Учебное пособие 1691

Таким образом, конус второго порядка имеет вид, изображенный на рис. 1.52.

Конус второго порядка симметричен относительно трех плоскостей и центра симметрии. Для конуса, имеющего каноническое уравнение (1.56), этими плоскостями являются xOy , xOz , yOz , а центр симметрии – точка

O(0;0;0).

При a = b получим круговой конус

x2 + y2 − z2 = 0 , a2 c2

в сечениях которого плоскостями z = h будут окружности.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется поверх-

ность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве параллельно самой себе и пересекая каждый раз некоторую кривую

K (рис. 1.53). При этом кривая K называется направляющей цилиндра, а прямая

L – его образующей.

Рассмотрим такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости. Уравнениями этих цилинд-

ров являются уравнения их направляющих.

L

К

Рис. 1.53. Цилиндрическая поверхность

61

Если направляющая – парабола в плоскости xOy

то соответствующая цилиндрическая поверхность называется параболическим цилиндром (рис. 1.56) и уравнение (1.59) описывает этот цилиндр.

63

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2.1.Определение производной. Таблица производных

Рассмотрим функцию y = f (x) и некоторую точку x = x0 внутри области

определения функции.

Производной функции y = f (x) в точке x = x0 называется предел

Пример 2.1. Найти производную функции y = x2 , используя определение производной.

Решение. Аргументу х дадим приращение x . Тогда функция y = x2 получит приращение

y = f (x + x) − f (x) = (x + x)2 − x2 = x2 + 2x x +( x)2 − x2 = 2x x +( x)2 .

Аналогичную операцию по нахождению производной на основании определения можно произвести со всеми элементарными функциями. Производные основных элементарных функций приведем в табл. 2.1.

Таблица 2.1

64

2.2. Правила дифференцирования

Если функция y = f (x) имеет производную в точке x = x0 , то функция

65

называется дифференцируемой в этой точке. Если же функция y = f (x) имеет производную в каждой точке интервала (a;b), то функция называется диффе-

ренцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Пусть функции u =u (x) и υ =υ(x) – две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции. Сформулируем для них правила дифференциро-

вания.

1. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности)

Данное правило справедливо для любого числа функций.

2. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго

3. Формулу (2.3) можно распространить на любое число множителей. Например, для произведения трех функций получим

4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

где С – константа.

5. Производная частного двух функций υu((xx)), если υ(x)≠ 0 равна дроби,

у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель равен разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя дроби на производную знаменателя,

66

2.3. Производная сложной функции

Если y = f (u) есть некоторая функция переменной u, а u =ϕ(x) – некоторая функция переменной х, то y = f (ϕ(x)) является функцией переменной x,

которая называется сложной функцией.

Переменную u =ϕ(x) называют промежуточным аргументом сложной

функции, а х является независимым аргументом.

Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов. Например,

межуточный аргумент, а х независимый аргумент. Тогда производная сложной функции y = f (ϕ(x)) равна произведению производной данной функции по

67

промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента, т.е.

Это правило дифференцирования справедливо и в том случае, когда у сложной функции промежуточных аргументов несколько. Так, если y = f (u), u =ϕ(v), v =ψ (x), то

2.4. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой

Дадим сначала определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки M и M1 (рис. 2.1). Прямая MM1 , проходящая через эти точки, называется секущей. Пусть точка M1, дви-

гаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Если секущая, поворачиваясь вокруг точки М, стремится к некоторому предельному положению МР, то прямую МР называют касательной к кривой L в точке М (при этом точка M1 может приближаться по кривой L к точке М любым способом).

Рассмотрим теперь график непрерывной функции y = f (x), имеющей в точке M (x; y) касательную, непараллельную оси Oy . Найдем ее угловой коэффициент k = tgα , где α – угол наклона касательной к оси Ox (рис. 2.2).

68