Учебное пособие 1242

2. Кручение круглых прямых стержней (валов)

Кручением называют деформирование, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только крутящие моменты М к (или М z ).

Кручение прямого стержня происходит при нагружении его внешними (скручивающими) моментами mzi (парами сил), плоскости действия которых

перпендикулярны к его продольной оси z . Стержень, работающий главным образом на кручение, принято называть валом.

При расчете валов в ряде случаев величины внешних (скручивающих)

Величины крутящего момента в поперечных сечениях вала определяют методом сечений. Согласно методу сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения:

касательные напряжения . Условие прочности при кручении вала круглого (сплошного или кольцевого) поперечного сечения имеет вид

11

где max наибольшее касательное напряжение, возникающее в сечении вала;

касательного напряжения; W р - полярный момент сопротивления сечения вала.

k d0 / D .

По условию прочности (2.3) выполняют три вида расчетов: проверочный, проектный и расчет грузоподъемности.

Проверочный расчет заключается в непосредственной проверке выполнения условия (2.3).

Для выполнения проектного расчета (определения требуемых размеров сечения) из (6.3) получаем

Для определения грузоподъемности (определение допустимых значений скручивающих моментов) формула (4.4) преобразуется к виду

Определив из (2.5) максимальное значение М к , по эпюре крутящих моментов устанавливают допустимые значения внешних (скручивающих) моментов.

При кручении вала угол поворота одного сечения относительно другого называется углом закручивания участка вала, расположенного между этими сечениями. Угол закручивания участка вала длиной l определяется по формуле

где M кi - крутящий момент на i - ом участке вала; li - длина i - ого участка вала;GJ p i - крутильная жесткость сечения i - ого участка вала; n – количество

участков вала, расположенных между сечениями, между которыми определяется угол закручивания.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины вала, называют относительным углом закручивания и рассчитывают по соотношению

(2.10)

Здесь и - допустимые значения относительного и абсолютного углов закручивания.

На основании условий (4.10) проводят те же три вида расчетов, что и на основании условия прочности (4.3).

Задача 2.1

(Построение эпюр крутящих моментов и максимальных касательных напряжений в сечениях статически определимого вала, определение диаметра

вала и углов закручивания его сечений)

К ведомым шкивам равномерно вращающегося стального вала постоянного кругового сечения (рис. 2.2) приложены заданные моменты M 1 , M 2 , M 3 и момент M . Требуется:

1.Определить момент M на ведущем шкиве.

2.Построить эпюру крутящих моментов.

Таблица 2.1

сечения из расчета на прочность и округлить его величину до целого значения в мм, кратного пяти.

4. Построить эпюру углов закручивания сечений вала относительно крайнего левого сечения, приняв модуль сдвига равным G 8,0*104 МПа. Данные взять из таблицы 2.1.

13

Величины моментов M i даны

в Н*м, размеры a, b c метрах. Символы k Mi задают направления

моментов M i : при k Mi равном 1 направление M i совпадает с

направлением, указанном на расчетной схеме (рис. 2.2), в противном случае направление M i

противоположно направлению, указанному на расчетной схеме (рис. 2.2). Направление момента M определяется из уравнения равновесия моментов сил, приложенных к валу.

Решение Определение момента М на

ведущем шкиве.

Для определения момента М используем уравнение равновесия моментов пар сил относительно продольной оси вала

направление момента М противоположно направлению, указанному на рис. 2.2.

Построение эпюры крутящего момента.

Составляем выражения для крутящего момента для каждого из трех участков, показанных на рис. 2.2. Границами участков являются сечения, в которых к валу приложены внешние сосредоточенные моменты, а также концевые сечения вала.

Вал имеет три участка для построения эпюр. Участок 1: 0 z1 a ;

M к 1 kM 1 M 1 -1*1= -1 кН*м.

Участок 2: 0 z2 b ; M к 2 kM 1 M 1 kM 2 M 2 -1*1-1*2= -3 кН*м.

Участок 3: 0 z3 c ; M к 3 kM 3 M 3 1*3= 3 кН*м.

14

На крайних участках вала крутящие моменты равны нулю, поскольку на концах вала отсутствуют внешние скручивающие моменты.

По полученным величинам крутящего момента строим эпюру крутящих моментов в координатах M к z в масштабе и определяем максимальный по модулю крутящий момент в поперечных сечениях вала M x мах = 3 кНм.

Определение диаметра вала.

Из анализа эпюры крутящего момента следует, что на втором участке

Принимаем d 60 мм.

Максимальные касательные напряжения в сечениях вала определяются по формуле M ki / Wp ,

Как видно, опасное напряженное состояние имеется на четвертом участке

вала.

Полярный момент инерции сечения вала

J pi d 4 / 32 604/32= 1272345 мм4.

Угол закручивания сечений вала на участке i определяется по формуле

Н*M2.

Распределение угла закручивания по участкам описывается функцией:

0 z1 a ;

1( z1 ) M к1 z1 0 , 1 = 1( 0 ) 0 , GJ p

15

2 1( a ) M к1 z1 M k1a / GJ p =-1000*1,5/101780= -1,4737*10-2.

GJ p

Участок 2: 0 z2 b ;

2 ( z2 ) 2 M к 2 z2 0 , 2 ( 0 ) 2 = -1,4737*10-2,

GJ p

3 2 ( b ) 2 M к 2 b 2 + M k 2 b / GJ p = -1,4737*10-2-

GJ p

- 3000*0,3/101780= -1,4737*10-2+0,8842*10-2= -2,3579*10-2.

Участок 3: 0 z3 b ;

3 ( z2 ) 3 M к3 z3 0 , 3 ( 0 ) 3 = -2,3579*10-2,

GJ p

4 3 ( c ) 3 M к3c 3 + M k 3 c / GJ p = -2,3579*10-2+

GJ p

+3000*2/101780= 3,5368*10-2.

По полученным величинам угла закручивания строится эпюра угла закручивания в координатах z (рис. 2.2).

Задача 2.2

(Определение диаметров сечений и деформаций ступенчатого стержня при кручении)

На рис. 2.3, изображен стальной ступенчатый вал имеющий круглое поперечное сечение и нагруженный четырьмя моментами

Τ1 6кН м , Τ2 5кН м , Τ3 2кН м , Τ1 1кН м .

вала определяем методом сечений. При этом следует рассматривать все участки вала.

1 участок, Ο z a .

16

Рассечём мысленно вал на две части поперечным сечением, отстоящем на расстоянии z от левого его конца (рис. 2.3 б), отбросим правую часть вала и её действие на левую часть вала заменим крутящим моментом Μ ΚI , направленным против хода часовой стрелки при взгляде на сечение со стороны внешней нормали к сечению. Составим уравнение равновесия для оставшейся левой части вала, а именно, приравняем нулю сумму моментов относительно оси Οz:

Рис. 2.3

ΜΖ 0 , Μ ΚI Τ0 0 , Μ ΚI Τ0 4кН м . Рассуждая аналогично, получим

2 участок, a z (a b), рис. 2.3, в

ΜΖ 0 , Μ ΚII Τ0 Τ1 0 , Μ ΚII Τ0 Τ1 2кН м . 3 участок, ( a b ) z (a b c) , рис. 4.3, г

ΜΖ 0 , Μ ΚIV Τ0 Τ1 Τ2 Τ3 0 , Μ ΚIV Τ0 Τ1 Τ2 Τ3 1кН м .

Таким образом, на каждом из участков крутящие моменты постоянны. Эпюра крутящих моментов Μ K приведена на рис. 2.3 е

в) Определение диаметров d1 , d2 вала из расчёта на прочность. Расчёт на прочность проводится по схеме

Эпюра напряжений max приведена на рис. 4.3 ж

г) Построение эпюры углов взаимного поворота сечений (углов закручивания) .

Так как на каждом из четырёх участков вала величины Μ Κ , G , J постоян-ны, то из формулы (2.7) следует; что угол линейно меняется по

длине вала. Угол поворота левого (закреплённого) поперечного сечения вала равен нулю; а углы поворота:

сечения О соответственно, равны

B,O B,A A,O -0,00124 рад, С,O C,B B,O -0,00393 рад,D,O D,C C,O -0,00483 рад.

Эпюра углов поворота сечений вала приведена на рис. 2.3, з.

19

Занятие №2 3. Определение внутренних силовых факторов в балках

силовой плоскости.

Если в поперечных сечениях балки действуют только изгибающие моменты, то изгиб называется чистым.

При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают поперечная сила Q y и изгибающий момент M x (рис. 3.1).

При решении задач, связанных с расчетом на прочность при изгибе, важно правильно определять поперечную силу Qy и изгибающий момент M x в

поперечном сечении балки и строить эпюры этих внутренних силовых факторов.

Обычно решение задачи начинается с определения опорных реакций (если в этом есть необходимость). Для этого необходимо составить уравнения равновесия. Для балки, нагруженной системой сил, лежащих в одной плоскости, в общем случае можно записать три уравнения равновесия. Определив реакции опор, обязательно делают проверку правильности их определения, поскольку ошибка в определении реакций обязательно обнаружится после построения эпюр Qy и M x . Для этого составляют

дополнительное уравнение равновесия. Если реакции определены верно, это уравнение удовлетворяется тождественно.

Далее разбивают балку на участки. Кроме концов балки границами участков являются: сечения, в которых:

приложены сосредоточенные силы; приложены сосредоточенные моменты; реакции опор;

происходит резкое изменение интенсивности распределенной нагрузки.

В пределах каждого участка аналитические выражения Qy и M x остаются неизменными.

20