Учебное пособие 1613

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

натуральным lg 5

. Для разложения функции в ряд

воспользуемся разложением в ряд ln

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

an xn

nan xn 1

2a2 x 3a3 x2

...

n 0

n 1

8.1. Найти сумму ряда: а)

...

x4n 1

...;

4n 1

б) 1 3x2 5x4 ... 1 n 1(2n 1)x2n 2

...

Решение. а) Дифференцируя ряд почленно, получим

x2 x6 x10 ... x4n 2 ... 1 x2x4

геометрический ряд, который сходится при |х| < 1. Интегрируя почленно этот ряд и его сумму, получим

сумму ряда

x11

...

x4n 1

...

1 ln

x 1

1 arctgx .

1 x

3 7 11

4n 1

б) Интегрируя почленно ряд, имеем

x x3 x5

... ( 1)n 1 x2n 1 ...

геометрический ряд, который сходится при |х| < 1. Дифференцируя этот ряд почленно, получим исходный ряд

и его сумму

	2		4	n 1		2n 2		1 x2
1 3x		5x		... 1	(2n 1)x		...		.
								(1 x2 )2

2.9. Разложение функций в степенные ряды

1°. Если существует предел последовательности

частичных сумм lim Sn (x) , то функциональный ряд сходится к

некоторой функции f (x) , то есть

f1(x) f2 (x) ... fn (x) ... f (x) .

Если функция f(x) известна, то

f (x) f1(x) f2 (x) ... fn (x) ...

151

выражает разложение функции f (x) в ряд по функциям fi (x) . Если функции fi (x) — степенные, то говорят, что функция f (x) разложена в степенной ряд.

2°. Представление функции в виде степенного ряда называется разложением функции в степенной ряд. Общее

правило разложения функции в ряд по степеням x x0

дается рядом Тейлора

f (x0 )

f (x) f (x

)

f (x0 )

(x x )

(x x

...

f (n) (x )

(x x )n ...,

(1)

а по степеням х рядом Маклорена

f n (0)

f (x) f (0)

f (0)

x2 ...

... (2)

f (x)

сходящимся к

для

всех

значений

х,

при

которых

остаточный член

Rn (x) 0

при

n . Остаточный член в

форме Лагранжа для ряда (1) имеет вид
Rn (x)	x x0 n	f n x0		(x x0 ) ;				0 1 ,	(3)
Rn (x)	n!	f n x0		(x x0 ) ;				0 1 ,	(3)
а для ряда (2)	n!
а для ряда (2)
	r (x)		xn		f	n	(x ).		(4)
	r (x)				f		(x ).		(4)
	n		n!
			n!
Ряд (1) служит для аналитического представления функции
в окрестности	точки	x x0 ,				а ряд (2) — в окрестности

точки х=0.

3°. Во многих случаях разложение функции в степенной ряд просто получить, если использовать стандартные разложения

152

I. e	x	1		x	x2	...	xn	...
			1!		2!		n!

II. sin x x x3 x5 ... ( 1)n 3! 5!

x2n 1

(2n 1)! ...

III.

cos x 1

... ( 1)n

x2n

...

(2n)!

IV. (1 x)m 1 m x m(m 1) x2

... m(m 1)...(m n 1) xn ...

1 x 1

1 x x2

... xn ...

1 x 1

1 x

VI. ln(1 x) x

... ( 1)n 1

...

1 x 1

VII. arctgx x

... ( 1)n 1

x2n 1

...

1 x 1

(2n 1)

VIII. arcsin x x

1 x3

1 3 x5

...

2 3

2 4 5

IX. shx x

...

x2n 1

...

(2n 1)!

X. chx 1

...

(2n)!

(2n 1)!!x2n 1 ...

(2n)!!(2n 1)

1 x 1

Следует помнить, что при разложении тригонометрических функций в ряд Маклорена или Тейлора, аргумент х берется в радианной, а не в градусной мере.

9.1. Разложить в ряд по степеням х функции: а) tg х; б) ecos x ; в) x5 2x4 x2 x 1 — по степеням (х +1).

Решение. а) В соответствии с видом ряда Маклорена отыскиваем последовательные производные функции и находим их значения при x = 0:

153

f ( 1) 0,

f (x) tgx;

f (0) 0,

;

(x) cos2 x

(0)

2sin x

;

(x) cos3 x

(0)

cos2

x 3sin2 x

;

(x)

cos4

(0)

IV (x) 8 2sin x cos2

x 3sin3

x ;

f IV (0) 2,

cos5 x

f V (x) 8

cos2 x 2 3sin2

5sin2 x(3 cos2 x)

;

f V (0) 16.

cos6 x

Подставляя найденные производные в ряд Маклорена (2),

f (x) x

2x5

получим

...

б) Находим последовательные производные и их значения

при x 0:

f (x) ecos x ;

f (0) e,

cos x

sin x;

(x) e

(0) 0,

sin

x cos x e

cos x

;

(x)

(0) e,

cos x e

cos x

;

(x)

2 sin 2x 3

(0) 0,

(x)

3cos 2x cos x 9cos x sin

sin

cos x

;

2x e

f IV (0) 4e.

Подставляя найденные значения в ряд (2),

получим

f (x) e 1

... .

в) Находим производные и их значения при x 1: f (x) x5 2x4 x2 x 1;

154

2x 1;

f (x) 5x

f ( 1)

24x

f (x) 20x

( 1)

48x;

f (x) 60x

( 1) 12,

f IV (x) 120x 48;

f IV ( 1) 72,

f V (x) 120;

f V ( 1) 120.

Подставляя найденные значения в ряд (1), получим

f(x) x 1 2 2(x 1)3 3(x 1)4 (x 1)5.

9.2.Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x 0

функции: а) e x2 ;

б)

cos2 x ;

в)

sin2 x cos2 x ;

г) ln

1 x

;

1 x

д)

; е) arcsin x 2 ;

ж) arctg

x ;

з) ch3 x .

Решение. а) Заменяя в ряде (I)

x на x2 , получим :

e x2

... ( 1)n

x2n

...

б) Ряд можно получить умножением ряда (III) самого на

себя или с помощью преобразования

cos2 x

1 cos 2x

разложения cos 2x по формуле (III) и замены x на 2x :

cos2 x 1

... 1 n

...

(2n)!

2x2

23 x4

... 1 n

2n 1 x2n

...

2n !

в)

Преобразуем

сначала

это

произведение

sin2 x cos2 x 1 sin2 2x

1 1 cos 4x .

Раскладывая

cos 4x

помощью стандартного ряда (III) и заменяя x на 4x , получим:

sin2 x cos2 x 1	1		4	2	x	2	4	4	x	4	... ( 1)n	4	2n	x	2n
		1	4		x				x			4		x		...
		1														...
8	8			2!				4!				2n !
8	8			2!				4!				2n !

155

	2x2		25 x4	... 1 n 1 24n 3 x2n	...
	2!		4!	(2n)!
г) Представим ln		1	x	в виде ln(1 x) ln(1 x) . Первый
г) Представим ln		1	x	в виде ln(1 x) ln(1 x) . Первый
		1	x

логарифм дан разложением (VI), а второй может быть получен из него заменой x на x :

ln(1 x) x

...

Вычитая этот ряд из ряда (VI), получим :

2n 1

...

2 x

2n 1

... .

д) Преобразуем

данную

функцию

произведение

x(1 x) 2 . Далее используем биноминальный ряд (IV), полагая в нем m 12 :

1 x

1 3 x

1 3 5 x

n (2n 1)!!x

x(1 x)

2 x 1

... ( 1)

...

2 1!

2 2 2!

2 2 2 3!

1 x2

1 3 5

... 1 n

2n 1 !!xn 1

...

2n n!

2 1! 22 22

е) Представим

функцию

виде

произведения

arcsin x arcsin x и воспользуемся стандартным рядом (VIII) :

arcsin x

1 x3

1 3 x5

1 x3

1 3 x5

... x

... .

2 3

2 4 5

2 3

2 4 5

Перемножая ряды по схеме (2.7.2 ), имеем :

arcsin x 2	x2	2	x4	2 4	x6	...	2n 2 !!x2n	...
							2n 1 !!n
		3 2 3 5 3

ж) Заменяя в ряде (VII) x на x , имеем :

156

						1	3	5							n 1
		arctg	x	x		1	x2	x2		... ( 1)		n 1		x	2	...
						2	x2	x2				n 1		x	2
						2	2	5					2n 1
							2	5					2n 1
	з) Представим гиперболический косинус в виде
3	ex e x 3				1	e3x e 3x			3		ex e x			1	ch3x 3chx .
ch	x	2			4		2		3		2			4	ch3x 3chx .
		2			4		2				2			4

При разложении в ряд воспользуемся стандартным рядом (X), заменяя в первой функции x на 3x:

ch3 x

1 1 3x

(3x)

...

(3x)

...

2n !

3 1

...

... .

(2n)!

Складывая почленно, будем иметь

2n 1

1)x

ch3 x 1

(2n)!

4 n 1

2.10. Вычисление приближенных значений функций

Представление элементарных функций в виде стандартных рядов позволяет использовать эти ряды для вычисления приближенных значений функций.

10.1. Вычислить с помощью биноминального ряда 3 130 ,

ограничиваясь двумя членами ряда. Оценить погрешность. Решение. Применяя биноминальный ряд (IV), представим

			1	1		1
данный корень в виде	3 125 5 5			3	. Полагая x		,
		1
			25
						25

m 13 , запишем три члена разложения

157

3 130 5			1 1	1 1	1
	1					... .
	1		3 25	3 3 625		... .
			3 25	3 3 625
Первые два члена дают		результат			3 130 5			1	. Поскольку
Первые два члена дают		результат			3 130 5		15		. Поскольку
							15

сходящийся ряд знакочередующийся, то погрешность приближенного значения суммы меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов, т. е. третьего члена разложения равного 0,0002.

10.2. Вычислить cos18 с точностью до 0,001. Сколько для этого нужно взять членов ряда?

Решение. Приведем аргумент к радианной мере и подставим получаемое число вместо х в разложение косинуса (III), тогда получим :

cos18 cos		1		2		4		... 1 0,0493 0,0004 ...
	10		100	2!	10000		4!

Для обеспечения				требуемой			точности достаточно взять

первые два члена разложения cos18° 0,951, т.к. третий член по абсолютной величине меньше 0,001.

10.3. Вычислить ln1,1 с точностью 0,0001.
Решение. Представим логарифм в виде				ln(1 0,1) и
воспользуемся рядом (VI), заменяя х		на 0,1 :
ln 1 0,1 0,1	0,01 0,001		0,0001	...
	2	3	4
Четвертый член можно	отбросить,		т.к. по	абсолютной

величине он меньше требуемой точности, таким образом ln(1 0,1) 0,0953 .

10.4. Вычислить lg5 с точностью 0,001.

Решение. Перейдем от десятичного логарифма к

158

	1 x								x		2			x	4						x	2n
ln	1 x			2x 1					x					x		...					x		... .
ln	1 x			2x 1												...				2n 1			... .
	1 x							3					5							2n 1
				1		, получим 1 x												1				1			n 1
Полагая x				1														1				2n 1				и
Полагая x																										и
			2n 1											1 x				1				1			n
			2n 1				n 1							1 x				1				2n 1			n
																						2n 1
					ln					ln n 1 ln n
					ln					ln n 1 ln n
							n
		2						1				1					1					1
					1																			... .
		2n 1			1			3 2n 1 2									5	2n 1 4						... .
		2n 1						3 2n 1 2									5	2n 1 4

При n 1 получим разложение для ln 2
								2					1 1			1 1
				ln 2					1												... .
				ln 2					1				3 9			5 9			2		... .
								3					3 9			5 9

Ограничиваясь первыми тремя членами, можно найти ln 2 с тремя правильными десятичными знаками. Действительно, рассмотрим поправку, начиная с четвертого члена

	2	1 1			1 1		1 1										2						1	1
													...								1					...
	3		7 9	3	9 9	4	11 9			5			...			3 7 9				3	1		9	9	2	...
	3		7 9		9 9		11 9									3 7 9							9	9
											1				1				.
								12		7			92		1000				.
								12		7			92		1000
Отсюда ln 2 0,693. Полагая n = 4, получим
			ln 5 2ln 2				2					1 1			1 1							1,609 .
									1											...
							9		1			3 9		2	5 9			4		...
							9					3 9			5 9

Пользуясь вычисленными значениями ln 2 и ln 5 , находим ln10 ln 2 ln 5 2,302 . Таким образом, lg 5 1,6092,302 0,699 .

2.11. Интегрирование функций

Разложение подынтегральных функций в ряды и вычисление интегралов почленным интегрированием рядов

159

целесообразно в тех случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде с помощью известных приемов интегрирования.

11.1. Определить в виде рядов интегралы: а) sinx xdx ;

б) ex dx ;

в) x arctgxdx ;

г) x

ln(1 x)dx и

указать область

сходимости полученных рядов.

Решение. а) Раскладывая

sin x в ряд и деля на х, получим

1 n

...

... dx

3! 5!

2n 1 !

C x

... 1 n

x2n 1

...

3 3!

2n 1 2n 1 !

5 5!

Для определения области сходимости рядов воспользуемся

признаком Даламбера :

lim

x2n 3 (2n 1)(2n 1)!

x2 lim

2n 1

0 .

(2n 3)(2n 3)!x2n 1

(2n 3)2 (2n 2)

Отсюда следует, что ряд сходится при x .

б) Раскладывая ex

в ряд и деля на х, получим

1 1

n 1

...

... dx

C ln

...

2 2!

n n!

Для определения области сходимости воспользуемся

признаком Даламбера :

lim

xn 1n n!

lim

0 .

(n 1)(n 1)!xn

1)2

n (n

Так

как при

x 0

первый

член обращается в

бесконечность, то область сходимости полученного ряда будет

( x 0 и 0 x ) .

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.49 Mб3Учебное пособие 1609.pdf
#
30.04.2022307.86 Кб3Учебное пособие 161.pdf
#
30.04.20221.5 Mб4Учебное пособие 1610.pdf
#
30.04.20221.5 Mб3Учебное пособие 1611.pdf
#
30.04.20221.5 Mб13Учебное пособие 1612.pdf
#
30.04.20221.5 Mб8Учебное пособие 1613.pdf
#
30.04.20221.5 Mб5Учебное пособие 1614.pdf
#
30.04.20221.5 Mб2Учебное пособие 1615.pdf
#
30.04.20221.51 Mб2Учебное пособие 1616.pdf
#
30.04.20221.51 Mб15Учебное пособие 1617.pdf
#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf