Учебное пособие 941

эллипс, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей Х и У. Ориентация эллипса зависит от ам-

плитуд a и b и разности фаз α. Найдем траектории в некоторых частных случаях:

1.Разность фаз α = 0, тогда

стояние от начала координат О равно = x2 + y2 .

11

где r – коэффициент сопротивления; k – коэффициент упругости, характеризующий возвращающую силу.

Уравнение (23) может быть приведено к стандартному виду, представляющему дифференциальное уравнение затухающих колебаний

частота колебаний системы. Решение уравнения (24) имеет вид

С ростом коэффициента затухания β период затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при критиче-

ском коэффициенте затухания βкр = ω0. При β ≥ βкр процесс носит апериодический характер. Выведенная из положения равновесия

система возвращается к нему, не совершая колебаний (рис.10).

Основные характеристики затухающих колебаний:

1) время релаксации τ - время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз:

отсюда τ = 1/β; 2) логарифмический декремент затухания λ, представляет

натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е.

где N – число колебаний, совершаемых за время релаксации; T- период колебаний.

3) добротность колебательной системы

где Е – энергия системы в момент времени t; ∆Е – убыль энергии за следующий период колебаний.

1.7. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. С учетом вынуждающей силы закон движения материальной точки запишется в виде

ренциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания.

где ƒ0 = F0/m.

Общее решение данного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

где ω = ω02 − β2 , А0 и α – произвольные постоянные.

Эти колебания достаточно быстро затухают, и вынужденные колебания будут определяться частным решением

14

Здесь А - амплитуда установившихся вынужденных колебаний. Она равна:

характеризует отставание вынужденных колебаний системы от колебаний вынуждающей силы.

Слагаемое (33) играет значительную роль на начальной стадии процесса установления колебаний. График вынужденных колебаний представлен на рис.11.

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, амплитуда и начальная фаза которых определяются выражениями (35)

и (36).

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некоторой частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной час-

тотой.

Чтобы определить резонансную частоту, нужно найти максимум функции (35) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это вы-

ражение по ω и приравняв производную нулю, получим усло-

Уравнение (37) имеет три решения: ω=0 и ωрез =±ω02 − 2β2 Решение, равное нулю, соответствует статическому состоянию

15

системы, отрицательное не имеет смысла и отбрасывается. Таким образом, для резонансной частоты получаем одно значение

Амплитуда колебаний при резонансе равна

Резонансные кривые при различных значениях коэффициента затухания представлены на рис.12. Чем меньше β, тем выше и правее лежит резонансный максимум и ближе резонансная частота к собственной частоте колебаний.

Если ω → 0, то все резонансные кривые приходят к одному и то-

му же значению ƒ0/ω0², так называемому стати-

ческому отклонению

(смещению). Используя

выражения для ƒ0 и ω0, получаем x0 = F0/k, т.е. смещение системы под действием силы F0.

Резонансная амплитуда связана с добротностью Q колебательной системы следующим соотношением:

т.е. амплитуда колебаний при резонансе в Q раз больше статического смещения. Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем острее и выше резонанс.

16

1.8.Примеры решения задач

1.Построить график гармонического колебания

x = A cos (ω t + α).

Приравнивая аргумент функции нулю, определяем момент

времени t1: ω t1 + α = 0. Отсюда t1 = -α/ω.

Строим график функции x = A cos ω t , сдвигая его влево по оси времени на t1 = -α/ω.

Аналогично строится функция x = A cos (ω t - α). В этом случае график функции x = A cos ω t сдвигается вправо по оси на t1 = α/ω. Полученные графики показаны на рисунке

2. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки amax = 0.493 м/с2, период колебаний Т = 2 с и смещение точки от положения рав-

новесия в начальный момент времени х0 =0.025 м.

Дано: amax = 0.493 м/с2, Т = 2 с, х0 =0.025 м.

Найти: A, ω, ϕ.

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид x

= A Sin(ωt + ϕ). Чтобы записать уравнение необходимо определить все величины, входящие в формулу. Зная п ериод, находим

циклическую частоту ω = 2π/ Т, ω = π 1/c. Для определения амплитуды выразим ускорение колеблющейся точки a = d2t/dx2 = -

A ω2 Sin(ωt + ϕ). Тогда amax = A ω2, откуда можно найти амплитуду A = amax / ω2 = 0.05 м. Для определения начальной фазы

используем смещение в момент времени t = 0: х0 = A Sinϕ. От-

17

сюда ϕ = arcsin (х0/ A) = arcsin (1/ 2) =π/6. Подставляя рассчитанные значения, получаем ответ:

x = 0.05 Sin(π t +π/6 ) (м).

примерный вид этой траектории.

Решение. Из уравнений двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний видно, что координаты точки удовлетворяют условиям

Для исключения параметра t поступим следующим образом. Из выражения для коорди-

С учетом условий (1) уравнение (2) определяет дугу параболы (см. рисунок), вдоль которой осуществляется периодическое движение точки.

4. Тонкое кольцо радиуса R совершает малые колебания относительно оси О. Найти их период.

Решение. Данную систему рассматриваем как один из примеров физического маятника, период малых колебаний которого вычисляется по формуле

.

Ось О колебаний перпендикулярна плоскости кольца. В этом случае момент инерции кольца относительно оси О и расстояние до центра масс соответственно равны:

18

Период малых колебаний

.

5. Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0.01. Определить: 1) время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз; 2) число полных колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.

Дано: ν = 50 Гц, λ = 0.01, A0/ А = 20.

Найти: t, N.

Решение. Амплитуда затухающих колебаний А = A0 e−βt , где A0 – амплитуда колебаний в момент t = 0; β - коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания λ = βТ (Т = 1/ν - период колебаний, ν - частота). Тогда β =λν и амплитуду

можно записать в виде A = A0 e−λνt , откуда искомое время t =

получаем: 1) t = 6 с; 2) N = 300.

19

2.УПРУГИЕ ВОЛНЫ

2.1.Основные понятия. Уравнение волны

Волной называется процесс распространения колебаний в непрерывной среде. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны.

Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Поверхность, являющаяся геометрическим местом точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, в поперечных – эти направления перпендикулярны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие деформации растяжения и сжатия, поперечные – в средах, в которых возможны упругие деформации сдвига. Т.е. продольные волны могут возникать в любой среде (газ, жидкость, твердое тело), поперечные –только в твердых телах.

График зависимости смещения частиц среды ξ от расстояния х до источника колебаний для фиксированного момента времени представлен на рис. 13.

Минимальное расстояние между частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина

20