Учебное пособие 1631

3, .

Функция y f x называется четной, если

f x f x ,

и нечетной, если f x f x . График нечетной функции

Функция y f x

называется

периодической, если

существует такое число T 0 , что

для всех

x

из области

определения выполняется

условие

f

x T f x . Число

T

называется периодом.

Введем понятие предела функции.

y f x при

Число A называется пределом функции

x ,

,

удовлетворяющих

неравенству

x a

имеет место

неравенство

f x A

. Если

A есть предел функции y f x

при x a , то пишут

lim f x A .

x a

Определение

предела

функции y f x графически

иллюстрируется следующим образом (рис. 4).

y

А +

2

А

А –

0

a –

а

a +

x

ординаты A найдется такая окрестность точки a , что для

всех точек

x

из окрестности точки a

a ; a

точки

графика

функции

y f x

будут

лежать

внутри

полосы A ; A .

Число

A

называется пределом функции y f x при

такое N 0 , что

для всех x N

будет выполняться

неравенство

f x A

, что записывается

lim f x A .

x

Графически это

иллюстрируется

следующим образом

(рис. 5).

О

N

х

lim u x v x

lim u x

lim v x .

x a

x a

x a

31

Выражения вида

0

,

, 0 , , 1

называются

0

x2

(3

7

1

)

(3

7

1

)

3x2 7x 1

x2

x2

lim

lim

x

lim

x

.

x 5x3 4x2 2

x

3

4

2

x

4

2

x

(5

)

x (5

)

x

x3

x

x3

Так как дроби вида

const

являются бесконечно малыми,

xn

пренебречь. Имеем lim

3

0.

x 5

х

2. Неопределенность вида

0

получается при

0

х → а. Разложение на множители позволяет

выделить

в числителе и знаменателе бесконечно малые

x а

как

lim

x2

3x 10

lim

(x 2) x 5

lim

x 5

7

.

x 2 x2 5x 2

x 2

1

x 2

2x 1 3

2(x 2) x

2

33

для того, чтобы убрать неопределенность

0

, необходимо

0

lim

3x 1 2

lim

( 3x 1 2)(

3x 1 2)

2 4x 5

x 2 4x 5 (

2)

x 1 x

x 1

3x 1

lim

(3x 1) 4

lim

3 x 1

x 2 4x 5 (

4 x 1 x 5

x 1

3x

1 2)

x 1

lim

(3x 1) 4

lim

3 x 1

x 2

4x 5 (

2)

4 x 1 x 5

x 1

3x 1

x 1

= lim

3

1

.

x 1

4(х 5)

8

4. Дробь содержит тригонометрические функции,

которые при

x 0

стремятся к нулю. Получается неопре-

0

деленность вида

.

Для решения необходимо восполь-

0

зоваться первым замечательным пределом lim

sin x

1 .

x 0

x

Пример. 3.6.

lim

sin 6x

lim

6sin 6x

6 lim

sin 6x

6.

x 0

x

x 0

6x

x 0 6x

sin 16x

x

16x

2

x sin 16x

16

x

4

32

lim

lim

16x

lim

.

5x

x 0

1 cos5x

x 0

2

2

x 0

2

5x

25x2

25

2sin

sin

2

2

25x2

4

вторым замечательным

пределом

lim(1 x)1/ x

e или

x 0

lim(1

1

)x e , где e — иррациональное число (e 2,71828...) .

x 0

x

x 5

2 x 7

x 4 9

2 x 7

Пример 3.8.

lim

= lim

=

x x 4

x

x 4

9

2 x 7

x 4

9 2 x 7

9

9

x 4

= lim

1

= lim 1

=

x

x 4

x

x 4

9 2 x 7

x 4

x 4

9 2 x 7

9

9

18

x

lim

x

4

e .

lim 1

e

x 4

x

Рассмотрим понятие непрерывности функции в точке.

Функция у = f (х) непрерывна в точке х0 , если:

1) функция определена в точке х0;

2) существуют

lim

f (x) и

lim

f (x) ;

x x0

0

x x0

0

3) выполняется

равенство

lim

f (x) = lim

f (x) =

x x0 0

x x0

0

х = х0

в этом случае называется точкой разрыва.

Если существуют конечные односторонние различные

пределы

lim

f (x)

lim

f (x) ,

то

х = х0 называется

x x0 0

x x0 0

точкой разрыва 1-го рода (скачок).

Если

хотя

бы

один

из

односторонних

пределов

lim

f (x)

или

lim

f (x)

не является конечным,

то точка

x x0 0

x x0 0

х = х0

является точкой разрыва 2-го рода.

Рассмотрим понятия бесконечно малой и бесконечно

большой функций.

Функция

y f (x)

называется

бесконечно

малой

величиной при x a , если lim f (x) 0 .

x a

Пример 3.9. Функция

y

1

будет бесконечно малой при

x

x , так как lim

1

0 .

x x

1. Сумма конечного числа бесконечно малых величин

есть величина бесконечно малая.

2.

Произведение любого (конечного или бесконечного)

величина.

3. Произведение бесконечно малой величины и ограни-

ченной функции есть бесконечно малая величина.

Функция

y f

x

называется

бесконечно большой

величиной при x a ,

если lim f x .

Если f x

x a

является

бесконечно

малой

величиной,

то

1

есть бесконечно большая величина.

f x

малая величина f x

Бесконечно

является бесконечно

малой величиной более

высокого порядка

малости

по

36

сравнению с

бесконечно малой

величиной x , если

lim

f x

0 .

x a x

f x и

f x называются

Бесконечно

малые величины

бесконечно малыми величинами одного порядка малости при

x a , если lim

f x

C , где C

является

не равной нулю

x a x

константой.

f x и

x называются

Бесконечно

малые величины

эквивалентными бесконечно малыми величинами при x a ,

если lim

f x

1.

x a x

Пример 3.10. Бесконечно малые величины x

и ln 1 x

при x 0 являются эквивалентными, так как

lim

ln 1 x

lim

1

ln 1 x lim ln 1 x 1/ x

ln e 1.

x 0

x

x 0 x

x 0

При вычислении пределов бесконечно малые величины

могут заменяться эквивалентными.

Основные эквивалентности:

1.

x ~

sin x ~

tgx

~ e x 1

~ ln(1 x) .

x 0

x 0

x 0

x 0

2.

(1 cos x)

~

x2

2

.

x 0

3.

log a 1 x ~

x log a e .

x 0

4.

a x 1 ~

x ln a .

x 0

5.

1 x k 1 ~ kx .

x 0

x

6.

k 1 x 1 ~

.

x 0

k

37

Пример 3.11.

lim

sin2 5x

lim

25x2

25

lim x 0 .

x 0 tg 2x

x 0

2x

2 x 0

Пример 3.12.

lim

log2 1 sin x

lim

log2 1 x

log2 e .

x

x

x 0

x 0

Пример 3.13.

lim

7x

6x

lim

7x 1 1 6x

lim

7x

1 6x 1

3x

x2 3x

x2

3x

x 0 x2

x 0

x 0

7

x ln 7 x ln 6

x ln

7

1

1

5

lim

lim

6

ln

lim

ln

.

x 0

x2 3x

x 0 x x 3

6

x 0 x

3 3 4

Рассмотрим понятие производной функции и правила ее

вычисления.

y f x

Пусть

функция

определена

в

некотором

промежутке.

Функция y f x

называется дифференцируемой

в точке

x ,

если приращение функции y

при приращении

аргумента

x

имеет вид y A x ( x) ,

где

A не зависит

от x , а

( x) является бесконечно малой

более высокого

порядка малости по сравнению с x .

Для дифференцируемой функции предел отношения

приращения функции y к вызвавшему

это

приращение

приращению

аргумента

x ,

при

x 0 ,

т. е.

lim

y

lim

A x ( x)

A

называется

производной

x

x 0

x

0

x

функции

f(x)

по

независимой

переменной

x,

обозначается

38

f (x),

y ,

dy

. Операцию

нахождения производной назы-

dx

вают дифференцированием.

Если функция y f x

дифференцируема, то она непре-

тангенсу угла, образованного с положительным направлением

оси Оx касательной к

графику функции f

x

в соответ-

ствующей точке M x, y .

С другой стороны, производная функции есть скорость

изменения этой функции.

Основные формулы дифференцирования

1.

y const ,

y' 0 .

9. (sin x) cos x .