Учебное пособие 1691

Теорема 1.2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось

Прl (a +b + c )= Прl a + Прlb + Прlc .

Теорема 1.3. При умножении вектора a на число λ его проекция на ось l также умножается на это число, т.е.

Прl (λ a )= λ Прl a .

1.1.3. Разложение вектора по компонентам

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz . Выделим на координатных осях Ox , Oy и Oz единичные векторы, обозна-

Рис. 1.10. Разложение вектора по ортам координатных осей

Проведем из начала координат вектор OM . Пусть координаты точки M (x; y; z). Проекции точки M (x; y; z) на координатные оси соответственно

11

OM =OM1 + M1N + NM .

Так как M1N =OM 2 , а NM = OM 3 , то

Подставляя равенства (1.2) в (1.3), получим

где x i , y j и z k – компоненты вектора.

Равенство (1.4) называется разложением вектора по ортам координатных осей или по компонентам.

Числа x, y и z называются координатами вектора.

Видно, что разложение вектора по ортам координатных осей единствен-

но, поэтому если два вектора равны, то их соответствующие координаты

равны.

Отметим, что координаты любого вектора совпадают с координатами конца этого вектора, если начало вектора поместить в начало координат.

Если вектор M1 M 2 не выходит из начала координат и известны коорди-

наты точек M1 и M2 (рис. 1.11),

M 2 (x2 ; y2 ; z2 )

M 1 (x1; y1; z1 )

Рис. 1.11. Вектор, у которого известны координаты его начала и конца

т.е. координаты вектора M1 M 2 равны разностям соответствующих коорди-

нат его конца и начала.

12

1.1.4. Действия над векторами в системе координат

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы вектора

a = x1i + y1 j + z1k и b = x2i + y2 j + z2k .

Координаты вектора c = a +b равны сумме соответствующих координат векторов a и b , т.е.

c = a +b =(x1 + x2 )i +(y1 + y2 ) j +(z1 + z2 )k .

Координаты вектора d = λ a равны произведению координат вектора a на число λ , т.е.

d = λ a = λ x1i + λ y1 j + λ z1k .

Так как для коллинеарных векторов a и b справедливо

a = λ b ,

Следовательно, координаты коллинеарных векторов пропорциональ-

ны.

1.1.5. Скалярное произведение векторов и его применение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b (рис. 1.12)

называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

a ϕ

b

Рис. 1.12. Вектора, пересекающиеся под углом ϕ

13

Скалярное произведение обладает свойствами:

• переместительности: a b =b a ;

• сочетательности: (λa ) b = λ(a b );

• распределительности: a (b + c )= a b + a c ;

• равно нулю тогда и только тогда, когда ненулевые вектора перпендикулярны (ортогональны). Действительно, если

a b cos(a;b )= 0 a b cos(a;b )= 0 a b = 0 .

Если вектора a и b заданы своими координатами: a {x1; y1; z1} и b {x2; y2; z2}, то их скалярное произведение будет равно сумме произведений соответствующих координат, т.е.

Пример 1.1. Даны a {−2;1;3} и b {1;−5;4}. Найти a b .

Решение. Так как вектора a и b заданы координатами, то для вычисления их скалярного произведения применим формулу (1.8):

ab =(−2) 1+1 (−5)+3 4 = −2 −5 +12 =5

Спомощью скалярного произведения можно решать такие задачи, как:

• определение длины вектора;

• вычисление проекции одного вектора на направление другого;

• нахождение угла между векторами.

Определение длины вектора

Дан вектор a {x; y; z}. Необходимо найти его длину a . Для этого воспользуемся определением скалярного произведения (см. формулу 1.7):

14

a a = a a cos00 = a a 1 = a 2 .

С другой стороны

a a = x x + y y + z z = x2 + y2 + z2 .

Из этих равенств видно, что

a 2 = x2 + y2 + z2 ,

и, извлекая квадратный корень, получим

Вычисление проекции одного вектора на направление другого

Даны два вектора a {x1; y1; z1} и b {x2; y2; z2}. Необходимо найти проекцию вектора a {x1; y1; z1} на направление вектора b {x2; y2; z2} и, наоборот, проекцию вектора b {x2; y2; z2} на направление вектора a {x1; y1; z1}. Для вычисле-

ния проекции одного вектора на направление другого снова используем определение скалярного произведения (формула 1.7)

a b = a (b cosϕ)= b (a cosϕ).

Вспоминая формулу (1.1), предыдущее равенство перепишем в виде a b = a Прab = b Прb a .

Из последнего выражения следует, что проекция одного вектора на на-

правление другого равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль того вектора, на который проецируем:

15

a {x1; y1; z1} и b {x2; y2; z2} по формуле:

1.2. Аналитическая геометрия на плоскости

Главным объектом изучения аналитической геометрии на плоскости являются линии. Эти линии аналитическая геометрия изучает алгебраическими методами.

Как известно, в декартовой системе координат каждой точке плоскости соответствует пара действительных чисел и, наоборот, каждой такой паре чисел соответствует определенная точка плоскости. Линии на плоскости соответствует уравнение с двумя переменными.

Уравнение, связывающее переменные х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней, называется уравнением данной линии.

1.2.1.Уравнения прямой на плоскости

Взависимости от исходных данных уравнение прямой на плоскости может иметь различный вид.

Векторное уравнение прямой

Положение прямой L на плоскости будет определено, если задать на прямой какую-либо точку M0 (x0; y0 ) и вектор S {m;n}, параллельный этой

прямой (см. рис. 1.13). Вектор S называется направляющим вектором

прямой.

16

y

M0 (x0; y0)

r0

M (x; y)

r

Рис. 1.13. Вывод векторного уравнения прямой

Составим уравнение прямой L. Для этого возьмем на прямой произвольную точку M (x; y) и проведем векторы OM 0 и OM , соответственно обозна-

Вектор M0M , лежащий на прямой L, коллинеарен направляющему вектору S , поэтому

где t – скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки M (x; y) на прямой.

Учитывая равенство (1.13), перепишем соотношение (1.12) в виде

Уравнение (1.14) называется векторным уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой

Используя векторное уравнение (1.14) прямой L, запишем ее параметрические уравнения.

Зная координаты векторов r {x; y}, r0 {x0; y0}, S {m;n} и tS {tm;tn}, разложим их по компонентам и подставим векторы в уравнение (1.14)

xi + yj = x0i + y0 j +tmi +tnj или xi + yj =(x0 +tm)i +(y0 +tn) j .

17

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты. Следовательно, из последнего выражения имеем

Равенства (1.15) называются параметрическими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0 (x0; y0 ) ортогонально (перпендикулярно) данному вектору N {A; B}, который называ-

ется нормальным вектором этой прямой (рис. 1.14).

y

M (x; y)

Рис. 1.14. Вывод уравнения прямой, проходящей через заданную точку ортогонально данному вектору

Возьмем на прямой произвольную точку M (x; y) и рассмотрим вектор M0M {x − x0; y − y0} (см. рис. 1.14). Поскольку векторы N и M0M ортогональ-

ны, то их скалярное произведение равно нулю: N M0M = 0 или, учитывая формулу (1.8), получим

Равенство (1.16) называется уравнением прямой, проходящей через

данную точку ортогонально данному вектору.

18

Общее уравнение прямой

Раскрыв скобки в уравнении (1.16): Ax − Ax0 + By − By0 = 0 , получим об-

щее уравнение прямой на плоскости

где C = −By0 − Ax0 .

Используя общее уравнение прямой (1.17) рассмотрим частные случаи положения прямой на плоскости, когда один или два коэффициента уравнения (1.17) обращаются в нуль.

1. Если C = 0 , то Ax + By = 0 y = − BA x . Координаты точки O(0;0)

удовлетворяют полученному уравнению, т.е. прямая L проходит через начало координат (рис 1.15).

прямая L параллельна оси Oy (рис 1.17).

Каноническое (простейшее) уравнение прямой

Воспользуемся параметрическими уравнениями прямой (1.15) и исключим из них параметр t:

19

Приравняв левые части полученных равенств, имеем каноническое урав-

нение прямой

Следовательно, чтобы составить каноническое уравнение прямой, необходимо знать координаты направляющего вектора S {m;n} и координаты хотя бы одной точки, лежащей на прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть прямая L проходит через точки M1 (x1; y1 ) и M2 (x2; y2 ) (рис. 1.18). Воспользуемся каноническим уравнением (1.18). В качестве направляющего вектора S {m;n} прямой возьмем вектор M1M2 {x2 − x1; y2 − y1}, а в качестве точки, лежащей на прямой, возьмем любую из двух точек M1 (x1; y1 ) или M2 (x2; y2 ), например M1 (x1; y1 ).

y

L

M1 (x1; y1)

M2 (x2; y2)

Рис. 1.18. Прямая, проходящая через две данные точки

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки будет иметь вид

20