Учебное пособие 1851

При q=0 системы Zi и Zj совпадают. После поворота Zj относительно Zi на угол q вокруг общей оси, направленной вдоль

Преобразованию проекций r на оси системы Zi в проекции r в на оси системы Zj далее ставится в соответствие обо-

29

Рассмотренные преобразования проекций векторов порождены вращением систем координат относительно каких либо из общих осей и называются элементарными.

По определению

rˆi =Кij rˆj = Кij Кji rˆi .

Отсюда

Кij Кji = I,

и

Кij = К ji 1 .

Следовательно, матрица обратного преобразования обратна матрице прямого преобразования (и наоборот).

Легко проверить, что для любой матрицы элементарного преобразования

|det Кij |=| det Кji |=1

и, поэтому,

30

Следовательно, матрица обратного преобразования равна транспортированной матрице прямого преобразования (и наоборот).

Пусть преобразование Z1 Zn происходит за несколько этапов, на которых оси вращения систем координат меняются. При этом происходит n-1 элементарное преобразование

Тогда

rˆn =Kn(n-1) rˆn 1 = Kn(n-1) K(n-1)(n-2) rˆn 2 = Kn(n-1)… K32 K21 rˆ1 .

С другой стороны rˆn = Kn1 rˆ1 , где Kn1 = Kn1(n-1) …K32 K21 – матрица прямого преобразования Z1 в Zn .

Матрица Kn1 называется матрицей сложного преобразования. Следовательно, матрица сложного преобразования равна произведению матриц элементарных преобразований, перемноженных справа налево в порядке, определенном последовательностью элементарных преобразований.

По определению матрица преобразования Zn Z1 имеет вид

K1n = K12 K23 … K(n-1)n = Кn11 .

Очевидно, что

К Т = К Т ( K12 K23 … K(n-2) (n-1) )Т =

1n ( n 1 )n

= К Т К Т ( K12 K23 … K(n-3) (n-2) )Т

( n 1 )n ( n 2 )( n 1 )

= К Т … К Т К Т .

( n 1 )n 23 12

Поскольку определители прямой и транспонированной матриц одинаковы и

31

| det К1n |=| det Кn1 | =det I = 1,

модуль определителя матрицы сложного преобразования также равен единице. Обращение матрицы сложного преобразования также можно заменить ее транспортированием.

2.3.Математическая модель кинематической схемы

Для исследования ММ с использованием компьютеров необходимо описать кинематическую схему механизма на языке математики, т.е. создать математическую модель кинематической схемы механизма. Ниже рассматривается одна из таких моделей, применимая к механизмам с кинематическим парами V класса. Поскольку любой механизм можно свести к механизму, имеющему кинематические пары V класса, предлагаемую математическую модель можно считать универсальной.

В основе этой модели лежит модель звена, в которой информация о геометрии звена определяется векторами

На рис. 2.2 показано изображение звена, на котором малые кружки изображают элементы кинематических пар независимо от вида пар, а большой кружок – указывает положение

32

центра масс звена, соответствующее центру кружка. В большом кружке ставится номер звена.

Ориентация осей элементов звена определяется ортами

v

ei,j , где i-номер звена, j-номер кинематической пары, порож-

денный нумерацией этих пар в механизме. Орт ei,j задает ось

вращения или линию поступательного перемещения звеньев, входящих в кинематическую пару j , друг относительно друга.

Положение центра масс звена относительно центров кинематических пар задается вектор радиусами ri,j , направленными к центру масс.

Очевидно, что в памяти компьютера вектор может быть представлен его проекциями на оси некоторой системы коор-

динат. Векторы ei,j и ri,j удобно задавать проекциями в сис-

теме координат Z i , оси которой являются главными центральными осями инерции звена с ортами qik (k=1,2,3). Тогда

(рис.2.2)

оси; индекс вверху указывает номер проекции.

Ниже будут встречаться векторы ri,j , ei,j , qik (k=1, 2, 3) и др. Эти векторы имеют тот же смысл и модули что и векторы ri,j , ei,j , q ik и др. Символ “ ” указывает на возможное изменение ориентации этих векторов в процессе сборки ММ.

33

Динамические свойства звена определяются его массой mi и главными моментами инер-

ции J ik (k=1, 2, 3).

Вид кинематической пары можно опреде-

лить двоичной переменной l. Итак, для описания звена необходимо ввести в память компьютера в общем случае 7m+4 чисел, где m – число кинематических пар, образуемых звеном.

Положение звеньев друг относительно друга можно определить обобщенной координатой qi , где i - номер кинематической пары в механизме. Координата qi может быть угловой или линейной.

Угол qi определяется как угол между проекциями - rjN,i и

ri,Ni векторов - rj,i и ri,i на плос-

кость, ортогональную орту ei (рис.2.3), отсчитываемой от - rjN,i до ri,Ni . Направление отсчета уг-

ла qi противоположно направлению движения часовой стрелки,

если смотреть с конца орта ei .

Перемещение qi измеряется относительно одной из точек одного из звеньев, принятого за условно неподвижное (рис.2.4), в

направлении орта ei .

34

Если вектор-радиус ri,i параллелен

оси вращательной кинематической пары, т.е. орту ei , то для определения qi

занный с звеном i. В случае параллельности rj,i и ri,i орту ei вводятся как и

выше орты eri и erj и угол qi определяется между ними (рис.2.5).

Пусть i=0,1… n - номера кинематических пар, оснащенных приводным механизмом (сокращенно – приводом), где 0 – номер привода базового звена. Если кинематическая цепь манипулятора является открытой, то каждое из его звеньев имеет свой привод, номер звена совпадает с номером соответствующего привода, а число подвижных звеньев равно n+1.

Совокупность значений qi определяет положение (конфигурацию) ММ и образует матрицу (вектор) обобщенных координат

qˆ ={q0, q1, …qn}T.

2.4. Сборка механизма

Сборкой механизма называется соединение звеньев в кинематическую цепь. Для ММ, образованных открытыми кинематическими цепями, сборка ММ может быть произведена так, что все обобщенные координаты будут равны нулю. Для механизмов, имеющих замкнутые кинематические цепи, подобная сборка в общем случае невозможна, если заранее не выбрать начала отсчета qi соответствующим образом.

35

В процессе проектирования ММ параметры и конструкции звеньев известны весьма приближенно и поэтому на стадии проектирования используются математические модели звеньев и собранного механизма. Поэтому необходимо уметь "собирать" математическую модель ММ из математических моделей его звеньев с использованием компьютера.

Перед сборкой механизма необходимо определить какие звенья и какими их элементами должны образовать кинематические пары. Для этого каждому элементу звена i , входящему

в кинематическую пару j, ставится в соответствие орт ei, j .

Например, если после сборки ось пары, образованной звеньями i-1 и i, задается ортом ei , то до сборки оси собираемых элементов звеньев должны быть заданы ортами ei 1,i и

ei ,i .

Ниже рассматриваются два способа описания процесса сборки. Первый способ основан на решении систем линейных уравнений 9-того порядка и не удобен при ручном счете. Второй способ основан на операциях сложения и умножения мат-

риц и не требует решения систем уравнений.

~

Пусть Zi - система координат Zi звена i, входящего в соб-

ранную часть механизма, имеющего конфигурацию qˆ =0.

2.4.1.Первый способ сборки.

Сборка механизма заключается в последовательном соединении элементов звеньев путем поворота звеньев в положения, при которых орты ej и e i , j совпадают и qi = 0. Таким

Знак " " указывает, что соответствующие объекты будут при сборке механизма повернуты вместе с звеном.

Элементы матрицы Пi подлежат определению. Для этого

36

Положение Z i относительно Z может быть произвольным.

о

Можно считать, что одноименные оси Z и Z i направлены одинаково.

Следовательно, сборка модели ММ из моделей его звеньев заключается в определении матриц Пi (i=0,… ,n) преобразова-

Поскольку при сборке обеспечивается qi=0, орт аi направлен также как и орт нормальной к ei составляющей вектора - ri 1,i . Тогда

звена i-1 с ранее собранной частью кинематической цепи ММ