Учебное пособие 1121

Для этого функцию f (x) продолжают с отрезка 0; l на отрезок l ; l и продолженную функцию разлагают в ряд Фурье на отрезке l ; l стандартным способом.

Ряд Фурье для функции f (x) называют ещё разложением f (x) в ряд Фу-

рье на отрезке 0; l .

Рис. 8. Продолжение функции на отрезок l; l

Продолжить функцию можно произвольно, однако разложение в ряд Фурье существенно упростится, если мы будем продолжать функцию чётным или нечётным способом. Тогда будем получать соответственно неполные ряды по косинусам или синусам.

Рис. 9. Продолжение функции чётным и нечётным способами

Аналитически продолжение задаётся следующим образом. Если черезf (x) обозначить продолженную функцию, то чётное продолжение будет задаваться соотношением

f (x) , 0 x l ,

f (x)

f ( x), l x 0;

под нечётным продолжением понимается функция f (x) , определяемая соотношением

71

f (x) , 0 x l ,

f (x)

f ( x), l x 0.

Заметим, что если f (x) есть чётное продолжение исходной функции, то коэффициенты Фурье для f (x) могут быть найдены по формулам (2.36), (2.37). Если же f (x) есть нечётное продолжение функции f (x) , то для на-

хождения коэффициентов Фурье функции f (x) можно воспользоваться

формулой (2.42). Во всех этих формулах фигурирует только исходная функция f (x) .

П р и м е р Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; ] функцию

В рассматриваемом случае l . Продолжим данную функцию на отрезок

72

дифференцируемой на отрезке [ ; ] , удовлетворяющей условию f ( )f ( ). Поэтому

Ко н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и з а д а н и я

1.Дайте определения функционального ряда и области сходимости такого ряда.

2.Дайте определение степенного ряда. Сформулируйте теорему Абеля и

следствие из неё. Будет ли сходиться степенной ряд вида an xn в точке

n 0

x 5 , если он сходится в точке x 7 ?

3.Дайте определения радиуса сходимости и интервала сходимости степенного ряда.

4.Приведите формулы, с помощью которых может быть найден радиус сходимости степенного ряда.

5. Дайте определение разложимости функция f (x) на интервале ( R; R) , R 0 в степенной ряд.

73

6.Сформулируйте свойства сумм степенных рядов.

7.Дайте определение ряда Маклорена функции f (x) .

8.Сформулируйте необходимое и достаточное условие разложимости функции f (x) в ряд Маклорена.

9.Выпишите ряды Маклорена для функций ex , sin x , cos x , (1 x) , 0,N, ln(1 x), arctg x и для каждой из этих функций укажите промежуток, на

котором она является суммой ряда.

10.Дайте определение ряда Фурье функции f (x) , интегрируемой на отрез-

ке[ l ;l] .

11.Дайте определение функции f (x) , кусочно-дифференцируемой на отрезке [a ;b]. Сформулируйте теорему о сходимости рядов Фурье.

12.Какой вид имеет ряд Фурье чётной интегрируемой функции? Нечётной функции? Как преобразуются формулы для коэффициентов Фурье чётной (нечётной) функции?

§3. Дифференциальные уравнения в частных производных

3.1.Основные понятия

Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных с

двумя независимыми переменными x, y называется уравнение вида

которое связывает неизвестную функцию u(x , y) , её аргументы и частные производные (по x и по y ). Здесь F заданная функция своих аргументов.

Предполагается, что равенство (3.1) выполняется тождественно в некоторой области E2 .

Аналогично определяется уравнение и для большего числа независимых переменных.

Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Наличие хотя бы одной частной производной обязательно. Решением дифференциального уравнения в частных производных порядка m называется произвольная функция u(x, y) , все частные производные которой до порядка m включи-

тельно непрерывны в области и которая при подстановке её в уравнение обращает его в тождество.

74

П р и м е р Решить дифференциальное уравнение в частных производных второго по-

рядка 2u 0.

x y

Для решения уравнения перепишем его в виде

u 0.y x

Обозначив ux v , получим

v 0.

y

Из последнего уравнения следует, что v (x), или ux (x), где(x) произвольная функция аргумента x. Поэтому

u(x, y) (x)dx ( y) (x) ( y) ,

где ( y) - произвольная функция переменной y . Таким образом, u(x, y) (x) ( y).

Отметим, что здесь (x) и ( y) - произвольные функции своих перемен-

ных, а полученное решение зависит от двух произвольных функций. Легко видеть, что если (x) и ( y) есть произвольные дважды непрерывно диф-

ференцируемые функции своих аргументов, то функция u(x, y) действительно является решением рассматриваемого уравнения.

3.2. Примеры дифференциальных уравнений в частных производных

Приведём некоторые примеры дифференциальных уравнений в частных производных, которые наиболее часто встречаются при описании физиче-

ских явлений и которые называются уравнениями математической физики.

Уравнения математической физики подразделяют на уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов (см. [3, с. 19]).

1. Простейшее уравнение гиперболического типа имеет вид

2u a2 2u , u u(x,t).

t2 x2

75

Здесь x пространственная переменная, t время. Это дифференциальное уравнение второго порядка называется одномерным волновым уравнением. Оно описывает колебательные процессы при поперечных колебаниях упругой струны, продольных колебаниях упругого стержня и т.д.

Рассматривают также уравнения вида

Это так называемые двумерные волновые уравнения, часто используемые в акустике.

Все волновые уравнения относятся к уравнениям в частных производных гиперболического типа.

2. Простейшее уравнение параболического типа имеет вид

u a2 2u , u u(x,t).

t x2

Такое дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением теплопроводности. Уравнения такого вида описывают процессы распространения тепла, фильтрацию в пористых средах, диффузию и т.д.

3. Простейшее уравнение эллиптического типа имеет вид

2u 2u 0, u u(x, y).

x2 y2

Оно описывает стационарные процессы при теплообмене, фильтрации, диффузии, кручении упругих стержней и т.д.

3.3. Вывод дифференциального уравнения колебаний струны

Рис. 10. Профиль колеблющейся упругой струны длины l в момент времени t

76

Рассмотрим натянутую упругую струну, закреплённую на концах (в точках x 0 и x l). Пусть в положении равновесия струна направлена по оси

Ox. Если её отклонить от положения равновесия, то она начнёт совершать

колебания.

Мы будем рассматривать только поперечные колебания струны, предполагая, что движение происходит в одной плоскости и что каждая точка струны совершает колебания по прямой, перпендикулярной равновесному поло-

жению (оси Ox ).

Обозначим через u x,t смещение точек струны в момент времени t от

функции u x,t с осью Ox . При этом x,t , т.е. это также будет функ-

Будем изучать малые колебания струны, т.е. будем считать, что угол мал, так что его квадратом и более высокими степенями можно пренебречь,

2 1.

Всилу сказанного будем считать, что

Запишем баланс сил для любого участка струны вдоль осей координат.

Для этого сначала найдём изменение длины участка M1M2 струны при её колебаниях (рис. 11)

77

Таким образом, можно сделать вывод, что при малых колебаниях струны

любой её участок сохраняет свою длину.

Ox имеет вид

T2 cos 2 T1 cos 1 0 T1 T2 T .

Таким образом, величина силы натяжения при малых колебаниях не изменяется в процессе колебаний.

Рис. 11. К выводу уравнений равновесия при колебаниях струны

Вычислим величину tg 2 tg 1 :

78

tg 2 tg 1 u x2 ,t u x1,t 2u x .

x x x2

Поэтому соотношение (3.2) можно записать в виде

T 2u x x 2u .

x2 t2

Разделив полученное равенство на x , получим соотношение

T2u 2u .

x2 t2

Уравнение (3.3) является уравнением свободных колебаний упругой струны. Если струна колеблется в какой-то среде или на неё действуют некоторые силы, например, вес, электромагнитные силы и т.п., то уравнение примет вид

2u a2 2u g x,t ,

t2 x2

где g x,t плотность внешних сил. Такое неоднородное уравнение назы-

вают уравнением вынужденных колебаний струны. В дальнейшем мы будем изучать только свободные колебания.

Уравнение колебаний струны описывает все процессы, происходящие при колебаниях, связывает колебания струн различной длины в различных условиях. В дальнейшем будем рассматривать только колебания ограниченной струны длиной l , закреплённой на концах.

Чтобы из множества всех решений уравнения с частными производными выбрать определённое решение, необходимо задать дополнительные условия, которым должно удовлетворять решение уравнения. Укажем такие условия для уравнения колебаний струны.

79

Будем предполагать, что в начальный момент времени t 0 заданы начальные смещения и скорости всех точек струны, т.е.

лированные условия называются начальными условиями для уравнения колебаний струны.

Условие закрепления струны на концах приводит к следующим соотно-

которые означают, что перемещения в концевых точках струны отсутствуют (равны нулю). Последние два условия – это так называемые краевые (граничные) условия. Заметим, что функции f (x) и F(x) , определённые на от-

резке [0;l], из-за условий закрепления струны на концах должны удовлетво-

рять условиям f (0) f (l) 0, F(0) F(l) 0 .

В общем случае концевые точки струны могут двигаться, и тогда гранич-

где 1 и 2 заданные функции времени.

Итак, решение задачи о свободных колебаниях упругой струны с закреплёнными концами сводится к решению уравнения (3.3) при начальных условиях (3.4) и граничных условиях (3.5).

3.4.Метод Фурье решения задачи о колебаниях ограниченной струны с закреплёнными концами

Найдём сначала решения уравнения (3.3), не равные тождественно нулю, удовлетворяющие однородным (т.е. нулевым) граничным условиям (3.5)

u(0,t) u(l,t) 0

80