Учебное пособие 1828

вокруг осей Oz и Oz1 (рис. 4.2). При повороте на угол dφ вокруг оси Oz любая точка тела, лежащая в плоскости zOz1 (внутри угла zOz1 ), получит элементарное, перпендикулярное к этой плоскости перемещение h1d , где h1 - расстояние точки от оси Oz . Одновременно при повороте вокруг оси Oz1 та же точка получит противоположно направленное перемещение, равное h2d Тогда внутри угла zOz1 найдется такая точка В, для которой h1d = h2d и пере-

мещение которой равно нулю (если направление одного из вращений противоположно показанному на рис. 4.2, то такая точка лежит вне угла zOz1 ). Следовательно, элементарное перемещение, получаемое телом в результате поворотов вокруг осей Oz и Oz1 , будет таким же, как у тела, имеющего две неподвижные точки О и В, т. е. является элементарным поворотом вокруг оси ОВ, проходящей через точку О. Рассуждая таким же образом, можно установить, что элементарные повороты вокруг осей ОВ и ОК будут в свою очередь эквивалентны одному элементарному повороту вокруг некоторой, проходящей через точку О, оси ОР (рис. 4.2). Теорема доказана.

148

Ось ОР, элементарным поворотом вокруг которой тело перемещается из данного положения в положение соседнее, бесконечно близкое к данному, называется мгновенной осью вращения. Скорости всех точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения, равны в данный момент времени нулю. От неподвижной оси мгновенная ось вращения отличается тем, что ее направление и в пространстве и относительно самого тела все время меняется. Переместившись поворотом вокруг оси ОР в соседнее положение, тело из этого положения в соседнее положение перемещается поворотом вокруг новой мгновенной оси вращения OP1 и т. д. Таким об-

разом, движение твердого тела вокруг неподвижной точка сводится к серии последовательных элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту неподвиж-

ную точку (рис. 4.3).

Рассмотрим кинематические характеристики этого движения.

1) Угловая скорость , с которой тело совершает элементарный поворот вокруг мгновенной оси вращения, называется угловой скоростью тела в данный момент времени или мгновенной угловой скоро-

стью тела. Мгновенную угловую скорость можно изобразить соответствующим вектором , направленным вдоль оси ОР. Поскольку направление оси ОР непрерывно изменяется, модуль и направление вектора также изменяться и его конец А описывает в пространстве некоторую

149

кривую AD, являющуюся годографом вектора

(рис. 4.3).

2) Угловое ускорение тела в данный момент времени или мгновенное угловое ускорение , определяющее в данном случае изменение вектора угловой скорости , будет векторной величиной, равной

можно определять как скорость, с которой конец вектора перемешается вдоль кривой AD (см. рис. 4.3). В частности, направление совпадает с направлением касательной к кривой АD в соответствующей точке. Следовательно, при вращении тела относительно неподвижной точки, в отличие от случая вращения тела во-

тическими характеристиками движения тела вокруг неподвижной точки. Интегрирование этих векторов дает законы изменения угловой скорости и угла поворота тела соответственно.

Следует помнить, что конечный угол поворота тела не является вектором. Вектором может быть только бесконечно малый угол поворота тела.

§ 4.2. Скорости и ускорения точек тела

Так как при движении около неподвижной

150

точки тело имеет в каждый момент времени мгновенную ось вращения ОР, модуль скорости некоторой его точки М (рис. 4.4) будет в этот момент определяться равенством

где - угловая скорость тела, h - расстояние от точки М до мгновенной оси вращения.

этой же причине из формулы (4.2) нельзя получить выражение для ускорения точки М дифференцированием скорости этой точки, как делается при постоянном h.

проходящий из неподвижной точки О в точку М. Модуль векторного произведения

совпадает с величиной скорости точки М.

151

(4.3)

т.е. вектор линейной скорости некоторой точки М тела равен, векторному произведению мгновенной угловой скорости тела на вектор - радиус этой точки.

Аналитически вектор v определяется по его проекциям на какие - либо оси координат, например на оси Oxyz , жестко связанные с телом

и движущиеся вместе с ним (см. рис. 4.4). Эти оси имеют то преимущество, что в них координаты х, у, z точки М будут постоянными величинами, не зависящими от времени. Учитывая,

Отсюда следуют выражения для проекций вектора скорости точки М на оси подвижной системы координат Oxyz :

vx y z z y,

vz x y y x.

Формулы (4.3) и (4.4) называют формулами Эйлера.

Для определения ускорения точки М продифференцируем по времени равенство (4.3). Тогда получим

152

ев, в частности при изучении сложного движения (см. гл. 5), пользуются подвижными осями Oxyz . Когда такие оси движутся поступательно,

153

тема координат Oxyz (рис. 4.6) вращается,

кроме того, вокруг какой-либо оси ОР, то орты осей системы уже не будут переменными величинами, так как их направления будут зависеть от времени. В этом случае для определения производной от какого - либо заданного проек-

нии единицы длины от начала О.

Выражения (4.6) называют формулами Пуассона.

§4.4. Общий случай движения

свободного твердого тела

Рассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может произвольно перемещаться относительно

154

системы отсчета Ox1 y1 z1 (рис. 4.7). Составим

уравнения, определяющие закон рассматриваемого движения. Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси движении тела будут переме-

рис. 4.1; на рис. 4.7 углы Эйлера не показаны, чтобы не затемнять чертеж). Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение относи-

Нетрудно видеть, что элементарное перемещение свободного твердого тела можно сложить из поступательного перемещения вместе с полюсом А, за счет которого полюс приходит в соседнее положение A1 , и из некоторого перемещения относительно осей Axyz , т. е. вокруг

условно неподвижной точки А. Однако последнее перемещение, согласно теореме Эйлера – Даламбера, является поворотом тела вокруг мгновенной оси вращения АР, проходящей через точку А. Следовательно, любое элементарное перемещение свободного твердого тела можно

155

представить в виде суммы элементарного по-

оси вращения АР, проходящей через этот полюс. Поскольку движение тела - это совокупность элементарных перемещений, движение свободного твердого тела состоит в общем случае из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный полюс

Таким будет, например, движение любого произвольно перемещающегося в воздухе тела: брошенного камня, самолета, проделывающего фигуры высшего пилотажа, артиллерийского снаряда и т. д. Наконец, аналогичной может быть движение и несвободного твердого тела при наличии соответствующих связей.

Поступательная часть движения свободного твердого тела описывается первыми тремя из уравнений (4.7), а вращение относительно полюса - последними тремя из этих уравнений.

полюса, определяющие скорость и ускорение поступательной части движения, а также угловая скорость и угловое ускорение вращения вокруг полюса. Величины этих скоростей и ускорений в любой момент времени можно найти по уравнениям (4.7).

В частном случае движение свободного тела может быть плоскопараллельным (глава 3). При

156

этом вектор будет все время перпендикулярен плоскости движения.

в общем случае, как и в араллельного движения, движения (в частности и

полюса не зависит.

скоростей и ускорений точек свободно движущегося тела можно использо-

§ 4.4. Примеры решения задач

Пример 4.1. Определить скорости точек В и

157