Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1622

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>


	1 2х		х		4 3х		7х
8.25. lim		.		8.26. lim		.

x	3 х			x	5 х

3х 1 3х

1 х 5х

8.27.

lim

8.28. lim

x 2х 5

x 2 10х

3 х

2х

х 5

3х

8.29.

lim

8.30. lim

x 9х 4

x 4х 2

Задача 9

9.1. lim 1 cos8x . x 0 3x2

9.3. lim	cosx cos5x								.
		2x2
x 0
9.5. lim	tgx sin x					.

x 0		3x2
9.7. lim 1 x tg				x			.

x 1			2
9.9. lim	tg2x sin2x							.

x 0		x2
	1		1
9.11. lim									.

					sin x
x 0 tgx

9.13. lim sin7x sin3x .

x 0	xsinx
9.15. lim	cos2x cos4x		.

x 0	3x2
9.17. lim	tg3x sin3x	.

x 0	2x2

9.2. lim sin3x sin x .


	x 0			5x
9.4. lim			tg3x		.

	x 0 2sin x
9.6.	lim	arcsin5x				.

	x 0		sin3x
9.8.	lim			1 sinx			.

	x /2 2x

9.10. lim 1 cos2 x . x 0 xtgx


9.12. lim			sin2 3x sin			2 x	.
			x2
x 0
9.14. lim		1 cos5x			.

x 0 2x2
9.16. lim	arctg2x			.

x 0			tg3x

9.18. lim	1 sin 2x	.

x /4	4x
100

9.19. lim cos4x cos3 4x .

x 0 3x2

9.21. lim cos2 x cos2 2x .

x 0 x2

9.23. lim 1 cos2 2x . x 0 xarcsin x

9.25. lim	cos5x cosx				.

x 0		4x2
9.27. lim		1 sin x		.

x /2 /2 x 2
		7x
9.29. lim			.

x 0 sin x sin 7x

		1		1
9.20.	lim							.
9.20.	lim							.
					tg2x
	x 0 sin2x				tg2x
9.22. lim		arcsin5x			.
9.22. lim					.
	x 0		x2 x
9.24. lim			1 cos4x			.
9.24. lim						.
	x 0		xsin x
9.26. lim			sin5x sin x				.
9.26. lim							.
	x 0		arcsin x

9.28.lim /2 x tgx .

x /2

9.30. lim cosx cos2 x .

x 0 5x2

6. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Литература: [2, гл. 3, §§ 1 10, 12 18, 20 23, 26; 2, раздел 4, гл. 1, §§ 1 9, 11 14].

Функция y f (x) называется дифференцируемой в точ-

ке x, если приращение этой функции у f (x x) f (x) в

точке x,	отвечающее приращению аргумента x , можно пред-
ставить в виде
	у А(х) х ( х) х,		(6.1)
где А(х)	не зависит от х, ( х) 0	при х 0.
Линейная относительно х часть приращения функции
называется дифференциалом в точке х		и обозначается dу(х)
	dy(x) A(x) x.		(6.2)
	101

Дифференциал независимой переменной dx совпадает с

приращением х . Коэффициент					A(x) при x называется
производной функции f(x) в точке х и обозначается						f (x) или


у (x) : f	(x) A(x).
Из дифференцируемости функции следует формула для
вычисления ее производной
			у		f (x x) f (x)
				= lim	.	(6.3)
	f (x) lim			= lim	.	(6.3)
		x 0 x		x 0	х
Справедливо		утверждение:			для того, чтобы	функция
y f (x)	была дифференцируемой в точке х, необходимо и

достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f (x), т.е. чтобы существовал конечный предел (6.3).

Используя определение (6.3) и обозначение производной f (x)

, дифференциал обычно записывают в виде		dу(х) = f
				(x) dx , а
производную часто обозначают так		dу	. Операция на-

	f (x)=

dх

хождения производной функции называется дифференцирова-

нием.

Пример. Найти производную функции y sin(3x 5).

Решение. Найдем приращение функции

y f (x x) f (x)=

sin 3(x x) 5 sin(3x 5) 2cos(3x 5 3 x)sin 3 x. 2 2

Чтобы воспользоваться формулой (6.3), найдем предел

отношения y . Имеем

102

= lim

3 x

2sin

cos 3x 5

у (x) = lim

x 0 x

3 x

sin

3 x

3x 5

3cos(3x 5).

lim 3

lim cos

3 x

x 0

u u(x)

и v v(x)

Если функции

дифференцируемы в

точке х, то справедливы следующие основные правила диффе-

ренцирования:

C 0, где С – постоянная;


Cu(x)	Cu (x)
					(6.4)
u(x) v(x)			u (x) v (x);		(6.4)

u(x)v(x)		u (x)v(x) u(x)v (x);

u(x)		u (x)v(x) u(x)v			(x)
						.
			v2	(x)		.
v(x)			v2	(x)

Производная обратной функции. Пусть функция у = f(x)

монотонна и непрерывна в некотором промежутке, содержащем точку x0 . Если данная функция имеет в точке x0 не рав-

ную нулю производную f (x0), то обратная ей функция x (у) также имеет производную (y0) в соответствующей точке и справедлива формула

(y0)	1	.	(6.5)

	f (x0)

Таблица производных элементарных функций найдена с помощью непосредственного дифференцирования.

103

	y					y

1.		С	0
2.	x		x 1
					1
3.			2
3.		x	2				x
4. loga x			1
4. loga x				xlna
5.	ln x		1
5.	ln x					x

6. ax			ax lna

7.	ex					ex
8.	sh x				ch x

9.	ch x				sh x

10.	th x		1
10.	th x			ch2 x

11. sin x

cos x

12. cos x

sin x

13. tg x

cos2 x

14. ctg x

sin2 x

15. arcsin x

1 x2

16. arccos x

1 x2

17. arctg x

1 x2

18. arcctg x

1 x2

19. сth x

sh2 x

Производная сложной функции. Пусть y f (z), а z (x) , причем для соответствующих друг другу значений х

и z существуют конечные производные f (z)	и (х). Тогда

сложная функция y f (x) имеет конечную производную по переменной х, и эта производная вычисляется по формуле

dу	dу	dz	или уx	fz (z) x(x).	(6.6)
dх	dz	dx	или уx	fz (z) x(x).	(6.6)
dх	dz	dx
			104

Знание основных правил вычисления производных, а также таблицы производных позволяет отказаться от громоздкого метода непосредственного вычисления производных.

Пример. Найти производную функции

y xctgx cosx.

Решение.

y (xctg x cosx) (xctg x) (cosx)

ctg x x(ctg x)

(cosx)

ctgx sin2

x sin x.

Пример. Найти производную функции

x 2

x 1

Решение. Здесь y z3,

где

. Используя форму-

x 1

лу (6.6), имеем:

dу

x 2

x 1

1) (x

2)(x

1 (x 1) (x 2) 1

dz x 2

(x 2)(x

(x 1)2

dx x 1

dу

x 2

x 1 x 2

9(x 2)

(x 1)2

(x 1)4

dx dz dx

x 1

Пример. Найти производную функции y cos(6x).

Решение. y cosz,

z 6x,

dу

sin(6x ) 6x ln6.

Пример.

Найти

производную

функции

y ln x

dу

Решение.

y ln z,

z x

x2 4,

4 1

2 х2 4

х2 4

105

cos2 t

dу dу dz dx dz dx

1					х			1


х х	2		1	х	2	4	х	2		.
х х		4		х		4	х		4

Производная функции

заданной

параметрически

x (t), y (t)

вычисляется по формуле

(t)

(6.7)

(t)

Пример. Найти производную у

функции заданной

(х)

параметрически

x ln sin t, y ln cost.

Решение. Используя формулу (6.7), имеем

dу

( sin t),

cost,

cost

sin t

dy dt sin2 t tg2 t. dx dx

Геометрический смысл производной и дифференциала

(см. рис. 5).

Рис. 5

Производная функции f (x) при x x0 равна угловому коэффициенту касательной к кривой y f (x) в точке с абс-

циссой х0 , т.е. f (x0) tg .

106

Уравнение касательной к этой кривой в точке

М0(х0, y0) имеет вид

y y0 f (x0)(x x0).

Уравнение нормали к кривой (т.е. прямой, перпендикулярной касательной в точке касания) имеет вид

y у0	1	(x x0 ).

	f (x0 )

Дифференциал функции с геометрической точки зрения представляет собой приращение ординаты касательной, когда приращение ее абсциссы равно заданной величине x .

Пример. Написать уравнение касательной и нормали к

параболе y x2 2x 5

в точке с абсциссой x0 2.

Решение. Вычислим

f (2) 4 4 5 5, следовательно,

точка касания M0(2;5).

Угловой коэффициент касательной в точке

равен

k1 f (2) (2x 2)

x 2 2,

а угловой коэффициент нормали –

Таким

образом,

уравнение

касательной

имеет

вид

y 5 2(x 2), а уравнение нормали

– y 5

(x 2) .

Физические интерпретации производной весьма много-

образны. Простейшей из них является скорость перемещения материальной точки, двигающейся по закону x x(t). При этом мгновенная скорость перемещения равна v(t) x (t).

Пример. Точка перемещается по закону x(t) 6t2 3t 1(м). Найти скорость перемещения материальной точки в момент времени t 4 (с).

107

Решение. Имеем

v(4) 12 4 3 51

v(t) x (t) 12t 3

Пример. Количество электричества Q, протекающее че-

рез проводник с

момента

t 0

определяется

формулой

Q(t2) 2t2 3t 1(k). Найти силу тока в момент t 5(c) .

Решение. Сила тока I(t) Q (t) 4t 3 (a), отсюда

I(5) 4 5 3 23

(a) .

Для раскрытия неопределенностей

при вычис-

лении пределов функций можно использовать правила Лопи-

таля.

Теорема Лопиталя. Пусть функции f x и x непре-

рывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обра-

щаются в нуль в этой точке, т.е. f x0 x0 0 , кроме тогоx0 0, тогда, если существует предел

lim

f '(x)

A, то

lim

f (x)

x x0 '(x)

x x0 (x)

Если производные

удовлетворяют тем же

f x

и x

условиям, что и функции

f x

и x ,

теорему можно приме-

нить еще раз: lim

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

и т.д.

x x0 (x)

Теорема справедлива и в том случае, когда x .

Пример. Найти предел lim

ln2 x

2ln x

ln2 x

ln2

Решение. lim

lim

2 lim

ln x

x x

x 1

x x

108

lim

ln x

lim

x 1

x x

Пример. Найти предел

lim

4x2 2x

7x 4

x 3x2

4x2 2x

4x2

Решение.

lim

7x 4

x 3x2 7x 4

8x 2

8 4

lim

8x 2

lim

x 6x 7

x 6 3

Правило Лопиталя может быть использовано для иссле-

дования неопределенностей вида 0 , ,

1 ,

0 , 00 ,

для чего указанные виды неопределенностей сводятся к

неопределенностям

или

Пример. Найти предел lim

x 1

x 1 xln x

Решение.

x 1

(x 1)'

lim

x 1 xln x

x 1 (xln x)'

x 1 ln x 1

Пример. Найти предел

lim

tg3x

tg5x

Решение.

3cos2

tg3x

1 cos10x

lim

tg5x

5cos2 3x

1 cos6x

5 x

lim

10sin10x

lim

sin10x

lim

10cos10x

5 x

6sin6x

sin6x

6cos6x

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf
#
30.04.20221.52 Mб2Учебное пособие 1619.pdf
#
30.04.2022308.13 Кб2Учебное пособие 162.pdf
#
30.04.20221.53 Mб2Учебное пособие 1620.pdf
#
30.04.20221.53 Mб4Учебное пособие 1621.pdf
#
30.04.20221.53 Mб1Учебное пособие 1622.pdf
#
30.04.20221.55 Mб3Учебное пособие 1623.pdf
#
30.04.20221.55 Mб5Учебное пособие 1624.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1625.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1626.pdf
#
30.04.20221.55 Mб9Учебное пособие 1627.pdf