Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1812

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Примеры:

2dt

sin x

1 t2

sin x

, dx

2dt

1 t2

cos x

sin

2dt

3sin x

2 cos x

2dt

1 t2 3

1 t2

2 2t 2

t 2

2dt

d 3t 2

3t 2

3tg

Замена переменной (15) называется универсальной тригонометрической подстановкой, т.к. с еѐ помощью интеграл (14) всегда приводится к интегралу от дробно – рациональной функции. Однако пользоваться этой подстановкой не всегда целесообразно, так как часто она приводит к громоздким выкладкам. Поэтому в некоторых частных случаях используют другие подстановки.

2.Частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.

1) Если подынтегральная функция нечѐтна относительно cosx: R(-cosx, sinx) = -R(cosx,sinx), тогда замена sinx = t

рационализирует интеграл (14);

Пример:

sin x cos xdx							sin x			t			tdt

2 cos2 t					1		cos xdx dt					2 1	t 2 1
			tdt			1		d 3	2t 2
	3 2t 2					4	3		2t 2
		1			2t 2				1	ln	3	2sin2 x
		1	ln	3			c		1				c
4			ln	3			c		4				c
4									4

2) Если подынтегральная функция нечетна относительно sinx: R(cosx, -sinx) = -R(cosx, sinx), тогда замена cosx = t рационализирует интеграл (14);

Пример:

sin3 x

sin2 x sin xdx

cos x

cos4 x

sin xdx dt

1 t2 dx

3t3

3cos3 x

cos x

3) Если подынтегральная функция чѐтна и относительно sinx, и относительно cosx, т.е. R(-cosx, -sinx) = R(cosx, sinx),

то замена tgx = t рационализирует интеграл (14).

Воспользуемся тригонометрическими равенствами:

sin x		tgx		; cos x	1	.


	1 tg 2 x				tg 2 x
	1 tg 2 x		1		tg 2 x

Найдем дифференциал dx.

x arctgt; dx

t 2

Окончательно получим замену:

sin x

; cos x

; dx

t 2

Пример 1:

tgx

sin4 x cos2 x

2 2

1 dt

t 2

3t3

tgx

3tg3x

tgx

Пример 2:

tgx

sin x cos x

tgx

Пример 3:

tgx

cos

t 2

			dt				1			dt			1		2	arctg	2	t	c
	4t 2					4			3			4				arctg			c
	4t 2			3		4			3	t	2	4		3		3
								4		t
								4
		1		arctg	2tgx			c.
				arctg
2		3
2		3				3

2.12. Интегрирование некоторых иррациональных выражений

Интегрирование не всякого иррационального выражения возможно в элементарных функциях. В некоторых простейших случаях иррациональные функции можно рационализировать с помощью замены переменной, а значит и проинтегрировать в конечном виде.

1. Интегрирование функций вида R(x, nx, mx , ,…)

Здесь символ R указывает, что над величинами

x, n x , m x … выполняются только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, и деление. Например:


x2 x	3 x2		5
x2 x	3 x2		5	x

3 x5		x3	x

Пусть надо вычислить интеграл R x, mx , nx ,... dx , где

числа m, n,… могут быть и отрицательными. Подберѐм число N так, чтобы при замене переменной x = tn все корни извлекались. (N – НОК чисел m, n,…). Тогда:

Nt N 1dt и

R x, m

, n

,... dx = R t N , t m , t n ,... Nt N 1dt

Так

как все числа N,

,... ; N-1 – целые, то

подынтегральная функция не содержит дробных степеней t, т.е. является дробно – рациональной функцией от t.

Пример 1:

x t6

6t5dt

t3dt

dx 6t5dt

t3 t2

t 1

t3 1 1

dt 6 t2

t 1 dt

t 1

2t3

3t2

c; t 6

6t ln

t 1

Пример 2*:

2.5 | 10

10t9dt

x t10

t10 t5 t4

x x

10t9dx

t5 t 1

Выбранная замена свела интеграл от иррационального выражения к интегралу от рациональной дроби. Разложим дробь на простейшие.

t 5 t

1 t 5

t 4

t 3

t 2

t 1

Найдем неизвестные коэффициенты:

1 A t 1 Bt t 1 Ct 2 t 1 Dt 3 t 1 Et 4 t 1 Ft 5 .

t 5 t

1 t 5

t 4

t 3

t 2

t t

t 1

4t4

3t3 2t2

10ln

t 1

2t4

3t3

Вернемся к старой переменной

10ln

10 x

10ln

2. Интегрирование выражений вида

x; m

; n

;...

Ничего не изменяется по сравнению с предыдущим случаем, если все подкоренные выражения являются одной и той же дробно – рациональной функцией. В этом случае делаем замену:

	ax	b	t N ,

	cx	d
	cx	d
где N – наименьшее общее кратное чисел m, n,…
Находим х: ax b cxt N				dt N ; x	t N d	b	t
Находим х: ax b cxt N				dt N ; x	a ct N		t
					a ct N

Здесь х = φ(t) – рациональная функция	от t, поэтому
t – тоже рациональная функция. Значит	и dx	t dt

является рациональным выражением. Таким образом, получаем:

N N

tNd

R x; m

; n

;... dx

,t m ,t m ,... t dt

ctN

Здесь

,...

целые

числа.

Поэтому получили

интеграл от дробно – рациональной функции от t.

Пример 1:

1 2

6t2dt

x 1

x 1 2

x 1

t 3dt

3t 4

x 1

t 3; x 1 xt3

t 3; x

;

x 1

3t 2

t 3

1 t 3

1 3t 2

2dt

;

t 3

1 2

t 3

1 2

t 3

t 3 1

t 3

;

t 3

Пример 2:

t2dt

x dx

tdt

4 t

1 x x

1 t2

2 2

1 t2 1 t2

Была сделана замена

1 x

t2 1 x t2

t2x; x

1 t2

;

1 t2

2t 1 t2

1 t2 2t

dt.

2 2

4tdt

;

2 2

1 t 2 1 t 2

1 t 2

2 2 1 t 2

2 1

t 2

2arctgt

t 2

2 1

t 2

2arctg

3. Интегрирование выражений вида R

ax2

Интеграл

ax2

c dx

преобразуем

новой переменной, предварительно выделив полный квадрат:

ax2 bx c a x 2

4a 2

4ac

4ac b2

a x

D; D

4a 2

Полагаем:

x z; dz dx. 2a

Тогда, если

1. D

0 ,

то

z, z 2

α 2

dz, где 2

2. D

0 ,

то J

z 2

a 2

dz, где

3. D

0 ,

то

α 2

z 2

dz, где

Полученные интегралы рационализируются, например,

с помощью тригонометрических подстановок:

adt

atgt; dz

;

z 2 a 2

a 2 (tg

cos2 t

cost

atgt,

cost

cos2 t

a sin t

; dz

dt;

z 2

a 2

tgt

cost

cos2 t

tgt

dt sin t

cost

cos2 t

sint; dz

costdt;

z 2

2 1

sin2 t

cost

sint,

cost

costdt

Пример:

2sint

4sin t

2costdt

4sin2 t

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.25 Mб2Учебное пособие 1808.pdf
#
30.04.20222.26 Mб10Учебное пособие 1809.pdf
#
30.04.2022314.27 Кб5Учебное пособие 181.pdf
#
30.04.20222.26 Mб4Учебное пособие 1810.pdf
#
30.04.20222.27 Mб6Учебное пособие 1811.pdf
#
30.04.20222.27 Mб4Учебное пособие 1812.pdf
#
30.04.20222.27 Mб3Учебное пособие 1813.pdf
#
30.04.20222.28 Mб4Учебное пособие 1814.pdf
#
30.04.20222.28 Mб2Учебное пособие 1815.pdf
#
30.04.20222.28 Mб6Учебное пособие 1816.pdf
#
30.04.20222.28 Mб3Учебное пособие 1817.pdf