Учебное пособие 1395
.pdfl2 |
a |
11 |
, |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
li1l11 ai1, |
i 2,...,n, |
||||
l212 l222 |
a22, |
|
|||
li1l21 li2l22 |
ai2, |
i 3,...,n, |
|||
... |
|
|
|
|
|
lk12 |
lk22 |
... lkk2 akk, |
li1lk1 li2lk2 ... liklkk aik, |
i k 1,...,n. |
||||
Решая данную систему, последовательно находим: |
|||||
l11 |
|
|
, |
|
|
a11 |
|
|
|||
li1 ai1 l11 , |
i 2,...n, |
|
|||
l22 |
|
a22 l212 |
, |
|
|
li2 (ai2 li1l21) l22 , |
i 3,...,n, |
||||
... |
|
|
|
|
|
lkk |
|
akk lk12 |
lk22 ... lk,k2 |
1, |
|
lik |
(aik li1lk1 |
li2lk2 ... li,k 1lk,k 1) lkk , |
i k 1,...n, |
По сравнению с методом Гаусса метод квадратных корней, во-первых, требует выполнения меньшего числа арифметических операций, и во-вторых, из-за симметричности исходной матрицы коэффициентов позволяет хранить в памяти ЭВМ не всю матрицу, а только элементы, расположенные на главной диагонали и ниже ее.
Пример. Решить методом квадратных корней систему
6.25x1 |
|
x2 |
|
0.5x3 |
7.5, |
x1 |
|
5x2 |
2.12x3 |
8.68, |
|
0.5x1 |
2.12x2 |
|
3.6x3 |
0.24. |
Найдем коэффициенты матрицы L:
21
l11 |
a11 |
6.25 2.5, |
l21 |
a21 |
l11 1 2.5 0.4, |
||||||||||||||||
l |
|
l |
|
|
l |
0.5 |
2.5 0.2, |
l |
|
|
|
a |
|
l2 |
|
|
2.2, |
||||
31 |
31 |
22 |
22 |
5 0.16 |
|||||||||||||||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
||||||
l32 (a32 |
l31l21) |
l22 (2.12 0.2 ( 0.4)) 2.2 1, |
|
|
|||||||||||||||||
l33 |
|
a33 l312 l322 |
|
3.6 0.22 |
|
12 |
1.6. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Следовательно, матрица L имеет вид: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
L 0.4 |
|
|
|
|
0 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
1 |
|
1.6 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Запишем систему LY B с учетом найденной матрицы |
||||||||||||||||||
L и заданной матрицы B: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5y1 |
|
|
|
|
|
7.5, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0.4y1 2.2y2 |
|
|
|
|
8.68, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2y1 |
y2 |
1.6y3 |
0.24. |
|
|
||||||||
|
|
|
Решая ее, получим y1 3, |
|
|
y2 3.4, |
y3 1.6. |
||||||||||||||
|
|
|
Запишем систему LTX Y : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5x1 0.4x2 |
0.2x3 |
3, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2x2 |
|
x3 |
3.4, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6x3 1.6, |
|
|
|
|
|||||
находим решение x1 0.8, |
|
x2 2, |
|
x3 1. |
1.2.7. Метод прогонки
Еще одним методом, предназначенным для решения систем линейных уравнений с матрицами специального вида, является метод прогонки. Он эффективно применяется для решения систем с разреженной трехдиагональной матрицей вида
22
b1x1 c1x2 |
d1, |
a2x1 b2x2 c2x3 |
d2, |
. . . |
|
an 1xn 2 bn 1xn 1 cn 1xn dn 1, |
|
|
anxn 1 bnxn dn. |
На главной диагонали |
матрицы этой системы стоят |
элементы b1,b2,...,bn , над ней — элементы c1,c2,...,cn 1, под ней — элементы a2,a3,...,an . Остальные элементы матрицы
равны нулю.
Как и метод Гаусса, метод прогонки включает в себя два этапа: прямой ход и обратный ход.
Прямой ход метода прогонки состоит в вычислении
прогоночных коэффициентов Ai |
и Bi по следующим |
||||||||||
формулам: |
|
c1 |
|
|
|
|
d1 |
|
|
||
A |
, |
B |
, |
|
|||||||
|
|
||||||||||
1 |
|
b |
1 |
|
b |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
Ai |
ci |
, |
Bi |
di aiBi 1 |
, |
||||||
ei |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ei |
||||
ei aiAi 1 |
bi, |
i 2,3,...,n 1. |
Обратный ход состоит в последовательном вычислении неизвестных xi , начиная с xn :
xn dn anBn 1 ,
bn anAn 1
xi Aixi 1 Bi, |
i 1,...,n 1. |
По сравнению с методом Гаусса метод прогонки требует выполнения меньшего числа арифметических операций и меньшего объема памяти для хранения элементов матрицы.
Пример. Используя метод прогонки, решить систему уравнений
23
|
|
|
|
|
|
|
5x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 4.6x2 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 3.6x3 |
0.8x4 |
2.6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x3 4.4x4 |
7.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Прямой ход. Вычислим прогоночные коэффициенты: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
c1 |
|
|
1 |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
d1 |
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
b |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
a |
2 |
A |
b |
2 |
2 |
4.6 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
B |
|
|
|
3.3 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 a3A2 |
|
b3 |
2 |
3.6 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
c3 |
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d3 a3B2 |
|
|
|
|
|
2.6 2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
B3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
e3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||
|
Обратный ход: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
a |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.2 3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
4 |
|
4 |
3 |
|
|
|
5 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
A |
3 |
|
|
|
|
|
|
4.4 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 A3x4 |
B3 |
|
1 |
|
6 |
|
2 |
|
16 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
5 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 A2x3 |
B2 |
|
|
1 |
|
16 |
|
1 |
|
|
|
0.628, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
A x |
2 |
|
B |
|
|
1 |
0.628 |
2 |
|
|
0.5256. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
1.3. Итерационные методы решения систем линейных уравнений
1.3.1. Определение сходимости итерационных методов по норме матрицы коэффициентов
Норма матрицы – это некоторая скалярная числовая характеристика, которую ставят в соответствие матрице.
В задачах линейной алгебры наиболее часто используются три нормы:
1) первая норма квадратной матрицы A { ij}
A |
l |
max |
ij |
, |
|
|
j i |
|
|
2) бесконечная норма квадратной матрицы А
|
A |
|
i |
max |
ij |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i |
j |
||
|
|
|
|
|
3) евклидова норма квадратной матрицы А
A |
|
|
|
e |
|
|
ij |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
Для сходимости итерационных методов к единственно правильному решению необходимо, чтобы хотя бы для одной нормы выполнялось условие A 1.
1.3.2. Метод простой итерации
Метод простой итерации является наиболее простым и известным итерационным методом решения систем линейных уравнений.
Для того чтобы применить метод простой итерации к решению систем уравнений AX B, необходимо преобразовать ее к виду
X X .
25
Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в выделении диагональных элементов. Для этого из первого уравнения выразим x1, из второго - x2 и т.д. В результате получим систему
x1 |
12x2 |
13x3 |
... 1nxn |
1, |
|
x2 |
21x1 |
|
23x3 |
... 2nxn 2, |
|
|
|
|
... |
|
|
xn |
n1x1 |
n2x2 |
n3x3 |
... |
n , |
в которой на главной диагонали матрицы находятся нули, а остальные элементы вычисляются по формулам
|
ij aij /aii , i |
bi /aii , |
|
||
|
i, j 1,...,n, i j, |
aii |
0. |
|
|
Перед решением системы уравнений методом простой |
|||||
итерации |
выберем |
начальное |
приближение |
||
X(0) (x1(0),.x2(0),..,x(n0)). |
Подставляя |
его в |
правую часть |
системы уравнений, приведенной к виду, удобному для итераций, находим первое приближение
X(1) X(0) .
Подставляя найденное значение, получим следующее
приближение X(2) и т.д. В общем виде вычисления выполняются по формуле
X(k) X(k 1) ,
где k 1,2,... - номер итерации.
В развернутой форме записи эта формула выглядит так:
x(k 1) |
|
11 |
x(k) |
12 |
x |
(k) |
... |
1n |
x(k) |
, |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
n |
1 |
|||
x(2k 1) |
21x1(k) 22x2(k) ... 2nx(nk) 2, |
|||||||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
x(nk 1) |
n1x1(k) n2x(2k) ... nnx(nk) n. |
В качестве критерия окончания итерационного процесса часто используется критерий
26
X(k) X(k 1) |
, |
где - требуемая точность вычислений.
Пример. С помощью метода простой итерации найдем решение системы уравнений с точностью 0.001
4x1 |
x |
2 |
|
x3 4, |
2x1 |
6x |
2 |
|
x3 7, |
x1 2x2 3x3 0.
Приведем систему уравнений к виду, удобному для итераций. Для этого выразим неизвестные x1, x2 , x3 из
первого, второго и третьего уравнений, соответственно. Значения коэффициентов будет округлять до 3 знаков после
запятой: |
|
x1 |
0.25x2 0.25x3 1, |
x2 0.333x1 |
0.167x3 1.167, |
x3 0.333x1 0.667x2.
Вкачестве начального приближения возьмем вектор
свободных коэффициентов уравнений X(0) {1, 1.167, 0}. Подставим эти значения в уравнения для поиска следующего приближения:
x |
(1) |
|
0.25 1.167 0.25 0 1 |
1.292, |
|
1 |
|
|
|
x |
(1) |
0.333 1 |
0.167 0 1.167 0.834, |
|
|
2 |
|
|
|
x3(1) |
0.333 1 0.667 1.167 |
1.111. |
Далее подставим в систему уравнений вместо x1, x2 , |
x3 найденные значения x1(1) , x(21) , x(31) , получим значения неизвестных x1(2), x(22), x(32) и т.д. Для удобства занесем результаты вычислений в табл. 3.
27
Таблица 3
X |
|
|
|
Номер итерации |
|
|
|
|||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
x1 |
1.000 |
1.292 |
0.931 |
0.984 |
1.024 |
0.996 |
0.998 |
1.002 |
1.000 |
1.000 |
x2 |
1.167 |
0.834 |
0.921 |
1.021 |
0.993 |
0.993 |
1.002 |
1.000 |
1.000 |
1.000 |
x3 |
0.000 |
1.111 |
0.986 |
0.924 |
1.009 |
1.003 |
0.994 |
1.000 |
1.000 |
1.000 |
Как видно из таблицы, решение достаточной дочности получено на 9-й итерации, поскольку выполнилось условие xi(k) x(ik 1) для всех неизвестных xi .
1.3.3. Метод Гаусса-Зейделя
Метод Гаусса-Зейделя является модификацией метода простой итерации. Основной смысл модификации заключается
в том, что при вычислении очередных значений x(ik)
используются не x(ik 1) , а уже найденные на текущей итерации значения x(ik) .
В формализованном виде метод Гаусса-Зейделя записывается следующим образом:
x |
(k 1) |
|
|
x |
(k) |
|
12 |
x(k) ... |
x |
(k) |
, |
|
|
||||||
|
1 |
11 |
1 |
|
|
2 |
1n |
|
|
n |
|
1 |
|
|
|||||
x2(k 1) |
21x1(k 1) |
22x(2k) ... 2nx(nk) 2, |
|
|
|||||||||||||||
|
(k 1) |
|
|
|
(k 1) |
... |
|
|
|
(k 1) ... |
|
|
|
(k) |
|
|
|||
x |
|
|
x |
|
n2 |
x |
nn |
x |
n |
. |
|||||||||
|
n |
|
n1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
||||||
Таким образом, при вычислении |
x |
(k 1) используются |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2(k),...,x(nk) , |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
значения |
неизвестных |
|
|
|
|
|
полученные на |
предыдущей итерации. Для определения x(2k 1) берется уже найденное на текущей итерации значение x1(k 1) и неизвестные
28
x(3k),...,x(nk) , вычисленные на предыдущем шаге. Для
нахождения значения x(nk 1) подставляются уже полученные
величины x1(k 1),...,x(nk 11).
По сравнению с методом простой итерации метода Гаусса-Зейделя обладает более высокой скоростью сходимости, т.е. позволяет получить решение за меньшее число итераций.
Пример. Решить систему уравнений из предыдущего примера с помощью метода Гаусса-Зейделя.
Перепишем систему, уже приведенную к виду,
удобному для итераций: |
|
x1 |
0.25x2 0.25x3 1, |
x2 0.333x1 |
0.167x3 1.167, |
x3 0.333x1 0.667x2.
Вкачестве начального приближения будем использовать вектор свободных коэффициентов уравнений
X(0) {1, 1.167, 0}. Произведем |
вычисления |
неизвестных, |
|||
подставляя уже найденные на текущей итерации значения: |
|||||
x |
(1) |
|
0.25 1.167 0.25 0 1 |
1.292, |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
(1) |
0.333 1.292 |
0.167 0 1.167 0.736, |
||
|
2 |
|
|
|
|
x |
(1) |
|
0.333 1.292 0.667 0.736 |
|
0.921. |
|
3 |
|
|
|
|
Здесь при вычислении x1(1) использовались значения x(20) и x3(0) . Для нахождения x(21) подставили неизвестные x1(1) и x3(0) . При определении x3(1) брали величины x1(1) и x(21) .
Занесем данные вычислений в табл. 4.
29
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
Номер итерации |
|
|
|
||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
x1 |
1.000 |
1.292 |
0.954 |
1.004 |
0.999 |
1.000 |
1.000 |
|
x2 |
1.167 |
0.736 |
1.002 |
0.996 |
1.000 |
1.000 |
1.000 |
|
x3 |
0.000 |
0.921 |
0.986 |
0.999 |
1.000 |
1.000 |
1.000 |
|
Как видно из таблицы, решение с необходимой точностью получено уже на 6 итерации.
Контрольные вопросы
1.На какие группы делятся численные методы для решения систем линейных уравнений? Какие преимущества и недостатки есть у каждой группы методов?
2.В чем заключаются метод Крамера и метод обратной матрицы? Какие недостатки есть у этих методов?
3.Из каких этапов состоит метод Гаусса? В чем они заключаются? Какие модификации есть у метода Гаусса?
4.Как можно использовать метод Гаусса для вычисления определителей и обратных матриц?
5.Какие методы существуют для решения систем уравнений с матрицами специального вида?
6.Какие итерационные методы применяются для решения систем линейных уравнений? Чем они отличаются?
Задания для самостоятельной работы
Решить систему линейных уравнений с помощью метода Гаусса:
2x1 x2 0.1x3 3.7,
1.1.0.4x1 0.5x2 4x3 13.4,0.3x1 x2 x3 1.3.
30