Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1631

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Составим обратную матрицу

				6			14	5 Т		6		18	13
А 1			1		18		29		1		14	29
								15					26
			13					15	13				26
			13		13		26		13		5	15
					13		26	13			5	15	13
			6			18
							1
		13				13	1
		13				13
		14				29
							2 .
		13				13	2 .
		5			15
							1
					13		1
	13				13

Рассмотрим решение систем линейных алгебраических уравнений.

Система, имеющая m линейных уравнений с n неиз-

вестными x1, x2 , ..., xn , называется

системой линейных

алгебраических уравнений:

a11 x1

a12 x2

... a1n xn

b1 ,

a22 x2

... a2n xn

b2 ,

a21 x1

...........................................,

... a

Коэффициенты

при неизвестных (переменных) aij

и свободные члены

уравнений

b j

представляют собой

произвольные числа (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). Если все свободные члены равны нулю, система уравнений называется

однородной, в противном случае — неоднородной.

Набор n чисел x1 1, x2 2 , ..., xn n , при подстановке

которых в систему каждое уравнение данной системы превращается в равенство, называется решением системы уравнений.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, если не имеет решений, то несовме-

стной.

Однородные системы уравнений всегда имеют нулевое

(тривиальное) решение.

Систему уравнений можно записать в матричном виде

АХ = В, если ввести матрицу системы А:

a		a	... a		x1
	11	12	1n
a21		a22 ... a2n		, матрицу-столбец неизвестных	x2
А =	... ... ... ...			, матрицу-столбец неизвестных	Х =
	... ... ... ...


am1		am2 ... amn			xn

иматрицу-столбец свободных членов B= b2 .

Если матрица системы не вырождена, то систему можно решить в матричной форме, умножив обе части матричного

уравнения		слева	на		A 1		(обратную				матрицу). Тогда
X A 1B.
Пример 1.8. Решить матричное уравнение:
2		1	0		2		1	7	2		1	0

	2	2	3	X		1	3	2		2	3	6	.
	0	1	2			5	1	2		4	1	5
	0	1	2			5	1	2		4	1	5

Решение. Преобразуем матричное уравнение к приведенному виду

2 1					0			2			1 0		2 1				7

		2	2		3		X		2		3 6			1	3		2	, или
		0 1							4		1 5			5 1
		0 1			2				4		1 5			5 1			2
2 1					0			0			0 7

		2 2			3		X		3		0 4		.
		0 1							1 0 7
		0 1			2				1 0 7
Найдем						обратную					матрицу						A 1	для			матрицы
2			1		0

A	2		2		3	. Вычислим определитель матрицы A .
	0		1 2
	0		1 2
					1		0			2	3					2	3		2	2
				2				2				1						0
				2

				2	2 3						2						2
										1	2					0	2		0	1
				0	1	2

2 2 ( 2) 1 3 1 2 ( 2) 0 3 2 ( 7) 4 10 .

Найдем алгебраические дополнения матрицы А:

A	1 1	2				3	7; A			( 1)			1 2			2	3				4;
A	( 1)						7; A			( 1)											4;
11		1				- 2	12									0	- 2
		1				- 2										0	- 2
A	1 3					2	2; A		( 1)			2 1		1	0			2;
	1 3		2			2						2 1		1	0
	( 1)
13			0			1	21							1 - 2
			0			1								1 - 2
	( 1)2 2					0					( 1)2 3							2		1
A	( 1)2 2				2	0		4; A			( 1)2 3							2		1	2;
22					0	- 2			23									0		1
					0	- 2												0		1
	( 1)3 1					0			( 1)3 2							0
A	( 1)3 1		1			0	3; A		( 1)3 2						2	0			6;
31			2			3	32								2	3
			2			3									2	3
	( 1)3 3					1
A	( 1)3 3			2		1	2 .
33				2		2
				2		2
							12

Тогда обратная матрица A 1 :

												7							1
					7	4			2 Т						10				5
					7	4			2 Т						10				5
		1		1													2		2
	A	1			2	4			2
	A			10	2	4			2						5				5
				10		6									5				5
									2							1			1
					3				2							1			1

															5				5
															5				5
Тогда решение матричного уравнения
							7			1					3
	0 0				7													0

							10			5		10
						=		2	2				3
X	A 1		3 0		4			2	2				3						3
X	A 1		3 0		4														3
			1 0		7			5	5			5							1
			1 0		7			1	1						1				1

								5	5						5
								5	5						5
						3			0
							10		0		11
							10
							3		0		43			.
									0					.
							5				5
							4		0		4

							5				5
							5				5

3 .

0 7

0 4 =

0 7

Большой популярностью пользуется метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Дополним матрицу системы столбцом свободных членов и получим расширенную матрицу системы A / B :

	a	a	...	a	b
	a	a	...	a	b
	11	12		1n	1
A / B	a21	a22	...	a2n	b2	.
A / B					...	.

	... ... ... ...

	am1	am2	...	amn	bm

С помощью элементарных преобразований расширенной матрицы необходимо привести ее к виду

l		*
l		*
	11
	l22		*
	0		.

		lrr

	0		*

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1)перестановка местами строк или столбцов;

2)умножение каждого элемента какой-либо строки на вещественное число и прибавление к соответствующему элементу другой какой-либо строки.

1. Если a11 0 , то, прибавляя поочередно ко 2-й, 3-й и т. д. строкам первую строку, умноженную предварительно на

		a	21		a	31
			21	,		31	и т. д., получаем все нулевые элементы ниже
				,			и т. д., получаем все нулевые элементы ниже
					a11
		a11			a11
a		в первом столбце ( a						0 ,	a	0 и т. д.).
	11						21		31

2. Используя вторую строку пересчитанной матрицы для аналогичных преобразований, получаем во втором столбце все нулевые элементы ниже диагонального элемента. Имеем

a		a	a	...	b
	11	12	13		1
	0	a	a	...	b
		22	23		2
	0	0	a	...	b
			33		3
			a		b	.
	0	0	a	...	b
			43		4
...		...	...	...	...
	0	0	a	...	b
			m3		m

3. Продолжая преобразования, получаем матрицу, соответствующую системе линейных уравнений:

l11y1

l12 y2 l1r yr l1,r 1 yr 1 l1n yn c1, l22 y2 l2r yr l2,r 1 yr 1 l2n yn c2 ,

......................................................

lrr yr lr,r 1 yr 1 lrn yn cr ,

0	cr 1,
0	cr 2 ,
0	cm,

где y1, y2 ,...yn — это неизвестные x1 , x2 ,...xn , которые

переставлены определенным образом. Их перестановка определяется перестановкой столбцов, если это действие было необходимо делать по ходу вычислений.

Последние (m-r) уравнений следует понимать как

0 y1 0 y2 0 yn cr 1 ,

0 y1 0 y2 0 yn cr 2 ,

.. 0 y1 0 y2 0 yn cm .

Если хоть одно из сr 1 ,...cm 0 , то система уравнений не имеет решений (не совместна).

Для всякой совместной системы сr 1 ,...cm 0 . Тогда эти выражения можно опустить. Перенеся все члены, содержащие yr 1 ,...yn в правую часть, имеем

y l y

с l

1 12

1 1,r 1

r 1

l22 y2 l2r yr

c2 l2,r 1 yr 1 l2n yn ,

lrr yr cr lr ,r 1 yr 1 lrn yn ,

где ( yr 1 ,...yn ) — свободные переменные, которым можно придавать произвольные значения. Неизвестные y1,..., yn опре-

деляются однозначно. Из последнего уравнения находим yr , далее подставляем в предпоследнее, находим yr 1 и т. д.

Пример 1.9. Решить систему уравнений

x 3y z 4;2x 5y 3z 9;

6x y 2z 2.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы

1		- 3	1	- 4
A / B =	2	5	- 3	9	. С помощью эквивалентных преоб-
	- 6	1	2	- 2
	- 6	1	2	- 2

разований приведем матрицу к такому виду, чтобы под главной диагональю стояли все нули, что называется прямым ходом метода Гаусса.

Умножим каждый элемент 1-й строки на (-2) и прибавим ко второй строке. Умножим каждый элемент 1-й строки на (6)

1		- 3	1			- 4
и прибавим к третьей строке. Получим	0	11	- 5			17	.
	0	-17	8			- 26

Умножим каждый элемент 2-й строки на			17		и сложим
				11

с соответствующими элементами 3-й строки

Полученную матрицу снова запишем в виде системы


x 3y z				4,
	11y 5z			17,

		3			3
			z			.

	11			11

Откуда обратным ходом вычисляем единственное решение z = 1; y = 2; x = 1.

Пример 1.10. Решить систему уравнений

x 3y 4z 3;2x y 15z 1;

4x 9 y 19z 9.

Решение. Составим расширенную матрицу системы

		1		3	4			3	1		3	4	3
		1		3	4			3	1		3	4	3

A / B =			- 2 1		-15			1	~	0 7		- 7	7	~
			4	9	19			9		0 - 3		3	- 3


1		3		4		3
1		3		4		3
	0	7		- 7		7
~	0	7		- 7		7	.
	0	0		0		0
	0	0		0		0

x 3y 4z 3			x 3y 4z 3
Тогда		,		,	где z —
	7 y - 7z 7			y z 1

свободная переменная, z = t. Множество решений описывается следующим образом: x = -7t, y = t+1, z = t.

Пример 1.11. Решить систему уравнений:

y 5x z 6,

- 7 - 6z -4,

Тогда т. е. система несовместна.

0 41

Решений нет.

Пример 1.12. Решить систему уравнений

2x1 2x2 3x3 x4 x5 4;4x1 x2 x3 x4 2x5 5;3x1 4x2 2x3 x4 x5 8;2x1 x2 4x4 3x5 1.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы

	2		2	3	1	1			4
		4	1	1	1	2			5
		4	1	1	1	2			5
A / B =		3	4	2	1	1			8	~	Поменяем	местами

		2	1	0	4	3			1


первый и четвертый столбцы.
1		2	3	2	1	4
1		2	3	2	1	4
	1	1	1	4	2	5
	1	1	1	4	2	5
~	1	4	2	3	1	8		~		Умножим		каждый

	4	1	0	2	3	1


элемент	первой		строки		на		(-1),			1,	(-4) и	сложим

с соответствующими элементами второй, третьей и четвертой строк.

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.55 Mб9Учебное пособие 1627.pdf
#
30.04.20221.56 Mб3Учебное пособие 1628.pdf
#
30.04.20221.56 Mб15Учебное пособие 1629.pdf
#
30.04.2022309.13 Кб3Учебное пособие 163.pdf
#
30.04.20221.56 Mб18Учебное пособие 1630.pdf
#
30.04.20221.57 Mб6Учебное пособие 1631.pdf
#
30.04.20221.57 Mб5Учебное пособие 1632.pdf
#
30.04.20221.57 Mб5Учебное пособие 1633.pdf
#
30.04.20221.57 Mб3Учебное пособие 1634.pdf
#
30.04.20221.57 Mб8Учебное пособие 1635.pdf
#
30.04.20221.57 Mб5Учебное пособие 1636.pdf

a		a	a	...	b
	11	12	13		1
	0	a	a	...	b
		22	23		2
	0	0	a	...	b
			33		3
			a		b	.
	0	0	a	...	b
			43		4
...		...	...	...	...
	0	0	a	...	b
			m3		m

a		a	a	...	b
	11	12	13		1
	0	a	a	...	b
		22	23		2
	0	0	a	...	b
			33		3
			a		b	.
	0	0	a	...	b
			43		4
...		...	...	...	...
	0	0	a	...	b
			m3		m

a		a	a	...	b
	11	12	13		1
	0	a	a	...	b
		22	23		2
	0	0	a	...	b
			33		3
			a		b	.
	0	0	a	...	b
			43		4
...		...	...	...	...
	0	0	a	...	b
			m3		m