Учебное пособие 1851

3.ХАРАКТЕРИСТИКИ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ

МЕХАНИЗМОВ

3.1.Маневренность ММ

ММс одинаковыми значениями w могут отличаться друг от друга размерами звеньев, видом кинематических пар (поступательные или вращательные), их классами и расположением. Это приводит к большому числу вариантов кинематических схем ММ. Поскольку эксплуатационные свойства этих вариантов в общем случае различны, возникает проблема оп-

тимального выбора варианта ММ, т.е. оптимизации кинематической схемы ММ с учетом ряда требований, которые могут быть противоречивыми по своей природе.

Одним из важнейших параметров ММ является число степеней подвижности его схвата. Чем больше w, тем шире возможности ММ при обходе раз-

личных препятствий и разнообразнее множество возможных положений схвата. Однако, избыточные степени подвижности ММ порождают серьѐзные проблемы при синтезе систем управления ММ.

Маневренностью манипулятора называется число wm степеней под-

вижности М при неподвижном схвате. Маневрен-ность ММ характеризует возможности изменения положения ММ при неподвижном схвате с целью совершения рабочих движений, обхода препятствий и т.п. Поскольку при неподвижном схвате число подвижных звеньев ММ уменьшается на одно

wM w – 6.

Здесь знак обусловлен тем, что связи, налагаемые на схват, могут влиять на движение других звеньев.

Сильное влияние структуры ММ на его маневренность видно из рис. 3.1. Для схемы б wM = 0. Для кинематической

48

схемы а wM = 1, так как оси пар D и Е параллельны. В этом случае звенья 2,3 и 4 образуют плоский шарнирный четырехзвенник, имеющий одну степень подвижности.

Наличие маневренности порождает серьѐзные проблемы в управлении манипулятором. Маневренность ММ является важнейшей его характеристикой, и может быть описана математически.

3.2.Рабочая зона и классификация движений схвата

Рабочей зоной ММ называется множество точек пространства, доступных для некоторой точки схвата.

Рабочая зона характеризуется рабочим объемом и формой.

Рабочим объѐмом ММ на-

зывается объѐм рабочей зоны ММ. Рабочая зона всегда содержит объекты, которые не могут быть удалены из нее по различным причинам. При работе ММ они должны рассматриваться как препятствия. Кроме того, схват ММ

при выполнении некоторых операций должен совершать движение по линии или поверхности при произвольной или заданной его ориентации. Поэтому движения схвата делятся на

четыре класса.

К первому классу относятся движение в свободной от препятствий рабочей зоне (рис. 3.2, а), ко второму – движение в зоне с препятствиями (рис. 3.2, б), к третьему – движение в свободной зоне согласованные со связями, налагаемыми на схват характером выполненных операций (рис. 3.2, в), к четвертому – движение в несвободной зоне при наличии связей на движения схвата (рис. 3.2, г). Поскольку ММ предназначен для проведения рабочих операций, в рабочей зоне всегда имеются неустранимые препятствия.

49

Форма и объем рабочей зоны зависят от структуры и геометрии звеньев ММ, ограничений на относительные движения звеньев в кинематических парах. Определение рабочей зоны в общем случае является сложной задачей.

При определении рабочих зон используются аналитические и графические методы. Рабочая зона ММ, показанного на рис. 1.4а, приведена на рис. 3.4 г.

3.3.Угол и коэффициент сервиса ММ

Для каждой точки рабочей зоны ММ существует телесный угол , внутри которого может находиться некоторая ось схвата, подведенного к этой точке. Этот угол называется углом сервиса и зависит от положения точки рабочей зоны.

Если S – площадь некоторой области на поверхности сферы радиуса R, то те-

лесный угол определяется по формуле (рис. 3.3)

S / R2 .

Коэффициентом сервиса ММ в данной точке рабочей зоны называется величина

Коэффициент сервиса также зависит от координат точек рабочей зоны, имея нулевые значения на еѐ границах.

Зоной полного сервиса называется часть рабочей зоны, в которой = 1. В точках этой зоны схват может иметь произвольную ориентацию.

Полным (средним) коэффициентом сервиса называется ве-

личина:

v

50

Величина ~ характеризует возможности выполнения различных операций в рабочей зоне

Полный коэффициент сервиса прямо пропорционален ве-

роятности того, что в случайно взятой точке рабочей зоны ММ

его схват можно сориентировать в заданном направлении.

3.4.Определение коэффициента сервиса методом объё-

мов

Метод объѐмов для определения коэффициента сервиса ММ был разработан группой советских ученых во главе с А.Е. Кобринским.

Пусть для ММ, указанного на рис. 3.4 а, необходимо определить в некоторой точке D рабочей зоны. Для этого вводится фиктивная кинематическая пара с центром в точке D – сферический шарнир. При этом схват получает возможность вращения относительно точки D и угол сервиса можно определить как телесный угол, содержащий все возможные положе-

51

ния оси CD звена 3. Для определения угла сервиса в точке D можно представить манипулятор как пространственный четырехзвенный механизм с одной вращательной В и тремя сферическими А, С и D кинематическими парами, точки А, В и С которого находятся в одной плоскости, ортогональной оси шарнира В. Плоскость, содержащая точки А, В, С и D, называется базовой плоскостью. В базовой плоскости рассматриваемый механизм можно считать плоским шарнирным четырехзвенником АВСD, способным вращаться вместе с базовой плоскостью вокруг оси АD, проходящей через центры кинематических пар А и D. Поэтому для определения всех возможных положений отрезка CD нужно сначала найти положения CD в базовой плоскости, а затем определить положение CD при вращении вокруг оси AD. Возможность вращения звеньев 1 и 2 относительно оси АС, соединяющей оси шарниров А и С, не рассматриваются, т.к. не влияет на положение отрезка CD, обеспечивая одну степень маневренности ММ.

В зоне полного сервиса =1 и звено 3 может иметь любою ориентацию, т.е. точка С может занять любою из точек на сфере радиуса lCD = l3 с центром в точке D. Это будет возможно, если в плоском механизме АВСD звена 3 будет кривошипом, т.е. сможет совершать полный оборот вокруг точки D. Поэтому =1 в тех точках рабочей зоны, для которых будет выполнены условия существования для механизма АВСD: кривошип имеет наименьшую длину среди звеньев механизма и сумма длин наибольшего и наименьшего звеньев механизма должна быть меньше суммы длин двух других сторон. В шарнирном четырехзвеннике ABCD наибольшим звеном может быть стойка CD, или шатун ВС или коромысло АВ, как звено обычно не совершающее полный оборот вокруг точки А. Если R = lАD , то условия существования кривошипа примут вид:

Условие (1) даѐт максимальную длину стойки AD

Rmax = l1+ l2 - l3.

В (2) и (3) стойка считается одним из наименьших звеньев и поэтому

Rmin = | l1 - l2 |+ l3 .

Следовательно, зона полного сервиса располагается между радиусами Rmin и Rmax .

Величину R можно уменьшить до значения

R0 = | l1 - l2 |- l3 .

Для получения рабочей зоны пространственного механизма нужно вращать его вокруг оси AD, а саму ось AD – вокруг точки А. Тогда зона полного сервиса будет находиться между сферами с радиусами Rmin и Rmax (зона 1), а зоны неполного сервиса 2 и 3 заключены между сферами с радиусами R0 и Rmin и Rmax и R1 с центром в точке А.

Если точка D находится в зонах 2 или 3, то звено 3 описывает шаровой сектор, поверхность которого имеет площадь:

где max - максимальный угол, отсчитанный от оси AD до отрезка CD, на который может повернуться звено 3.

С учетом симметрии структуры зон 1,2,3 можно положить dV=4 R2 dR и интегрирование по объему в (3.1) можно заменить интегрированием по радиусу R. Тогда

Формулы (4.4), (4.5) получены без учета ограничений на углы поворота звеньев друг относительно друга, обусловленных конструкцией звеньев и кинематических пар. Учет этих

ограничений значительно в общем случае усложняет опреде-

~

ление величин и θ и снижает значение полного коэффициента сервиса.

~

Величина θ используется для сравнения различных вариантов манипуляторов между собой.

3.5.Мобильность ММ

Пусть некоторой точке А рабочей зоны ММ соответствует положение (конфигурация) qˆ . Рассматриваются возможные траектории некоторой точки схвата, идущие через точку А.

Мобильностью Мq ММ в данном положении qˆ называется величина

ти (рис.3.5), границ которой достигает заданная точка схвата, двигаясь в любых возможных направлениях в течение времени t из точки А, для которой определяется мобильность. Время t отсчитывается от момента прохождения заданной точкой схвата точки А.

При вычислении мобильности нужно учитывать ограниченность скоростей звеньев ММ, вызванную ограниченными мощностями приводных двигателей, прочностью звеньев и другими причинами. Поэтому (5.1) следует определять с учетом ограничений на обобщѐнные скорости

qi =dqi/dt,

наиболее простые из которых имеют вид

где аi и bi (i = 0,1,2, … , n) – заданные числа.

Мобильность ММ характеризует скорость увеличения объѐма области Vv , при всевозможных скоростях схвата,

реализуемых в положении qˆ .

Мобильность характеризует скоростные свойства ММ и является одной из важнейших его характеристик. Мобильность пропорциональна вероятности то-

го, что случайно выбранный вектор скорости будет равен одному из векторов скоростей, реализуемых в данном положении ММ заданной точкой схвата.

Кроме мобильности в точке используется глобальная мобильность

где VQ – объем n-мерной области Q значений qi , заданной конструкционными ограничениями на обобщенные координаты

qi qi qi (i = 0,1,2, …, n),

равный

VQ = ( q0 - q0 ) …( qn - qn ) .

Кроме этого следует учитывать ограничения на обобщѐнные скорости вида (5.2)

.

56

4. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ МЕХАНИЗМОВ

4.1.Задачи кинематического анализа ММ

Вкинематическом анализе ММ решаются задачи по определению положений, скоростей и ускорений заданных звеньев (в основном схвата) ММ и их точек.

Вкинематике используются методы теоретической механики, которым в целях применения компьютеров, дается матричная формулировка и рекуррентное представление.

Кинематический анализ необходим для определения траекторий заданных точек схвата и других звеньев, построения закона управления приводными механизмами, определения сил и моментов сил инерции, необходимых в динамических и прочностных расчетах ММ и его звеньев.

4.2.Формула Родриго

Формула Родриго используется для описания вращений и поступательных перемещений векторов при векторном описании кинематики ММ.

Вектор r* , получаемый из вектора r , при повороте r на

угол q вокруг орта e определяется по формуле конечных вращений (формула Родриго)

ведении аналитических выкладок, но не удобно при программировании вычислений компонентов r* по компонентам r .

Для этого нужно придать формуле Родриго матричную формулировку.

Следует подчеркнуть, что поворот вектора r на угол q относительно некоторой системы координат Z формально можно заменить поворотом Z на угол -q относительно той же оси вращения. Одну из осей Z нужно направить вдоль оси

65