Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1613

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

в) Пользуясь разложением в ряд arctg x и интегрируя в пределах от 0 до х, будем иметь

2n 2

... 1 n 1

... dx

2n 1

... ( 1)n 1

...

(2n 1)

x2n 1 (2n 1)2

и ряд

По признаку Даламбера lim

(2n 1)2 x2n 1

сходится в интервале 1 x 1.

Исследуем сходимость ряда на границах интервала. При x 1

	( 1)	n 1				( 1)	n
ряд примет вид	( 1)			, а при x 1 вид		( 1)			,
ряд примет вид	(2n 2)		2	, а при x 1 вид		(2n 1)		2	,
n 1	(2n 2)				n 1	(2n 1)

которые по признаку Лейбница сходятся. Следовательно, область сходимости ряда будет ( 1 x 1) .

г) Раскладывая в ряд ln(1 x) и интегрируя в пределах от 0 до x, будем иметь

n 1

... ( 1)n 1

... dx

... ( 1)

n 1

...

По признаку Даламбера

lim

xn 1n2

и ряд сходится

(n 1)2 xn

в интервале ( 1 x 1) .

Граничные точки исследуем особо.

При x 1 ряд примет

n 1

при

x 1

вид

12 . Поскольку из

вид ( 1)2

n 1

сравнения второго ряда с рядом Дирихле находим, что он

161

сходится, то первый ряд, как знакочередующийся, тем более сходится. Таким образом, область сходимости ряда будет

( 1 x 1) .

11.2. Вычислить: а) 1 sin xdx с точностью до 0,001;

0 x

б)1/ 4 (1 x3 )dx с точностью до 0,0001.

Решение. а) Раскладывая подынтегральную функцию в ряд и интегрируя, будем иметь

1		1/ 2		x5/ 2	x9 / 2			x13/ 2					2x3/ 2		2x7 / 2
	x										... dx				7 3!
	x			3!	5!				7!		... dx			3
0				3!	5!				7!					3
2x11/ 2			2x15/ 2 ...			1	2			2		2		2	... 0, 621 .
2x11/ 2						1	2			2		2		2

11 5!			15 7!			0	3		7	3!		11 5!		15 7!

При вычислении интеграла с заданной точностью достаточно ограничиться первыми тремя членами, т.к. четвертый член знакочередующегося ряда по абсолютной величине равен 0,00002 и, следовательно, остаток ряда меньше

0,001.

б) Пользуясь биноминальным разложением и интегрируя, имеем

						1 1
1/ 4		1													x4			x7		1/ 4
1/ 4		1		3			2 2				6				x4			x7		1/ 4
	1		x				2 2			x		... dx x							...
	1	2	x							x		... dx x		2 4		2	2	7 2!	...
0		2						2!						2 4		2		7 2!		0

					1					1			1		... 0, 2505 .
					4				2 4			44	22 7 2!47		... 0, 2505 .
					4				2 4			44	22 7 2!47

Третий член этого знакочередующегося ряда, равный 0,000001, меньше требуемой точности, поэтому для вычисления исходного приближенного значения достаточно суммы первых двух членов.

162

11.3. Вычислить приближенные значения интегралов,

взяв для: а)1/ 4 e x2 dx		3
	три члена; б) 3		x3arctg x dx два члена
0	0

разложения подынтегральной функции в ряд и указать погрешность.

Решение. а) Разложим подынтегральную функцию в ряд, взяв первые три члена

1/ 4					x	4				x	3	x	5	1/ 4
	1	x2			x		dx x			x		x
	1	x2					dx x						2!
0				2!						3 5			2!	0
			1			1		1	0, 24489 .
			4	3 43				10 45	0, 24489 .
			4	3 43				10 45

Четвертый член знакочередующегося ряда по абсолютной величине равен 0,0000014, поэтому погрешность суммы первых трех членов равна 0,00001.

б) Разложим подынтегральную функцию в ряд, взяв первые два члена, и проинтегрируем

3			x6		x5		x7		3		35			37
3
3
3		4							3
	x			dx											0, 012 .
	x		3	dx		5	21			5	5		7	21	0, 012 .
0			3			5	21	0		3	5	3		21
								0

Третий член по абсолютной величине равен 0.00016, поэтому погрешность суммы первых двух членов 0,001.

163

3. РЯДЫ ФУРЬЕ

3.1. Ряд Фурье для функции с периодом 2

1°. Кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая

функция	f (x) с периодом 2 может быть представлена в
интервале	; в виде ряда Фурье
			a0		n
	f (x)		a0		(ak cos kx bk sin kx),		(1)
где	f (x)				(ak cos kx bk sin kx),		(1)
где		2			k 1
			1
	ak		1		f (x)dx,
	ak				f (x)dx,
						(k 0,1, 2,...),	(2)

		1

	bk			f (x)dx,
	bk			f (x)dx,

Теорема о разложимости функции в ряд. Если функция f (x) кусочно-дифференцируема и 2 - периодична, то ее ряд

Фурье сходится в любой точке x0			и имеет сумму
S(x ) 1		( f (x	0) f (x 0)).	(3)
0	2	0	0
	2
В точке непрерывности		функции значение суммы		ряда

Фурье совпадает со значением самой функции f (x) . Так как

функция f (x) есть 2 периодическая, то	на	концах
интервала в точках ± она:
а) либо непрерывна, причем f ( ) f ( )	и	значения
суммы S(± ) = f ( ) ;

б) либо разрыва, причем в силу 2 периодичности f ( 0) f ( 0), f ( 0) f ( 0) ,

и значения суммы

S ( )	1	f 0 f 0 .	(4)
	2

2°. Ряд Фурье для четной функции f (x) имеет вид

164

f (x) a0
f (x) a0		ak cos kx ,	(5)
где	2	k 1
где
f (x) a0	n
f (x) a0	(ak cos kx bk sin kx),		(6)
2	k 1

Ряд Фурье для нечетной функции f (x) имеет вид

f (x) bk sin kx,

k 1

Представляя ряд Фурье (9) в виде

f x sin kxdx, k 1, 2,... .

3°. Ряд Фурье в комплексной форме имеет вид

f (x) ck eikx ,

f (x)e ikx dx, (k 0,1, 2,...).

f (x) c0

ck eikx c k e ikx ,

k 1

где

ak ibk

по известным формулам Эйлера

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

cos kx	eikx e ikx	, sin kx	eikx e ikx	(13)
	2		2i

можно получить ряд Фурье (1).

4°. Если ряд Фурье (1) сходится, то он сходится к некоторой периодической функции f (x) . Обратно,

периодическую функцию f (x) можно разложить в ряд Фурье.

165

Иначе говоря, периодическую функцию можно разложить в ряд, состоящий из синусов и косинусов кратных дуг

f (x) a0	a1 cos x b1 sin x a2 cos 2x b2 sin 2x ...	(14)
Простейшей периодической функцией является простая
гармоника	y Asin x ,	(15)

где А — амплитуда колебания, — круговая частота (число

колебаний на отрезке 0; 2 ), —начальная фаза.
Период колебаний функции (15) определяется по формуле
	T 2 .			(16)
Уравнение простой гармоники можно записать в другой
форме
y a cos x b sin x,				(17)
Отсюда, по уравнению простой гармоники (17), можно
найти амплитуду и фазу колебания
A	a2	b2 ; tg a .		(18)
		b
1.1. Дана 2 -периодическая функция			f (x) x		x	в
1.1. Дана 2 -периодическая функция			f (x) x		x	в
интервале ; . Требуется		разложить	функцию	в		ряд
Фурье.
Решение. Представим функцию в виде
f (x) 0	x 0,
2x		0 x

и дадим ее график (рис. 3.1).

Рис.3.1. 166

Докажем разложимость функции в ряд. Функция кусочнодифференцируема, т.к. внутри интервалов ; 0 , 0; имеет

производную. Поскольку на концах интервалов функция и ее производная имеют конечные предельные значения

			1								1			0																				1											x2
			1								1			0																				1											x2
a0						f (x)dx											f (x)dx f (x)dx																			2xdx											;
a0						f (x)dx											f (x)dx f (x)dx																			2xdx										0	;
																							0												0
																							0												0
				1												2										2	x sin kx																sin kx
				1												2										2	x sin kx																sin kx
ak						f (x) cos kxdx													x cos kxdx																											dx
ak						f (x) cos kxdx													x cos kxdx													k						0						k		dx
									cos kx										0																							0
																			0																							0
							2													2				k						(k 1, 2,...);
															0							( 1)			1			,
												k 2			0					k 2		( 1)			1			,

		1												2											2				x cos kx											1
bk					f (x) sin kxdx												x sin kxdx																										cos kxdx
bk					f (x) sin kxdx												x sin kxdx														k						0				k		cos kxdx
																0																											0

								2					( 1)k 1								1		sin kx							2			( 1)k 1 .
								2													1									2
																					2									k
								k													k					0				k
	Подставляя a0 , ak ,																bk			в ряд Фурье (1), получим
											n		2									k									2									k 1
											n		2									k									2									k 1
				x		x												( 1)					1 cos kx											( 1)								sin kx .
				x		x											2	( 1)					1 cos kx											( 1)								sin kx .
							2			k 1			k																		k
	1.2. Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую функцию
f (x) x2 , заданную																	в			интервале								( ; ] ,												и,				пользуясь
																																				1
разложением , найти сумму ряда Дирихле																																				1			.
разложением , найти сумму ряда Дирихле																																				2			.
																																k 1				k

Решение. Нетрудно заметить, что функция удовлетворяет теореме о разложимости функции в ряд Фурье и имеет график

(рис. 3.2).

Рис.3.2.

167

Так как функция четная f (x) x2 , то по формуле (6) имеем

2 ak 0 x2

4 x cos

k k

							2					2		2
		a0					2	x2dx				2			;
		a0						x2dx					3		;
								0	2				3		2
					2 1				2						2
cos kxdx								x		sin kx							x sin kxdx
cos kxdx								x		sin kx					k 0		x sin kxdx
						k						0
		1				k					4
																k
			0													k
kx				cos kxdx									( 1)				, (k 1, 2,...) .

	0	k									k	2
	0

Отсюда по формуле (5)

				2
		x2			4	1		1 k cos kx,
		x2	3		4	2		1 k cos kx,
			3		k 1 k
							1				2
Откуда сумма ряда Дирихле							1					.
Откуда сумма ряда Дирихле							2					.
					k 1		k			6
1.3. Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую функцию
f (x)	x	заданную		в	интервале						; , и, пользуясь
f (x)	x	заданную		в	интервале						; , и, пользуясь
											1
разложением, найти сумму ряда											1				.
разложением, найти сумму ряда									(2k				1)	2	.
							k 1		(2k				1)

Решение. Функция кусочно-дифференцируема и 2 - периодична, следовательно, может быть разложена в сходящийся ряд Фурье. График функции показан на рис. 3.3.

Рис.3.3.

Так как функция непрерывна, то при всех х значение суммы ряда Фурье совпадает со значениями самой функции f(x). Поскольку функция четная, то по формуле (6) имеем

168

a0 2 xdx ;

	2		2		sin kx		1

ak		x cos kxdx		x	k		k	sin kxdx
						0
		0						0

	2	cos kx							2							k			, (k
	2								2							k
k 2							k 2
k 2					0		k 2						( 1)					1
Отсюда по формуле (5) получим
									4					cos(2k 1)x
			x												(2k 1)					2
			x			2														2
						2					k 1
Полагая x=0, будем иметь																	1		2 .
				0 4													1		2 .

								2		k 1					(2k 1)
									1								2
Откуда сумма ряда									1									.
Откуда сумма ряда								(2k				1)		2		8		.
				k 1				(2k				1)				8

1, 2,...).

1.4. Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую функцию и, пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница

1 k 1 .

k 1 2k 1

Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы о разложимости в ряд Фурье и имеет вид (рис.3.4).

Рис.3.4.

Так как функция нечетная, то коэффициенты ряда Фурье

(7) находим по формуле (8)

169

	2		2		2	k

		sin kx dx

bk			k cos kx	0	k 1		1	, (k 1, 2,...) .
		0

Отсюда ряд f (x) 2 1 1 1 k sin kx .

k 1 k

Так как члены ряда отличны от нуля только при нечетных к, то ряд можно записать в виде

1 4

sin 2k 1 x .

k 1

2k 1

k 1

Откуда при

имеем сумму

( 1)

k 1 2k 1

1.5. Разложить в

ряд

Фурье

2 - периодическую

функцию f (x) ex , заданную в интервале ( , ] .

Решение. Поскольку функция удовлетворяет теореме о разложимости функции в ряд Фурье, то в интервале ( , ]

ряд представляет функцию, а в точках разрыва x его

сумма S(x) 12 (e e ) .

Воспользуемся комплексной формой ряда Фурье (9), где коэффициенты находим по формуле (10)

(1 ik ) x

exe ikx dx

e(1 ik ) x dx

2 (1 ik)

e eik

e(1 ik ) e (1 ik )

e e ik

2 (1 ik )

2 (1 ik)

Так как по формулам Эйлера

e ik cos k i sin k ( 1)k , то

c ( 1)k (e e )

2 (1 ik)

( 1)

ikx

и ряд Фурье

1 ik

Перейдем к обычной тригонометрической форме ряда Фурье

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.49 Mб3Учебное пособие 1609.pdf
#
30.04.2022307.86 Кб3Учебное пособие 161.pdf
#
30.04.20221.5 Mб4Учебное пособие 1610.pdf
#
30.04.20221.5 Mб3Учебное пособие 1611.pdf
#
30.04.20221.5 Mб13Учебное пособие 1612.pdf
#
30.04.20221.5 Mб8Учебное пособие 1613.pdf
#
30.04.20221.5 Mб5Учебное пособие 1614.pdf
#
30.04.20221.5 Mб2Учебное пособие 1615.pdf
#
30.04.20221.51 Mб2Учебное пособие 1616.pdf
#
30.04.20221.51 Mб15Учебное пособие 1617.pdf
#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf