Учебное пособие 1888

цией простого вида.

Разобьем

отрезок интегрирования

a, b

на n равных час-

тей точками x0

a,

x1

x0

h, ..., xi 1

xi

h, ...,

xn

b , ( h

- шаг

разбиения,

h

(b

a) / n ). Значения функции

f (x)

в точ-

ках разбиения xi

обозначим через yi . Непрерывную подынтеграль-

ную

функцию

y f (x)

заменим

интерполяционной формулой

Ньютона, в которой

x

x0

hq . Тогда dx

hdq, пределы интег-

рирования равны

a

x0 ,

b

x0

nh . Интегрируя

многочлен

Ньютона на отрезке

a, b ,

можно получить:

b

x0

nh

n

q(q

1)

f (x)dx

F (x0

hq)hdq

h

y0

q y0

2 y0

2!

a

x0

0

q(q

1)(q

2)

3

y0

...

dq.

3!

В результате интегрирования будем иметь:

x0 nh

n2

n3

n2

2 y

n4

3 y

n3

n2

ydx h ny

y

0

0

...

. (6.1)

0

2

0

3

2

2!

3

3!

x0

Из (6.1)

можно получить целый ряд формул численного ин-

x0 h

1

y1 y0

y0 y1

ydx h y0

y0

h y0

h

. (6.2)

2

2

2

x0

(x x

0

)3

R(h)

1

max

f (x)

.

12

x x0 , x1

R(h)

(b

a)h2

max

f

(x)

.

(6.5)

12

x

a,b

Ошибку по формуле (6.5) не всегда можно оценить, например,

когда функция

f (x)

задана в виде таблицы и ее аналитическое вы-

ражение неизвестно. В этом случае производная f

(x) оценивается

с помощью табличных разностей

f

(x)

2 y

.

Поэтому вместо

h2

формулы

(6.5)

используется формула

R(h)

(b

a)

max

2 yi

.

(6.6)

12

i

Для получения еще одной квадратурной формулы численного

интегрирования положим в (6.1)

n

2 ,

т.е.

отбросим все разности

выше второй. Тогда

x0

2h

8

1

ydx

h 2 y0

2

y0

2

2 y0

3

2

(6.7)

x0

h 2 y

2 y

2 y

1

( y

2 y

y

)

h

( y

4 y

y

).

0

0

2

0

0

2

1

3

1

3

1

Геометрический

смысл полученной формулы заключается в

том, что

в интервале интегрирования

x0 , x0

2h

функция

y

f (x)

заменяется

обычной

параболой

второй

степени

y

Ax2

Bx

C , проходящей через три точки кривой с абсцисса-

ми x0 ,x0

h,x0 2h (рис.19).

При этом площадь криволинейной

трапеции заменяется площадью параболической трапеции.

Из формулы (6.7) можно получить формулу для приближенно-

го вычисления интеграла по всему интервалу

a,b .

Для этого разобьем интервал

a,b на

четное число n

2m

равных отрезков и для каждого из отрезков

x0 , x2 , x2 , x4

,....,

(b a)h4

(4) (x)

(b a)5

f (4) (x)

R(h)

max

f

max

(6.10)

180

180

x a,b

x a,b

или,

пользуясь формулой

f (4) ( x)

4 y

,

h4

(b

a)

R(h)

max

4 yi

.

(6.11)

180

i

Пример.

Вычислим

dx

способом трапеций и пара-

1

x 2

0

бол,

разбив участок

0

x 1

на 10 частей.

Решение.

По

формуле

h

(b a)

определим

n

h

(1

0)

01. .

Найденные

значения подынтегральной функ-

10

ции f (x)

1

поместим в таблицу 10.

x2

1

По формуле трапеций имеем:

1

dx

1.0

0.5

0.1

0.9900990

... 0.5524862

0.7849815.

0 1

x

2

2

x

2

2

f (x)

1

x

1

x

1 x

2

0.0

0.00

1.00

1.0000000

0.1

0.01

1.01

0.9900990

0.2

0.04

1.04

0.9615385

0.3

0.09

1.09

0.9174312

0.4

0.16

1.16

0.8620690

0.5

0.25

1.25

0.8000000

0.6

0.36

1.36

0.7352941

0.7

0.49

1.49

0.6711409

0.8

0.64

1.64

0.6097561

0.9

0.81

0.81

0.5524862

1.0

1.00

1.00

0.5000000

По формуле Симпсона -

1

dx

0.11.0

0.5 4(0.9900990

0.9174312 ...

0.5524862)

0

1 x2

2(0.9615385

... 0.6097561)]

0.785398.

1

dx

1

Так

как

arctg

, то можно считать,

что вы-

0

0 1

x

2

4

числяя этот интеграл, находим приближенное значение числа

.

4

Так

как истинное

значение

=0.78539816,

то относитель-

4

формулах трапеций

и Симпсона. Это так называемый метод

двойного пересчета,

который заключается в следующем. По этим

I , используется правило Рунге

I S(h / 2)

1

S(h)

S(h / 2)

,

(6.12)

2k

1

где k 2 для формул трапеций и k

4 для формул Симпсона.

При заданной точности

вычисления с уменьшающимся

1

S(h) S(h / 2)

.

2k

1

При этом полагают I

S(h / 2) с точностью .

Дифференциальное

уравнение

первого

порядка,

разрешенное

относительно

производной, имеет

вид

y

f (x, y)

(7.1)

y(x0 ) y0 .

(7.2)

Пару чисел ( x0 , y0 ) называют начальными данными. Реше-

ние задачи Коши называется частным решением уравнения

(7.1)

производной f y (x, y)

по переменной y в некоторой области D на

плоскости. Тогда при

любых начальных данных ( x0 , y0 )

D зада-

ча Коши (7.1) - (7.2) имеет единственное решение y

(x) .

некотором отрезке

a, b :

x0

a,

x1, x2 ,..., xm

b.

(7.3)

Точки (7.3) называют узловыми точками, а множество этих

точек называют сеткой

на отрезке a, b . Будем использовать рав-

номерную сетку с шагом h :

h (b a) / m;

xi

xi

1

h или

xi

x0

ih

(i

1,2,..., m) .

Приближенные значения численного решения задачи Коши в

узловых точках

xi

обозначим через

yi ; таким образом,

yi

(xi ) (i

1,2,...., m).

Для любого

численного метода решения задачи (7.1) -(7.2)

начальное условие (7.2) выполняется точно, т.е.

y0

(x0 ) .

Величина погрешности численного метода решения задачи

Коши на сетке отрезка

a, b оценивается величиной

d

max

yi

(xi )

,

1 i

m

т.е. расстоянием

между

векторами приближенного

решения

( y0 , y1,..., ym )

и точного (

(x0 ), (x1 ),....,

(xm )) .

Найдем ординату

y1

касательной, соответствующей абс-

циссе x1

x0

h . Так

как уравнение касательной к кривой в точке

P0

имеет вид y y0

y0 (x

x0 ) , то y1

y0 hf (x0 , y0 ) . Угло-

вой

коэффициент в точке P (x , y )

также находится из

данного

1

1

1

дифференциального уравнения

y1

f (x1, y1) . На следующем ша-

ге

получаем

новую

точку

P2 (x2 , y2 ) ,

причем x2

x1 h ,

y2

y1

hf (x1, y1) . Продолжая вычисления в соответствии с на-

сетке отрезка

a, b

с шагом h :

xi

xi

1 h,

yi

yi

1

hf (xi 1, yi

1 )

(i 1,2,..., m). (7.4)

Геометрический смысл метода Эйлера заключается в том, что

интегральная кривая y

(x) на каждом отрезке x0 , x1

,

x1, x2 ,

…, xm 1 , xm

заменяется отрезком касательной к интегральной кри-

вой, проходящей через точки

Pk (xk , yk ) , а интегральная кривая

заменяется

ломаной,

проходящей

через

точки

P0 (x0 , y0 ) ,

P (x , y ) , …,

P (x

m

, y

m

)

. Эта ломаная называется

ломаной Эй-

1

1

1

m

лера (рис.18).

Для оценки погрешности метода Эйлера на одном шаге запи-

шем разложение точного решения задачи Коши в точке x1

по фор-

муле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

(x )

(x

h)

(x

)

(x

)h

1

( )h2

y

0

0

0

0

1

2

hf (x

, y

)

1

( )h2

y

1

( )h2

,

x

, x .

0

0

0

2

1

2

1