Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1622

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

b lim ( f (x) kx) lim 1

1. Следовательно,

2x2

x 2x

кривая имеет наклонную асимптоту y

x 1.

4. Найдем интервалы монотонности и точки экстремума.

х3 7х 6

Дифференцируя,

получаем

2х2

х3

2х3

Решая уравнение

х3 7х 6 0

или

(x 1)(х2

х 6) 0,

находим три критические точки

x1 1,

3.Таким

образом, имеем y

(х 1)(х 2)(х 3)

. Видим,

что на интер-

2х3

y 0

валах ( , 3),

(0,1), (2, )

производная

и функция

возрастает. На интервалах ( 3,0), (1,2) производная

y 0

функция убывает.

При переходе через критические точки 3

и 1

произ-

водная меняет знак с «+» на « ». В этих точках функция имеет локальный максимум f( 3) = 11/6, f (1) = 7/2. При переходе через критическую точку х=2 производная меняет знак с " " на "+". В этой точке функция имеет локальный минимум f(2)

=27/8.

5.Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика и точки перегиба. Вычислим вторую производную

y	7	9	7		9
				x		.
	x3	x4	x4		7

Имеется одна критическая		точка второго рода х=9/7. Лег-
ко проверить, что y 0,	если	х ( ,0) (0,9/7) и функция
выпуклая. При х (9/7, )	y 0 и функция вогнута.

График функции изображен на рис. 9.

130

Рис. 9

Задачи для самостоятельного решения: [3, №№ 1099, 1100 1104, 1106; гл. 5, №№ 4.61, 4.64, 4.66, 4.74, 4.83, 4.97, 4.100, 4.111].

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить промежутки возрастания и убывания функции:

1)	f (x) x3 5x 6;	2)	f (x) x 2;
3)	f (x) 2x2 ln x	(x 0);
4)	f (x) 3x2 3;	5)	f (x) x3 3x 2.
2.	Доказать, что функция		f (x) 1 x3 убывает на всей

числовой прямой.

3. Найти максимумы и минимумы функций:

1) f (x)		x	2 x	;	2) f (x) xln x;
	x	2	x 3

3) f (x) 1 x4 2 x3 3 x2 2; 4 3 2

131

4) f (x)	x	;	5) f (x) x2e x.

1 x2

4.Решеткой длиной 120 метров нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.

5.Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

6.Определить наибольшую площадь прямоугольника, у которого одна сторона лежит на основании а данного треугольника, а две вершины – на боковых сторонах треугольника, если треугольник имеет высоту h.

7.Из квадратного листа картона со стороной а вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной фигуры склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?

8.Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

9.Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения р. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

10.В прямой круговой конус радиуса R и высоты h вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

11.В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

12.Из сектора круга радиуса R свертывается коническая воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объем?

13.Даны точки А(0, 3) и В(4, 5). На оси Оx найти точку, сумма расстояний которой до точек А и В наименьшая.

132

14. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба гра-

фика функции

1) f (x) x4 6x2 x;

2) f (x) x4 2x3 12x2 5x 2;

3) f (x) (x 1)4;

4) f (x)

2x2

;

3 x2

f (x) 2x2 ln x;

6) f (x) xarctgx.

15. При каком значении а кривая

y x3

ax2

1 имеет

точку перегиба при х = 1?

16. При каком значении а кривая

y x4

ax3

x2 1

будет иметь выпуклость вниз на всей числовой прямой?

17. Найти асимптоты графиков функций:

1) f (x)

2) f (x)

3) f

(x)

x2 5

2x;

;

x 1

2x 1

x2 1

f (x) xe1 x ;

5) f (x) x 2arctgx.

Построить графики функций:

18.

y x3 3x.

19.y 12x x3. 20.

x2.

21.

2x2.

22.

y x 2

23.

y x

24.

1 x.

x 2

25.

x2 1

x2 1.

26. y

x2 1

x2 1. 27. y 3

y 2x 33

y (x 2)2 3 (x 2)2 3.

28.

29. y 1 3

(x 1)2

. 30.

31.

y (x 2)2 3

(x 2)2 3. 32.

y x(x 1)2 3.

33.

1 x2

34.

. 35.

y x2 3(1 x).

36. y

37.

2x 1

x2 4

x2 1

(x 1)2

133

3 2x

(x 1)2

38.

39.

. 40. y

41. y

(x 2)2

x2 1

x2 2x

42.

y xe x 2.

43.

44.

y x2e1 x. 45.

y (1 x)ex.

46.

y xe x2 2.

47.

y x3ex.

48.

y x3e x.

49.

4(1 x)

50.

e x

. 51.

ex e

52.

e x

ex e

ex e x

2 3

53.

54.

y x2e x2 .

55. y xln x.

56.

y x lnx.

ex(x 3)

57.

1 lnx

58. y xln2 x.

59.

y x2 ln2 x.

ln(x 1)

x2 1

60.

61.

62.

63. y

lnx

(x 1)2

x 2

64.

2x3 5x2

14x 6

65. y

66. y 2x

4x2

67.

68.

69.

. 70.

(1 x)3/2

1 x2

(x 1)2

71.

y x arctgx.

72.

(1 x)3

Ответы

1) Возрастает на

( ; ),

2) возрастает на ( ; 0) и

убывает на

(0; ), 3) возрастает на

и убывает на

;

возрастает на

( ; 1)

(1; ),

и убывает на

134

( 1;1),

5) возрастает на

( ; 1)

и (1; ),

убывает на

( 1;1).

1) При

– минимум ,

;

2) при

x 1 –

–

минимум,

3) при

минимум,

f ( 1)

; при

x 0 – максимум,

f (0) 2; при

x 3 –

минимум,

f (3)

; 4)

при x 1 – минимум,

f ( 1)

;

при

x 1 – максимум,

f (1)

;

при

x 0 – минимум,

f (2) 4e 2.

f (0) 0

при x 2

– максимум

4. 30 30 м.

5. 5 и 5.

. 7.

. 8. 3

4 R3

;0 . 14. 1) При

10.

R2h. 11.

12. 2

. 13.

x 2 –

точка перегиба,

на ( , 2)

– выпуклость вверх, на

(2; )

вниз;

2) при x 2

x 1 – точки перегиба, на

( ; 2) – выпуклость вниз, на

( 2,1) –

вверх,

на (1; )

вниз;

3) на ( ; ) выпуклость вниз, точек перегиба

нет;

4) при x 1

x 1

– точки перегиба, на ( ; 1)

выпуклость вверх, на ( 1;1)

–

вниз,

на

(1; ) вверх;

при

точка перегиба,

на

– выпуклость вверх,

на

;

вниз; 6)

на ( ; )

выпуклость вниз, точек

15. a 3.

16. а 2.

17.

x 1 –

перегиба нет.

вертикальная асимптота,

у = 5 горизонтальная;

135

– вертикальная асимптота,

y x

– наклонная;

x 1

4) x 0

вертикальные асимптоты,

y 2x 1 – наклонная;

вертикальная асимптота,

y x 1 – наклонная;

5) две

различные наклонные асимптоты

y x

при

x и

y x

при x .

18.

При

x 1 максимум,

y 2;

при

x 1 – минимум,

y 2;

при

x 0 – точка перегиба.

19.

При x 2 максимум,

y 16; при x 2 минимум,

y 16; при

x 0 – точка перегиба.

20.

При x 2

мак-

симум,

;

при x 0 минимум,

y 0;

при x 1 –

21.

x 2 минимум,

y 4; при

точка перегиба.

При

x 0

максимум,

y 0;

при

–

точки перегиба.

22.

x 1

Область определения функции

( , 0).

При

максимум,

y 1 на ( , 0) – выпуклость вверх. 23. Область

определения

функции ( ;1); при

максимум,

;

на

( , 1) – выпуклость вверх.

24. При x 2

максимум,

; при x 4

– точка перегиба; y 0 – го-

25. Область определе-

ризонтальная

асимптота при x .

ния

y 2x

– наклонные асимптоты при

при

x .

26. Область определения

y 0 – горизонтальная асимптота.

27.

При

x 0

ми-

нимум,

y 1. 28. При

x 0 максимум,

y 0;

при

x 1 минимум,

y 1.

29.

При x 1 минимум,

y 1.

30.

При

x 2

минимум,

y 23

;

при x 2

макси-

136

мум,

y 23

; при

x 0 – точка перегиба; y 0 – горизон-

тальная асимптота.

31.

При x 2

минимум,

y 23

;

при x 0 максимум,

y 23

. 32.

При x

максимум,

y 0; при x

– точка

;

при

x 1 минимум,

перегиба. 33. Экстремальных точек нет; x 1

вертикаль-

ные асимптоты,

y 0

горизонтальная асимптота.

34.

Экстремальных точек нет,

x 2 вертикальные асимптоты,

y 0

– горизонтальная асимптота. 35. При x

макси-

минимум, y 0; при x

–

мум,

; при x 0

точка перегиба. 36. При x 1 максимум,

; при

x 1

минимум,

; при

x 0, x

– точки перегиба;

y 0

– горизонтальная асимптота. 37. При x 0

минимум,

y 1; при

x 1

– вертикальная асимптота, y 0 – гори-

зонтальная асимптота.

38. При x 1 максимум, y 1; при

– точка перегиба;

x 2 – вертикальная

асимптота,

– горизонтальная асимптота.

39. При x 1

y 0

макси-

мум,

y 2; при x 1 минимум,

y 0; при x 0,

– точки перегиба;

y 1 – горизонтальная асимптота. 40. При

x 0

максимум,

y 0;

при x 1 – вертикальные

асим-

птоты, y 1 – горизонтальная асимптота.

41. При x 1

максимум,

y 0;

x 0,

x 2

–

вертикальные асимпто-

ты, y = 1 – горизонтальная асимптота. 42. При x 2

мак-

137

симум, y	2	; при	x 4 – точка перегиба; y 0 – горизон-

	e			43. При x 1 минимум,
тальная асимптота при х .

f(1) = e; точек перегиба нет; x 0 – вертикальная асимптота,

y 0

– горизонтальная

асимптота при

х .

44.

При

минимум, y

e2; точек перегиба нет; x 0 – вер-

x2e1/ x 0.

тикальная асимптота при

х 0 ;

lim

45.

При

x 0

– максимум, y 1; при x 1 – точка перегиба;

y 0

– горизонтальная асимптота. 46.

При

x 1 максимум,

; при

x 1 минимум,

; при x

–

точки перегиба; y 0 – горизонтальная асимптота. 47.

При

x 3 минимум, y

; x 3

– точки перегиба;

y 0

– горизонтальная асимптота при х . 48. При x 3

максимум,

; при

x 0, x 3

– точки перегиба;

y 0

49.

– горизонтальная

асимптота

при

x .

При

x 2

максимум, y

; x 1 – вертикальная асимптота,

y 0

50.

– горизонтальная

асимптота

при

х .

При

x 3 минимум, y

при x 1

максимум,

x 3 – вертикальные асимптоты; y 0 – горизонтальная асимптота при х . 51. Экстремальных точек нет, x 0– вертикальная асимптота, y 1 горизонтальные асимпто-

ты, y 1. 52. Экстремальных точек нет. При x 0 – точка перегиба, y 1 горизонтальные асимптоты; y 1.

138

53. При x 4 – максимум,

y 2e4;

x 3 – вертикальная

асимптота,

y 0 – горизонтальная асимптота при х .

54. При x 1 максимум,

;

при

x 0 – минимум,

y 0;

y 0– горизонтальная асимптота;

функция неотрица-

тельная. 55. При x

минимум,

; (1;0) – точка пе-

ресечения с осью Ох;

lim y 0, точек перегиба нет. 56. При

x 0

x 1 минимум, y 1; функция положительна,

x 0 вер-

тикальная асимптота при x 0 .

57.

При

x 1 макси-

мум, y 1; при x e1 2 точка перегиба;

x 0

вертикаль-

ная асимптота при

x 0 ,

y 0 –

горизонтальная

асим-

птота при

х .

58. При

x 1

минимум,

y 0;

при

– максимум,

;

lim

y 0;

функция неотрица-

x 0

тельна.

59. При x

максимум,

;

при

x 1 – ми-

нимум,

y 0, при

точки перегиба;

1 2

5 2

функция неотрицательна. 60. При

x e

минимум,

y e ;

при x e2

– точка перегиба;

lim y 0;

x 1 – вертикальная

x 0

асимптота.

61. При

x 1

максимум,

; при

x 1

– точка перегиба;

x 1 – вертикальная асимптота

при

x 1 , y 0

- горизонтальная асимптота при х .

62.

При x 1 минимум,

y 2;

при

x 1 –

максимум,

y 2;

x 0 – вертикальная асимптота,

y x

–

наклонная

асимптота. 63. При x 0 максимум,

y 0; при x 4 – ми-

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf
#
30.04.20221.52 Mб2Учебное пособие 1619.pdf
#
30.04.2022308.13 Кб2Учебное пособие 162.pdf
#
30.04.20221.53 Mб2Учебное пособие 1620.pdf
#
30.04.20221.53 Mб4Учебное пособие 1621.pdf
#
30.04.20221.53 Mб1Учебное пособие 1622.pdf
#
30.04.20221.55 Mб3Учебное пособие 1623.pdf
#
30.04.20221.55 Mб5Учебное пособие 1624.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1625.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1626.pdf
#
30.04.20221.55 Mб9Учебное пособие 1627.pdf