Учебное пособие 1828

ная угловая скорость кривошипа, если при t0 = 0 кривошип за-

нимал правое горизонтальное положение. Принять b a 2 м.

Решение. Рассмотрим движение точки С ползуна. Скрепляем подвижную систему координат (ось Bx1) с кулисой BD. Так как кри-

вошип вращается равномерно, то согласно (2.3), = t. Обозначим угол OCB через . Относительная искомая скорость ползуна направлена по кулисе BD. Скорость ползуна будет переносной, если представить, что нет кривошипа ОС и ползун стал единым целым с кулисой (с подвижной системой). Так

быть перпендикулярна кривошипу ОС, так как точка С в абсолютном движении вращается вокруг неподвижной точки О, имея постоянный радиус вращения ОС = b. В данном случае параллелограмм скоростей — прямоугольник, из которого

178

Очевидно, что sin( t+ ) = sin t cos + cos t sin . При

a .

Примечание. Возможно и другое решение. По теореме косинусов из OBC найти

мендуется это решение вы-

полнить самостоятельно.

Пример 5.4. Точка М движется по некоторой кривой АМВ вдоль тела (например, шара), вращающегося замедленно вокруг оси ВА (рис.

5.10). Найти абсолютное ускорение точки М в некоторый момент времени t1 .

Чтобы найти абсолютное ускорение точки в некоторый момент времени t1 надо в этот момент знать:

1) положение движущейся точки на кривой

АВ;

r

2)относительную скорость точки v ;

3)угловую скорость и угловое ускорение тела (т. е. и переносного движе-

Рис. 5.10. 179

ния). Если эти величины не заданы, их следует предварительно найти из условий задачи.

После этого надо изобразить положение движущейся точки в момент t1 и показать на

сводится к следующему.

r

1)Определение a . Мысленно останавливаем вращение тела и вычисляем ускорение точки в

еедвижении вдоль АВ по формулам кинематики точки. Если кривая АВ задана, то согласно (§

1.5):

где r - радиус кривизны кривой АВ в точке М.

Если относительное движение задано коор-

e

2)Определение a . Вычисляя ускорение той точки тела, в которой в данный момент находится точка М, определяем переносное ускорение по формулам кинематики твердого тела (§

4.2)

ae h, aen h 2 ,

где h = МD - расстояние точки М от оси вращения тела в момент t1 .

k

3)Определение a . Все действия по опре-

делению a k производятся по правилам, указанным в конце § 5.3.

180

4) Определение a . Изображаем все вычисленные векторы на чертеже (с учетом их направлений) и по теореме Кориолиса находим:

Если сумму стоящих справа векторов трудно определить простым сложением векторов, то, построив какиелибо оси координат, например оси Mxyz (см. рис. 5.10),

можно определить проекции всех слагаемых векторов на

эти оси. Тогда, обозначив

по теореме о проекции суммы векторов на ось получим

вижные оси вращаются в своей плоскости вокруг неподвиж-

Рис. 5.11. 181

s- в метрах).

5.4.Механизм состоит из кривошипа ОА и кулисы О1В вращающихся относительно двух параллельных осей О и О1.

182

Расстояние между осями валов ОО1 = 30 см, длина кривошипа Кривошип вращается равномерно вокруг оси

вокруг неподвижной оси О1 (рис. 5.15) с угловой скоростью

рах, время – в секундах). Определить абсолютное ускорение

момент

времени

равен

30 .

5.6.

ПолуциРис. 5.16. линдр ра-

диуса r = 10 см движется поступательно и прямолинейно по

неподвижной горизонтальной поверхности с ускорением a1 и

толкает опирающийся на него стержень CD, который перемещается поступательно в вертикальных направляющих с уско-

рением a2 . Определить касательное и нормальное ускорения точки С в ее движении относительно цилиндра в момент вре-

ним при помощи шарнира ползун С может перемещаться вдоль стороны АВ шарнирного параллелограмма О1АВО2 с не-

183

Рис. 5.17.

подвижным звеном О1О2. Углы и для данного положения

известны (рис. 5.17). Определить относительное ускорение ползуна С и угловое ускорение кривошипа О1А длина которого равна a

вокруг вертикальной оси О1О2 с постоянной угловой скоро-

тально расположенная ось, вокруг которой равномерно вращается диск 2 радиуса R 15 см. В положении механизма, ука-

новременно вдоль радиуса СА колеса от его центра в ободу движется точка М по закону СМ= s( t ) 0,25t 2 м. Определить абсолютное ускорение точки М в тот момент времени, когда СМ= 0,5R , а радиус СА горизонтален, как показано на рисунке. В начальный момент времени ( t 0 ) колесо находилось в покое.

185

Глава 6. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 6.1. Сложение поступательных движений.

Если тело движется относительно подвижной системы с осями Oxyz (см. рис. 5.1), а эта система совершает одновременно переносное движение относительно неподвижной системы с осями Ox1 y1 z1 , то результирующее (абсолютное) движение тела называется сложным (см. § 5.1).

Задачей кинематики в этом случае является определение зависимостей между характеристиками относительного, переносного и абсолютного движений. Основными кинематическими характеристиками движения тела, являются линейные и угловые скорости и ускорения его точек. В данном параграфе рассматриваются зависимости

только между поступательными и угловыми скоростями движений.

Пусть относительное движение те-

ла является поступательным со скоростью v1 , а переносное движение - тоже поступательное со

скоростью v2 . Рис. 6.1. Тогда все

точки тела в относительном движении будут

иметь скорость v1 , а в переносном - скорость

v2 . Следовательно, по теореме сложения скоростей, все точки тела в абсолютном движении

186

будут иметь одну и ту же скорость v v1 v2 ,

т. е. абсолютное движение тела будет поступательным.

Итак, при сложении двух поступательных

движений со скоростям v1 , и v2 результирующее движение тела также является поступательным

Итак, при поступательных переносном и относительном движениях тела сложение скоростей точек тела производится также как и для точки, участвующей в переносном и относительном поступательных движениях (§ 5.2).

§ 6.2. Сложение вращений тела вокруг двух параллельных осей.

Пусть относительное движение тела является вращением с угловой скоростью 1 вокруг

оси aa, укрепленной на кривошипе ba (рис. 6.1, а), а переносное - вращением кривошипа bа вокруг оси bb, параллельной aa, с угловой скоростью 2 . Тогда движение тела будет плос-

копараллельным относительно плоскости, перпендикулярной к указанным осям. При рассматриваемом движении возможны три частных случая.

6.2.1. Вращения направлены в одну сторону Пусть (S) - сечение тела плоскостью, пер-