Учебное пособие 1242
.pdf
Рассматривая произвольное поперечное сечение |
на каждом участке, |
используют метод сечений и записывают уравнения для поперечной силы и |
|
изгибающего момента. Согласно методу сечений поперечная сила Qy в сечении |
|
балки равна алгебраической сумме проекций на |
вертикальную ось, |
направленную так же, как и положительная сила Qy , всех |
внешних сил, |
действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения: |
|
n |
|
Qy PQi . |
(3.1) |
i 1 |
|
Рис. 3.2
Изгибающий момент M x в сечении балки численно равен алгебраической
сумме изгибающих моментов, создаваемых всеми внешними силами и моментами, действующих на отсеченную часть балки, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения
n |
|
M x mxi . |
(3.2) |
i 1 |
|
При этом используются следующие правила знаков для |
M x . Внешний |
момент m дает положительный изгибающий момент (положительное слагаемое в выражении для M x ), если этот момент направлен противоположно
положительному изгибающему моменту для рассматриваемой части балки (см.
рис. 3.2).
В некоторых учебниках, например для строителей, используется
противоположное правило знаков. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поперечная сила Qy , |
изгибающий |
момент M x и |
интенсивность |
|||||||||
распределенной нагрузки q |
связаны |
дифференциальными |
зависимостями |
|||||||||
Д.И.Журавского: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dQy |
q, |
dM |
x |
Qy , |
d 2 M |
x |
q, |
(3.3) |
|||
|
dz |
dz |
|
|
dz 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где z – координата, определяющая положение сечения балки.
21
При построении эпюр Qy , M x и их контроле следует учитывать
следствия, вытекающие из дифференциальных зависимостей (3.3) и непосредственно из метода сечений [1].
Построив эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, определяют положение опасного с точки зрения прочности сечения балки. Если балка имеет постоянное по ее длине сечение, то опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по абсолютной величине значения. В общем случае опасное сечение нужно определять как сечение с максимальным для всей балки нормальным напряжением.
Расчет на прочность балок обычно проводят, используя условие
прочности по нормальным напряжениям |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
max |
|
M x |
|
|
, |
(3.4) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
Wx |
|
|||||
где max M x - изгибающий момент в опасном сечении; |
Wx - осевой момент |
||||||
сопротивления сечения; - допустимое напряжение для материала балки. Исходя из условия (3.4) выполняются следующие виды расчета:
проверочный, проектный и расчет грузоподъемности.
Проверочный расчет заключается в непосредственной проверке выполнения условия (3.4).
Для выполнения проектного расчета (определения требуемых размеров сечения) из (3.4) получаем
Wx |
max |
|
M x |
|
|
. |
(3.5) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
Для определения грузоподъемности (определение допустимых значений сил или моментов, вызывающих изгиб балки формула (3.4) преобразуется к
виду |
|
M x Wx . |
(3.6) |
Определив из (3.6) максимальное значение |
М x , по эпюре изгибающих |
моментов устанавливают допустимые значения внешних сил или моментов, вызывающих изгиб балки, определяют размеры и характеристики сечения.
Задача №3.1
Для защемленной балки (рис. 3.3):
1.Вычертить в масштабе расчетную схему, указав числовые значения размеров и нагрузок.
2.Вычислить опорные реакции и проверить их.
3.Составить аналитические выражения изменения изгибающего момента M x и поперечной силы Qy .
4.Построить эпюры изгибающих моментов M x и поперечных сил Qy .
5.Руководствуясь эпюрой изгибающих моментов, показать приблизительный вид изогнутой оси балки.
22
6. По опасному сечению подобрать поперечное прямоугольное h x b сечение при допускаемом напряжении = 16 МПа.
Исходные данные: c / a 2.0; P / qa 0.6; m / qa2 |
|
0.2; a |
0.5 м; q 6 |
кН/м; qa 6*0.5= 3 кН; qa2 6*0.52= 1.5 кН*; h / b 1,5. |
|
|
|
Решение
I. Консольная (защемленная) балка
1.Расчетная схема балки приведена на рис. 3.3 а
2.Определение опорных реакций
Действие заделки |
на балку можно |
заменить реакциями |
RA и |
H A и |
|||
|
|
моментом M A . |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
равновесия |
балки |
имеют |
||
|
|
вид |
|
|
|
|
|
|
|
Pix 0 , H a 0 , Piy 0 , |
RA P qc 0 |
||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
M iA 0 , M A P( a c ) m cq* c / 2 0 . |
|||||
|
|
Отсюда следует |
|
|
|
||
|
|
RA P qc 0.6qa q2a 2.6qa , |
|
||||
|
|
M A P( a c ) m cq * c / 2 |
|
|
|
||
|
|
0.6qa( a 2a ) 0.2qa 2 2aq* 2a / 2 3.6qa 2 . |
|||||
|
|
Поскольку |
M A 0 |
действительное |
|||
|
|
направление M A |
противоположно направле- |
||||
|
|
нию, указанному на рис. 3.3 а. |
|
|
|||
|
|
Проверка |
|
|
|
|
|
|
|
M iC 0 , |
M A Pa m cq* c / 2 RAc |
||||
|
|
( 3.6 0.6 0.2 2* 2 / 2 2.6 * 2 )qa 2 0 . |
|||||
|
|
3. |
Составление |
аналитических |
|||
|
|
выражений изменения изгибающего момента |
|||||
|
|
M x и поперечной силы Qy на всех участках. |
|||||
Рис. 3.3 |
|
Балка имеет два участка. |
|
|
|||
|
1 участок 0 z1 |
a . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
Рассматриваем левую отсеченную часть балки. |
|
|
|
||||
Qy ( z1 ) P 0.6qa , |
M x ( z1 ) m Pz1 0.2qa2 0.6qaz1 ; |
|
|
|
|||
M x ( 0 ) 0.2 qa 2 , |
M x ( a ) (0.2-0.6) qa 2 = -0.4 qa 2 . |
|
|
|
|||
2 участок 0 z2 |
c 2a . |
|
|
|
|
|
|
Рассматриваем левую отсеченную часть балки. |
|
|
|
||||
Qy ( z2 ) P qz2 , Qy ( 0 ) P 0.6qa , |
Qy ( c ) 0.6qa q2a 2.6qa , |
|
|||||
M x ( z2 ) m P( z2 |
a ) 0,5qz22 0.2qa2 0.6qa( z2 a ) 0,5qz22 |
|
|
|
|||
M x ( 0 ) (0.2-0.6) qa 2 = -0.4 qa 2 , M x ( c ) (0.2-0.6*(1+2)-0.5*22) qa 2 = -3.6 qa 2 .
23
4. По полученным величинам Qy и M x строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 3.3 б, в). По эпюре M x определяем максимальный по модулю изгибающий момент в поперечных сечениях балки
M x max 3.6 qa 2 = 3.6*13.5= 5.4 кН*м.
5. Определение приблизительного вида изогнутой оси балки по эпюре изгибающих моментов.
Для этого можно использовать дифференциальное уравнение упругой линии балки
|
d 2 y |
|
|
|
M |
x |
. |
|
|
|
dz 2 |
|
EJ |
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для сечений, в которых |
M x |
0 изогнутая ось балки имеет выпуклость |
|||||||
вниз. Для сечений, в которых |
M x |
0 изогнутая ось балки имеет выпуклость |
|||||||
вверх. Для |
|
сечений, в которых |
M x 0 изогнутая ось балки имеет точку |
||||||
перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Изогнутая ось балки изображена на рис. 3.3 г.
6. Подбор поперечного прямоугольного сечения.
Условие прочности балки max |
|
M x мах |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
||||
Расчетная величина момента сопротивления балки |
||||||||||||||||
W M |
x мах |
/ R 5.4*106/16= 3375*103 мм3= 3375 см3. |
||||||||||||||
x |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для прямоугольного сечения Wx |
bh2 |
/ 6 . Поскольку h 1,5b , получаем |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wx b2,25b |
2 |
|
0,375b |
3 |
|
|
Wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 6 |
и b |
3 |
|
|
|
|
3 |
3375 / 0,375 9.655см , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,375 |
|
|
|
|
|
|
|||
h 1,5b 1.5*9.655= 14.482 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 3.2
(Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, подбор сечений заданного типа для двуопорной балки)
Для двуопорной балки (рис. 3.4 а) при условии и исходных данных задачи 3.1 подобрать двутавровое сечение при допускаемом напряжении = 160
МПа.
Решение
Определение опорных реакций Балка имеет шарнирно – подвижную опору А и шарнирно –
неподвижную опору В. Поскольку система сил, действующих на балку включает только вертикальные силы и опора В перемещается горизонтально, горизонтальные составляющие реакции в опорах А и В будут равны нулю,
Вертикальные составляющие реакций RA и RB определим из уравнений равновесия моментов сил относительно точек А и В:
M iA 0 , RB 6a P7a m 4aq* ( 2a 2a ) 0 .
24
M iB 0 , RA 6a Pa m 4aq* 4a / 2 0 .
или
7aRA Pa m 4aq* 2a ( 0.6 0.2 8 )qa 2 7.6qa 2 , 7aRB P7a m 4aq4a ( 0.6 * 7 0.2 16 )qa 2 20qa 2 .
Отсюда следует RA 7.6qa / 6 1.267qa , |
RB 20qa / 6 |
3.333qa . |
|
|
|
|
||||||||||
Проверка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Piy 0 , |
RA RB P 3.2aq ( 1.267 3.333 0,6 4 )qa 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Составление |
аналитических |
|||||||||
|
|
выражений |
|
|
|
|
|
|
изменения |
|||||||
|
|
изгибающего |
|
|
момента |
M x |
и |
|||||||||
|
|
поперечной |
силы |
Qy |
|
на |
всех |
|||||||||
|
|
участках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Балка имеет три участка. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
участок |
|
0 z1 a . |
|||||||
|
|
Рассматриваем левую отсеченную |
||||||||||||||
|
|
часть балки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qy ( z1 ) 0 , |
|||
|
|
M x ( z1 ) m 0,2qa2 ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
участок |
0 z2 2a . |
||||||||
|
|
Рассматриваем левую отсеченную |
||||||||||||||
|
|
часть балки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qy ( z2 ) RA |
1.267qa , |
||||||
|
|
M |
x |
( z |
2 |
) m R |
A |
z |
2 |
0,2qa2 |
1.267qaz |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
M x ( 0 ) -0,2 |
qa 2 , |
M x ( 2a ) (- |
||||||||
|
|
0.8+1.267*2) qa 2 = 2.333 qa 2 . |
|
|
||||||||||||
Рис. 3.4
3 участок 0 z3 4a . Рассматриваем левую отсеченную часть балки.
Qy ( z3 ) RA qz3 1.267qa qz3 ,
Qy ( 0 ) RA 1.267qa , Qy ( 4a ) 1.267qa q4a 2.733qa
M |
x |
( z |
3 |
) m R |
A |
( z |
3 |
2a ) 0,5qz 2 0,6qa2 1.267qa( z |
3 |
2a ) 0,5qz 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|||||
M x ( 0 ) 2.333 |
|
qa 2 , M x ( 4a ) (-0,2+1.267*6-0,5*42) qa 2 = -0,6 qa 2 . |
|||||||||||||
Поскольку поперечная сила на участке изменяет знак, в сечении с |
|||||||||||||||
координатой |
z2 z* , |
соответствующем Qy |
0 |
изгибающий момент достигает |
|||||||||||
экстремума. |
Из |
условия |
Qy 1.267 qz* |
0 |
определяем z* = 1.267 a . |
||||||||||
Экстремальное значение изгибающего момента |
|
|
|
||||||||||||
M |
x |
( z |
|
) 0,2qa2 |
1.267qa* ( 2a 1.267a ) 0,5q1.267 2 a2 |
|
3.136qa2 . |
||||||||
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
4 участок 0 z4 a .
Рассматриваем правую отсеченную часть балки.
Qy ( z4 ) P 0,6qa , M x ( z4 ) Pz4 0,6qaz3 ,
M x ( 0 ) 0 , M x ( a ) 0,6qa2 .
По полученным величинам Qy и M x строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 3.4 б, в). По эпюре M x определяем максимальный по модулю изгибающий момент в поперечных сечениях балки
M x max 3.136 qa 2 = 3.136*1.5=
= 4.703 кН*м.
Приблизительный вид изогнутой оси балки показан на рис. 3.4 г. Подбор двутаврового сечения.
Расчетная величина момента сопротивления балки
Wx M x мах / Ru 4.703*106/200= 0.0235*106 мм3= 23.5 см3.
По сортаменту (таблице параметров) двутавров определяем двутавр № 10 с моментом сопротивления Wx 39.7 см3.
26
Занятие №3
|
4. Общие сведения о зубчатых передачах |
|
4.1. Общие сведения |
|
Редуктором называют механизм, состоящий |
|
из зубчатых передач одного или нескольких типов, |
|
выполненный в виде отдельного агрегата и |
|
служащий для передачи мощности от приводного |
|
механизма или двигателя к исполнительному |
|
механизму. Кинематическая схема привода может |
|
включать, помимо редуктора, открытые зубчатые |
|
передачи, цепную или ременную передачу. На рис. |
|
4.1 приведена кинематическая схема привода |
|
ленточного транспортера, на которой обозначено: |
Рис. 4.1 |
1- приводной двигатель; 2,3- шкивы ременной |
|
|
|
передачи; 4- ремень; 5- корпус редуктора; 6- шестерня |
|
зубчатой передачи; 7- зубчатое колесо; 8,9- звездочки |
|
цепной передачи; 10цепь; 11барабан ленточного |
|
конвейера; 12подшипники барабана; 13конвейерная |
|
лента. |
Редукторы предназначены для понижения угловой скорости и повышения вращающего момента на выходном валу по сравнению с входным валом. Механизмы, выполненные в виде отдельных агрегатов и предназначенные для обратных целей, называют мультипликаторами.
Редуктор состоит из литого чугунного (или стального) или сварного стального корпуса, в котором помещают элементы передачи - зубчатые колеса, валы, подшипники и т. д. В отдельных случаях в корпусе редуктора размещают также устройства для смазки деталей редуктора и подшипников или устройства для охлаждения. Например, в корпусе редуктора большой мощности в объеме, занятом смазочным маслом, может располагаться радиатор в виде изогнутой медной трубки
(змеевик), по которому прокачивается охлаждающая вода.
Редуктор проектируется либо для привода определенной машины, либо по заданной нагрузке -моменту или мощности на выходном валу и передаточному числу без указания конкретного назначения. Второй случай характерен для серийно производимых редукторов.
Кинематические схемы наиболее распространенных типов редукторов
27
|
представлены на рис. 4.2 - 4.6. |
|
|||
|
На кинематических схемах круговой |
||||
|
или прямой стрелкой обозначен входной |
||||
|
(быстроходный) вал редуктора. |
|
|||
|
Редукторы |
классифицируют |
по |
||
|
следующим основным признакам: типу |
||||
|
передачи |
(зубчатые, |
червячные |
или |
|
Рис. 4.4 |
зубчато- |
червячные); |
числу ступеней |
||
(одноступенчатые, |
двухступенчатые и т. |
д.); |
типу |
зубчатых |
колес |
(цилиндрические, конические, коническо - цилиндрические и т. д.); относительному расположению валов редуктора в пространстве (горизонтальные, вертикальные); особенностям кинематической схемы (развернутая, соосная, с раздвоенной ступенью и т. д.).
4.2. Обзор основных типов редукторов
4.2.1. Одноступенчатые цилиндрические редукторы
Из редукторов рассматриваемого типа наиболее распространены горизонтальные (рис. 4.2). Вертикальный одноступенчатый редуктор показан на рис. 4.3. Как горизонтальные, так и вертикальные редукторы могут иметь колеса с прямыми, косыми или шевронными зубьями. Корпуса чаще выполняют литыми чугунными, реже - сварными стальными. При серийном производстве целесообразнее применять литые корпуса. Валы монтируют на подшипниках качения или скольжения. Последние обычно применяются в тяжелых редукторах, работающих в стационарных режимах.
Максимальное передаточное число одноступенчатого цилиндрического редуктора не превышает uмах = 12,5. Высота одноступенчатого редуктора с таким или близким к нему передаточным числом больше, чем двухступенчатого с тем же значением передаточного числа и (рис. 4.4). Поэтому редукторы с передаточными числами, близкими к максимальным, практически применяют редко, ограничиваясь, как правило, и < 6. Промышленностью выпускаются крупные одноступенчатые горизонтальные редукторы с и = 2,53 – 8 и межосевыми расстояниями aw = 300 мм 1000 мм.
Выбор горизонтальной или вертикальной схемы для всех типов редукторов определяется удобством общей компоновки привода, относительным расположением двигателя и входного вала приводимой в движение машины и т. д., ограничениями на габаритные размеры.
4.2.2. Одноступенчатые конические редукторы
Конические редукторы применяют для передачи движения между валами, оси которых пересекаются. Угол, под которым пересекаются оси валов
28
|
называется межосевым углом. Передачи с межосевыми |
||||
|
углами, отличными от 90°, встречаются редко. |
|
|||
|
Конические передачи сложнее цилиндрических в |
||||
|
изготовлении и монтаже. Из одноступенчатых конических |
||||
|
редукторов |
наиболее |
распространены |
редукторы, |
|
|
выполненные по схеме, показанной на рис. 4.5. Схема |
||||
|
редуктора с вертикально расположенным тихоходным валом |
||||
|
показана на рис. 4.6. Возможно исполнение редуктора с |
||||
Рис. 4.5 |
вертикально расположенным быстроходным валом; в этом |
||||
случае приводной двигатель, прикрепляется к редуктору с |
|||||
|
|||||
|
помощью фланца. |
|
|
||
|
Передаточное число |
одноступенчатых |
конических |
||
|
редукторов с прямозубыми колесами, как правило, не выше |
||||
|
трех и в редких случаях достигает 4. При использовании |
||||
|
косых или криволинейных зубьев передаточное число может |
||||
|
достигать 5 и в виде исключения 6,30. |
|
|||
|
Не рекомендуются проектировать редукторы с |
||||
|
коническими прямозубыми колесами с окружной |
||||
Рис. 4.6 |
скоростью, рассчитанной - по делительной |
окружности |
|||
среднего диаметра, выше 5 м/с. При более высоких скоростях |
|||||
|
|||||
рекомендуют применять конические колеса с круговыми зубьями, обеспечивающие более плавное зацепление и большую нагрузочную способность.
29
5. Кинематический расчет привода
5.1. Определение мощности электродвигателя
Выполнение проекта начинают с выбора электродвигателя по каталогу, для чего нужно определить требуемую для привода мощность. В общем случае проверяют условие отсутствия перегрева двигателя по методике, изложенной в курсе электропривода. Если привод предназначен для машин, эксплуатируемых при постоянной или нагрузке, мало отличающейся от постоянной, то такую проверку не делают.
Таблица 5.1
Средние значения коэффициентов полезного действия элементов механических передач
|
Тип элемента передачи |
|
|
КПД |
|
Закрытая |
зубчатая |
кинематическая |
пара |
с |
|
цилиндрическими прямозубыми, косозубыми и шевронными |
0,97 – 0,98 |
||||
колесами, |
|
|
|
|
0,96 – 0,97 |
с коническими колесами |
|
|
|
|
|
Открытая зубчатая эвольвентная кинематическая пара |
|
0,95 – 0,96 |
|||
Закрытая червячная кинематическая пара |
|
|
|
||
при числе заходов червяка |
|
|
|
|
|
z1= 1 |
|
|
|
|
0,70 – 0,75 |
z1= 2 |
|
|
|
|
0,80 – 0,85 |
z1= 4 |
|
|
|
|
0,80 – 0,95 |
Цепная передача (без учета опорных элементов): |
|
|
|||
закрытая |
|
|
|
|
0,96 – 0,97 |
открытая |
|
|
|
|
0,90 – 0,95 |
Ременная передача (без учета опорных элементов): |
|
|
|||
с плоским ремнем |
|
|
|
0,96 – 0,98 |
|
с клиновым и поликлиновым ремнем |
|
|
0,95 – 0,97 |
||
Подшипники качения (из расчета на одну пару) |
|
|
0,99 – 0.995 |
||
Муфты компенсирующие |
|
|
|
0,98 – 0,99 |
|
Требуемую мощность электродвигателя определяют на основании исходных данных для проектирования. Если указана мощность NР (кВт), передаваемая выходным валом редуктора, то потребная мощность электродвигателя
p / , |
(5.1) |
где - коэффициент полезного действия (КПД) привода, равный произведению
30