Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1812

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

	f (x)dx			или		(18)
a
b
	f (x)dx ,					(19)
a

причѐм			f (x)dx				f (x)	dx или
причѐм			f (x)dx				f (x)	dx или
		a				a
	b			b
	b			b
	f (x)dx				f (x)dx		. (без доказательства).
	f (x)dx				f (x)dx		. (без доказательства).
	a			a

y=f(x)
	y= f(x)
+	+	+
0	+
0		x
		x

Рис. 29.

Геометрически теорему можно пояснить так. Если интеграл сходится абсолютно, то площадь, ограниченная

кривой y	f (x)	при a x	конечна. Значит, будет

конечна и алгебраическая сумма площадей, ограниченных кривой y=f(x).

Может оказаться, что интеграл (16) или (17) расходятся, но интегралы (18) или (19) сходятся. Тогда интегралы (18) и (19) называются не абсолютно сходящимися (условно).

Пример. Исследовать сходимость интеграла

cos x

Рассмотрим

интеграл:

cos x

dx .

Сравним

его и

интегралом

, который сходится , т.к. р=2. Очевидно,

cos x

что

, следовательно

сходится. Но

x 2

cos x

и заданный интеграл сходится абсолютно.

4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

4.1. Две схемы применения определѐнного интеграла

Существуют два подхода к практическому применению определѐнного интеграла. Рассмотрим их на примере вычисления площади криволинейной трапеции.

у0

х0=a

...

n-1

xn=b

Рис. 30.

Пусть

f (x)

a,b

и непрерывна на

a, b .

I способ. – с помощью составления интегральной суммы

– мы его рассмотрели при введении понятия определѐнного n 1 b

интеграла: S	lim			f (	k ) xk	f (x)dx .
	max xk	0	k	0		a

II способ. Рассматриваем площадь, как переменную
величину: S S(x) a			x	b .
Если аргумент получает приращение						x , то площадь получает
приращение	S :	S		dS	бесконечно малое высшего
порядка относительно		x .		dS	f (x)dx - площадь бесконечно
узкого прямоугольника (рис. 31).

у		М2
	М1
у0	М


	A

а	х	х+ х	b
				x

Рис. 31.

Площадь всей трапеции получается суммированием площадей этих прямоугольников. Так как прямоугольников бесконечно много, то суммирование по отрезку a, b заменяем интегрированием от a до b:

f (x)dx

(1)

Можно доказать, что обе схемы эквивалентны. Но первый способ более громоздок. Его обычно применяют в математике и механике. В приложениях обычно применяют второй способ: составляют дифференциал искомой величины, который затем и интегрируют по нужному промежутку.

4.2. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Если f (x) 0 на отрезке a, b , то площадь криволинейной трапеции вычисляют по формуле (1). Если

f (x) 0 на a, b , то f (x)dx 0 и a

	b	b
S=	f (x)dx		f (x)			dx
S=	f (x)dx		f (x)			dx
	a	a
Если f(x) принимает на		a, b		значения разных знаков, то
				b
		S			f (x)		dx
		S			f (x)		dx

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями:

; y

0; x

1; x

2 (рис. 32).

Рис. 32.

Рис. 33.

ln 2 (кв. ед.)

ln x

ln 2

ln1

Пример 2. y

sin x

; y

0 (рис. 33).

sin x

0 0

sin x

sin xdx

(

sin x)dx

cos x

		2
Иначе:	S 2 sin xdx 4 , но	sin xdx 0	-
	0	0

алгебраическая сумма площадей.

Вычислим теперь площадь криволинейной трапеции в случае, когда кривая задана уравнениями в параметрической форме.

Пусть

(t)

T , причѐм

(t)

(t0 ) a

(T )

b .

B(T)

A(t0)

Тогда по (1): S

ydx .

Рис. 34.

Делаем в

этом

интеграле замену

переменной:

(t);dx

(t)dt; y

(t) .

(t)

(t)dt

(2)

Пример. Вычислить площадь эллипса:

a cost .

b sin t

Вычислим площадь одной четвертой эллипса.

В первой четверти (рис. 35):

0;t1

a;t2

												y

													t= /2
												b	t= /2


																t=0
												0				t=0
												0


																a	tx
											Рис. 35.
											Рис. 35.
1				a			0								0
1	S				ydx			b sin t a cost						dt		absin2 tdt
4	S				ydx			b sin t a cost						dt		absin2 tdt
4
			0
							2								2

			2 sin2 tdt						2 1
	ab							ab	2 1			cos2t		dt	ab	t		sin 2t	2
	ab							ab				2		dt	2	t		2	0
												2			2			2
			0						0
			0						0
		ab				0		ab		; S		ab
						0				; S		ab
	2		2					4

Если a=b=R, то S R2 - площадь круга.

4.3. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

1. Полярные координаты Декартовы координаты – не единственный способ

определять положение точки. Существует много типов координатных систем. Наиболее употребительной (после декартовой) системой координат на плоскости является полярная.

Возьмѐм на плоскости точку О, которую назовѐм полюсом. Проведѐм луч ОР – полярную ось. Выберем единицу масштаба. Возьмѐм на плоскости произвольную точку

Рис. 36.

Рис. 37.

М и соединим

еѐ с полюсом

(рис. 36).

Полярными

координатами точки М называются числа

- полярный радиус точки М, - еѐ полярный угол:

M , .

Очевидно, что 0

Если угол

отсчитывать

против

часовой

стрелки

(положительные значения), то достаточно рассматривать его

значения в промежутке 0		2 .	Иногда приходится
рассматривать углы больше,		чем 2	.	Иногда наряду с
положительными,	рассматривают		и	отрицательны:
.
При таком	соглашении	каждой	точке на плоскости
(кроме полюса)	соответствует единственная пара чисел

,. Для полюса полярный угол не определѐн.

2. Связь декартовых координат с полярными.

Совместим с полярной системой координат декартову так, чтобы еѐ начало совпало с полюсом, а ось Ох с полярной осью; , - полярные координаты точки М, а

(х,у) – еѐ декартовы координаты. Из треугольника:

x	cos		x 2 y 2
			y	(3)
y	sin	tg	y

			x
			x

Получили формулы перехода от полярной системы координат к декартовым и наоборот.

Как и в случае декартовой системы координат, всякой кривой можно поставить в соответствии еѐ уравнение в

полярной системе координат:				F ,	0 .
Пример 1. Записать уравнение кривой в полярных
координатах:					y
x2 y 2	2ax	x a 2	y 2	a2 .
Получили уравнение окружности,					0
центр которой в точке (а,0). Ее										x
									2a
							a
							a
уравнение в полярной системе ко-


ординат имеет вид:						Рис. 38.
	2a cos .
Пример 2. Записать уравнение кривой в полярных
координатах:		= а sin 6	(а>0).. Сделать чертеж.
Для построения графика линии, заданной в полярной
системе	координат ( ,		)уравнением			вида		=	(	)

необходимо вначале установить при каких значениях

полярного угла	выполняется	неравенство	0 ,
обусловленное тем,	что полярный	радиус	, являясь

расстоянием от начала координат, всегда неотрицателен. В

нашем случае sin6			0 , откуда
2 n	6	2 n +	или	n/3	n/3 + /6. Здесь

достаточно ограничиться значениями n = 0,1,2,3,4,5, т.к. при других значениях п с точностью до целого числа полных оборотов полярного луча для будет получаться то же самое.

Рис. 39.

Задаваясь значениями и вычисляя соответствующие можно построить график линии (рис.39 ).

Пример	2.	Записать уравнение кривой в полярных
координатах:	x2	y2 2	a2 x2 y2	. Сделать чертеж.
				/4

- /4

Рис. 40.

Воспользуемся формулами (3)

4	a 2	2 cos2	sin2	,
4	a 2	2 cos2 ;
4	a 2	2 cos2 ;	a	cos2 .

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.25 Mб2Учебное пособие 1808.pdf
#
30.04.20222.26 Mб10Учебное пособие 1809.pdf
#
30.04.2022314.27 Кб5Учебное пособие 181.pdf
#
30.04.20222.26 Mб4Учебное пособие 1810.pdf
#
30.04.20222.27 Mб6Учебное пособие 1811.pdf
#
30.04.20222.27 Mб4Учебное пособие 1812.pdf
#
30.04.20222.27 Mб3Учебное пособие 1813.pdf
#
30.04.20222.28 Mб4Учебное пособие 1814.pdf
#
30.04.20222.28 Mб2Учебное пособие 1815.pdf
#
30.04.20222.28 Mб6Учебное пособие 1816.pdf
#
30.04.20222.28 Mб3Учебное пособие 1817.pdf