Учебное пособие 1029

Гамма-функция Эйлера задается следующим интегра-

лом:

Свойства гамма-функции:

1)Г( + 1) = Г( );

2)Г(1) = 1;

3)Для всех натуральных чисел:

Г( + 1) = ∙ Г( ) = = ! ∙ Г(1) = !

Задание на практическ ую работ у

1. Рассчитать параметры риска для гамма-плотности вероятности наступления ущерба и внести результаты расчетов в следующую таблицу, образец которой приведен ниже в соответствии с формулами (1.1)-(1.18).

Таблица 3 Аналитические выражения риска и его параметров (для распределения гамма-плотности вероятности

наступления ущерба)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

19

2.Получить аналитический вид функции риска системы

сиспользованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты в со-

ответствии с формулами (1.19), (1.20), (1.21).

Контрольные вопросы :

1)Что характеризует коэффициент эксцесса?

2)Опишите алгоритм получения моды риска.

3)Приведите аналитический вид четвертого начального момента гамма-плотности вероятности.

20

Практическая работа №3 Расчет параметров риска и общего риска системы

при использовании усредненных и пиковых оценок риска для бета-распределения плотности вероятности наступления ущерба

Цель практической работы заключается в исследовании функции риска системы при бета-плотности вероятности наступления ущерба на ее компоненты.

Задачи лабораторной работы:

получить аналитический вид параметров риска компонента системы (начальные и центральные момент, коэффициенты асимметрии и эксцесса, моду и пик функции риска);

получить аналитический вид функции риска системы с использованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты.

Теоретиче ские сведения

Бета-распределение в теории вероятностей и статистике

— двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Пусть распределение случайной величины Х задается плотностью вероятности , имеющей вид:

где: , > 0 – произвольные фиксированные параметры,( , ) −бета-функция,[0; ∞) − носитель распределения.

21

В математике бета-функцией (бета-функцией, бетафункцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

( , ) = ∫01 −1(1 − ) −1 = Г( )Г( ).

Задание на практическ ую работ у

1. Рассчитать параметры риска для бета-плотности вероятности наступления ущерба и внести результаты расчетов в следующую таблицу, образец которой приведен ниже в соответствии с формулами (1.1)-(1.18).

Таблица 4 Аналитические выражения риска и его параметров

(для распределения бета-плотности вероятности наступления ущерба)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

22

2.Получить аналитический вид функции риска системы

сиспользованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты в со-

ответствии с формулами (1.19), (1.20), (1.21).

Контрольные вопросы :

1)Приведите аналитический вид второго центрального момента бета-плотности вероятности.

2)Опишите алгоритм получения пика риска.

3)Приведите аналитический вид третьего начального момента бета-плотности вероятности.

23

Практическая работа №4 Расчет параметров риска и общего риска системы

при использовании усредненных и пиковых оценок риска для распределения Вейбулла плотности вероятности наступления ущерба

Цель практической работы заключается в исследовании функции риска системы при Вейбулла плотности вероятности наступления ущерба на ее компоненты.

Задачи лабораторной работы:

получить аналитический вид параметров риска компонента системы (начальные и центральные момент, коэффициенты асимметрии и эксцесса, моду и пик функции риска);

получить аналитический вид функции риска системы с использованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты.

Теоретические сведения

Распределение Вейбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Пусть распределение случайной величины Х задается плотностью вероятности , имеющей вид:

0, < 0

где: > 0 – коэффициент масштаба, > 0,[0; ∞) − носитель распределения.

24

Задание на практическ ую работ у

1. Рассчитать параметры риска для Вейбулла плотности вероятности наступления ущерба и внести результаты расчетов в следующую таблицу, образец которой приведен ниже в соответствии с формулами (1.1)-(1.18).

Таблица 5 Аналитические выражения риска и его параметров

(для распределения Вейбулла плотности вероятности наступления ущерба)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

25

2.Получить аналитический вид функции риска системы

сиспользованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты в со-

ответствии с формулами (1.19), (1.20), (1.21).

Контрольные вопросы :

1)Приведите аналитический вид коэффициента асимметрии Вейбулла плотности вероятности.

2)Приведите аналитический вид первого начального момента Вейбулла плотности вероятности.

3)Приведите аналитический вид четвертого центрального момента Вейбулла плотности вероятности.

26

Практическая работа №5 Расчет параметров риска и общего риска системы

при использовании усредненных и пиковых оценок риска для распределения хи-квадрат плотности вероятности наступления ущерба

Цель практической работы заключается в исследовании функции риска системы при хи-квадрат плотности вероятности наступления ущерба на ее компоненты.

Задачи лабораторной работы:

получить аналитический вид параметров риска компонента системы (начальные и центральные момент, коэффициенты асимметрии и эксцесса, моду и пик функции риска);

получить аналитический вид функции риска системы с использованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты.

Теоретические сведения

Распределение хи-квадрат в теории вероятностей — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и его плотность имеет вид:

где: Г (12 , 2)– гамма-распределение, Г (2) −гамма-фукнция,

[0; ∞) − носитель распределения.

27

Задание на практическ ую работ у

1. Рассчитать параметры риска для хи-квадрат плотности вероятности наступления ущерба и внести результаты расчетов в следующую таблицу, образец которой приведен ниже в соответствии с формулами (1.1)-(1.18).

Таблица 6 Аналитические выражения риска и его параметров

(для распределения хи-квадрат плотности вероятности наступления ущерба)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

28