Учебное пособие 1563

УДК 531.8 ББК 22.2

Составители

А. В. Черных, В. В. Черных

Рецензент:

А. Я. Зверев, д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Центрального аэрогидродинамического института им. Н. Е. Жуковского

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

Расчет составных конструкций : контрол. задания для самостоят. работы студ. дневной формы обучения строит. спец. / Воронеж. гос. арх.- строит. ун-т ; сост. : А. В. Черных, В. В. Черных. — Воронеж, 2011. — 16 с.

Приводится описание контрольных заданий для самостоятельной работы студентов, изучающих раздел «Статика» курса теоретической механики. Даются рекомендации по решению и пример расчета контрольного задания.

Предназначены для студентов дневной формы обучения строительных специальностей.

Ил. 15. Табл. 1. Библиогр.: 4 назв.

УДК 531.8 ББК 22.2

2

ВВЕДЕНИЕ

Расчет составной конструкции выполняется при изучении раздела «Статика» курса теоретической механики.

Вариант задания (номер рисунка и числовые данные из табл.) дает преподаватель. Выполненное задание оформляется на отдельных листах; листы нумеруются и сшиваются.

Иллюстрации выполняются карандашом или чернилами, желательно в цвете, все векторы обязательно подписываются. Рисунки могут располагаться как в самом тексте, так и на отдельных листах формата А4. Там, где это требуется, необходимо изобразить систему координат.

По ходу решения следует давать краткие пояснения.

На титульном листе указываются название задания, фамилия, инициалы студента, номер варианта, номер группы, дата.

При сдаче работы студент должен дать исчерпывающие пояснения по тексту, ясно изложить основные теоретические положения и ответить на контрольные вопросы по темам «Система сил, расположенных произвольно», «Момент силы относительно точки», «Определение реакций опор составных конструкций» [1, гл. 4, 5; 2, гл. 3, 5].

1. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

Во всех вариантах задания требуется найти реакции опор и внутренних связей составной рамы, представляющей собой плоскую ломаную линию, состоящую из трех прямолинейных участков.

2.ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

2.1.КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ:СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ

По определению, тело, которое может совершать из данного положения любые перемещения в пространстве, называется свободным (например, воздушный шар в воздухе). Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним, тела, называется несвободным. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, называют связью. В дальнейшем будем рассматривать связи, реализуемые какими-нибудь телами, и называть связями сами эти тела.

Примерами несвободных тел являются груз, лежащий на столе, дверь, подвешенная на петлях, и т. п. Связями в этих случаях будут: для груза — плоскость стола, не дающая грузу перемещаться по вертикали вниз; для двери — петли, не дающие двери отойти от косяка.

3

Тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение, которому препятствует связь, будет действовать на нее с некоторой силой, называемой силой давления на связь. Одновременно по закону о равенстве действия и противодействия связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно направленной силой. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи, или просто реакцией связи.

Значение реакции связи зависит от других действующих сил и наперед неизвестно (если никакие другие силы на тело не действуют, реакции равны нулю); для ее определения надо решить соответствующую задачу механики.

Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не даст перемещаться телу. Когда связь может препятствовать перемещениям тела по нескольким направлениям, направление реакции такой связи тоже наперед неизвестно и должно определяться в результате решения рассматриваемой задачи.

Правильное определение направлений реакций связей играет при решении задач механики очень важную роль. Рассмотрим подробнее, как направлены реакции некоторых основных связей.

2 . 1. 1. Гладкая плоскость (поверхность ) или оп о- ра . Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела можно в первом приближении пренебречь. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис. 1, а).

Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложе-

на в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. 1, б), то реакция направлена по нормали к другой поверхности.

Рис. 1

2 . 1. 2. Нить . Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис. 2) не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направле-

4

нию AM. Поэтому реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити к точке ее подвеса.

2 . 1. 3. Цилиндрический ша р - нир (подшипник ). Цилиндрический шарнир (или просто шарнир) осуществляет такое соединение двух тел, при котором одно тело может вращаться по отношению к другому вокруг общей оси, называемой осью шарнира (например, как две половины ножниц).

Если тело АВ прикреплено с помощью такого шарнира к неподвижной опоре D (рис. 3), то точка А тела не может при этом переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному оси

шарнира. Следовательно, реакция R цилиндриче-

ского шарнира может иметь любое направление

вплоскости, перпендикулярной оси шарнира, т. е.

вплоскости Аху. Для силы R в этом случае наперед неизвестны ни ее модуль R, ни направление (угол α).

2 . 1. 4. Невесомый стержень . Невесомым называют стержень, весом которого

по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь. Пусть для какого-нибудь находящегося в равновесии тела (конструкции) такой стержень, прикрепленный в точках А и В шарнирами, является связью (рис. 4, а). Тогда на стержень будут действовать только две силы, приложенные в точках А и В. При равновесии эти силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. вдоль АВ. Но тогда согласно закону о действии и противодействии стержень будет действовать на тело с силой, тоже направленной вдоль АВ. Следовательно, ре-

акция N невесомого шарнирно прикрепленного прямолинейного стержня направлена вдоль оси стержня.

Если связью является криволинейный невесомый стержень (рис. 4, б), то аналогичные рассуждения приведут к выводу, что его реакция тоже направлена вдоль прямой АВ, соединяющей шарниры А и В (на рис. 4, а направление реакции соответствует случаю, когда стержень сжат, а на рис. 4, б — когда растянут).

Рис. 4

5

2 . 1. 5. Жесткая заделка , или неподвижная заще м - ляющая опора (рис. 5, а). Рассматривая заделанный конец балки и стену как одно целое, жесткую заделку изображают так, как показано на рис. 5, б. В этом случае на балку в ее поперечном сечении действует со стороны заделанного конца система распределенных сил (реакций). Считая эти силы приведенными к центру А сечения, можно их заменить одной наперед неизвестной силой

RA , приложенной в этом центре, и парой с наперед неизвестным моментом mA

(рис. 5, а). Силу RA можно, в свою очередь, изобразить ее составляющими XA и

YA (рис. 5, б). Таким образом, для нахождения реакции жесткой заделки надо

определить три неизвестные наперед величины XA, YA, mA .

сколько твердых тел, касающихся друг друга или соединенных между собой посредством шарниров, стержней, нитей и т.д.

Связи, соединяющие части данной конструкции, называются внутренними (в отличие от внешних связей, присоединяющих конструкцию к другим телам, например, к поверхности земли).

2.2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

Такие задачи решаются путем рассмотрения равновесия конструкции в целом и какой-нибудь ее части в отдельности или рассмотрения равновесия конструкции по частям.

На основании принципа отвердевания система сил, действующих на такую конструкцию, должна удовлетворять условиям равновесия твердого тела.

Все силы, действующие на тела в данной системе тел, разделяются на внешние и внутренние.

Силы взаимодействия между телами системы называются внутренними по отношению к рассматриваемой системе тел. Внутренние силы согласно аксиоме о равенстве действия и противодействия попарно равны по модулю и противоположны по направлению.

6

Расчленяя систему на отдельные тела и рассматривая их равновесие, можно написать для каждого тела три независимых уравнения равновесия.

Варианты расчленения системы с двумя шарнирно-неподвижными опорами представлены на рис. 6.

Рис. 6. Схемы расчленения составных конструкций

Иногда при решении задач целесообразно уравнения равновесия составить для всей конструкции (см. рис. 6, а). В этом случае получим три уравнения, в которых будет четыре неизвестных; XA, XB,YA,YB . Затем, рассмотрев дополнительно условия равновесия ее части, получим еще три уравнения, содержащие два новых неизвестных XС ,YС .

Решая полученную систему, состоящую из шести уравнений с шестью неизвестными, найдем искомые величины. Например (см. рис. 6,а):

а) для всей конструкции:

MA FK 0,

MB FK 0,

FKX 0;

б) для левой (правой) части:

FKX 0,

7

FKY 0,

MC FK 0.

При составлении уравнений равновесия для отдельного тела системы целесообразно оси координат и точки, относительно которых будут вычисляться моменты сил, выбирать по возможности так, чтобы в каждое уравнение входила только одна неизвестная величина.

Если в задаче не требуется определять реакции некоторых связей, то надо пытаться сразу записать такие уравнения, в которые эти неизвестные реакции не будут входить. Например, для всей конструкции (см. рис. 6, б):

MA FK 0,

MB FK 0.

Из этих уравнений определяют YB и YA.

Для правой и левой частей составляют (для каждой в отдельности) уравнения моментов относительно точки С:

а) для левой части:

MC FK 0;

б) для правой части:

MC FK 0.

Находят XA и XB .

Для проверки решения записывают уравнения проекций на координатные оси X и Y для всей конструкции.

Порядок решения задач в случае плоской системы сил следующий:

1.К конструкции прикладывают все задаваемые силы;

2.Согласно принципу освобождаемости тел от связей отбрасывают мысленно внешние связи, заменяя их соответствующими реакциями;

3.Установив, что число неизвестных реакций связей превышает число уравнений равновесия, которые можно составить для полученной системы сил, конструкцию расчленяют, заменяя внутренние связи соответствующими реакциями;

4.Каждое из тел, входящих в состав конструкции, рассматривают как свободное, находящееся под действием задаваемых сил и реакций внешних и внутренних связей;

5.Сопоставляя общее число неизвестных величин и число всех уравнений равновесия сил, которые могут быть составлены после расчленения конструкции, устанавливают, является ли задача статически определимой;

6.Составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому телу;

7.Если задача статически определима, то полученную систему уравнений решают в наиболее удобной последовательности и определяют все неизвестные величины.

8

Некоторые задачи решаются проще, если вместо уравнений равновесия сил, приложенных к одному из тел, использовать уравнения равновесия сил, приложенных ко всей конструкции.

Если число неизвестных превышает число уравнений равновесия сил, т.е. задача статически неопределима, то из составленных уравнений можно определить некоторые из неизвестных сил.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

3. УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно (рис. 7—12), или свободно опираются друг о друга (рис. 13, 14).

Внешними связями, наложенными на конструкцию, в точке А являются или шарнир, или жесткая заделка; в точке В — или гладкая плоскость (рис. 7 и 8), или невесомый стержень BB' (рис. 9 и 10), или шарнир (рис. 11—14); в точке D или невесомый стержень DD' (рис. 7, 10), или шарнирная опора на катках (рис. 14).

На каждую конструкцию действуют пара сил с моментом Mи еще две силы. Эти силы, их направления и точки приложения указаны в табл. (например, в

условиях № 1 на конструкцию действуют сила F2 под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке L, сила F4 под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке Е, и нагрузка, распределенная на участке СК).

9

10