюда

J

3.4

97.91.

8.64

4.91

9.4

По формуле (4.13)

вычисляем h0

h0

1

0.434

3.4

3.389

0.0349,

0.1956

9.4

97.91

97.91

отсюда по формуле (4.15) находим

x1

1.2

0.0349

1.2349.