Учебное пособие 745

4. Распределение Пуассона применяется для оценки надежности ремонтируемых изделий с простейшим потоком отказов.

где К – число отказов за время t;

λ – интенсивность потока отказов;

PK(t) – вероятность того, что за время t произойдет К отказов.

Пример:

Одновременно испытываются 20 машин.

В течение 500 часов непрерывной работы машин получены следующие данные.

За первый интервал работы ∆t1 = 100 часов вышло из строя 0 машин. За второй интервал работы ∆t2 = 100 часов вышло из строя 1 машина. За третий интервал работы ∆t3 = 100 часов вышло из строя 0 машин. За четвертый интервал работы ∆t4 = 100 часов вышло из строя 0 машин. За пятый интервал работы ∆t5 = 100 часов вышла из строя 1 машина. Определим вероятность безотказной работы машин в течение 500 часов.

Решение:

Надежность испытуемых машин за время t = 500 часов

Пример:

Наблюдалась работа трех экземпляров однотипной аппаратуры. За период наблюдений зафиксировано по первому экземпляру аппаратуры 6 отказов, по второму – 10, по третьему – 7. Наработка первого экземпляра – 4 800 часов, второго – 6 260 часов, третьего – 5 500 часов. Определить среднее время работы

аппаратуры Т0 .

Решение:

1. Суммарное время работы трех образцов аппаратуры t∑ = 4 800 + 6 260 + 5500 = 16 560 часов.

2.Суммарное количество отказов n = 6 + 10 + 7 = 23.

3.Средняя наработка на отказ, или среднее время работы между отказами

T 0 t 16 560 720 ч. n 23

11

Пример:

Время безотказной работы объекта подчиняется закону Вейбулла с параметрами В = 1,5; 0 10 4 1ч, время работы t = 100 часов. Определить вероят-

ность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t), интенсивность отказов λ(t), среднее время безотказной работы.

Решение:

Пример:

Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них, в течение времени t = 100 часов: P1(100) = 0,95; P2(100) = 0,97. Найти среднее время работы системы до первого отказа при экспоненциальном законе надежности.

Решение:

Вероятность безотказной работы системы

Рс(100) = Р1 (100) Р2 (100) = 0,95 0,97 = 0,92, Pс(100) e сt e 100 с 0,92,

откуда λс = 0,83 10-3 1/ч.

Среднее время безотказной работы

T0c 1c 0,83 110 3 1200 ч.

Упражнения

1. На испытания поставлены N = 500 изделий. За время t = 2 000 часов отказало n = 200 изделий. За последующие ∆t = 100 часов отказало еще ∆n = 100 изделий. Определить вероятность безотказной работы в течение 2 000, 2 100 часов, частоту отказов, интенсивность отказов.

12

2. На испытании находилось 1 000 неремонтируемых изделий. Число отказов ni фиксировалось через каждые 100 часов работы (∆t = 100 часов). Данные об отказах сведены в табл. 1.1.

Определить вероятность безотказной работы в течение 1 000 часов и среднее время безотказной работы. Общее число отказавших элементов – 241.

3.Приемник к началу наблюдений за отказами проработал 470 часов. К концу наблюдений время работы составило 18 500 часов. Зарегистрировано 15 отказов. Определить среднюю наработку на отказ.

4.В результате эксплуатации N = 100 ремонтируемых объектов получены следующие статистические данные об отказах (табл. 1.2):

ni – число отказов в интервале времени ∆t. Найти параметр потока отказови среднюю наработку на отказ T0 .

5. В результате испытаний 35 ремонтируемых объектов в течение t = 1 000 часов была получена интенсивность отказов 10 4 1ч. Закон рас-

пределения отказов – экспоненциальный. Время ремонта является случайной величиной, принимающей значение tВ1 = 3 часа с вероятностью Р1 = 0,6, значение tВ2 = 3,2 часа с вероятностью Р2 = 0,2 и значение tВ3 = 3,5 часа с вероятностью Р3 = 0,2. Найти вероятность безотказной работы в те-

чение 1 000 часов, среднее время работы между соседними отказами Т0 , среднее время восстановления ТВ , коэффициент готовности КГ .

6. Приемник к началу наблюдения за отказами проработал 458 часов. К концу наблюдения наработка составила 2783 часа. Всего зарегистриро-

вано 5 отказов. Среднее время ремонта ТВ составило 1,5 часа. Определить среднюю наработку на отказ Т0 и коэффициент готовности КГ .

7. При эксплуатации объекта в течение года его суммарная наработка составила Т0∑ = 7400 часов, суммарное время ремонтов – ТВ∑ = 480 часов,

13

суммарное время технического обслуживания – ТТО∑ = 880 часов. Определить коэффициент технического использования КТИ.

8. Имеется 5 комплектов однотипной аппаратуры, работающихв одинаковых условиях. Число отказов, промежутки времени исправной работы между соседними отказами, время восстановления по каждому комплекту приведены в табл. 1.3. Определить среднюю наработку на отказ и коэффициент готовности одного комплекта.

Таблица 1.3

9.Время работы устройства до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром λ = 2,5 · 10-5 1/ч. Определить количественные характеристики надежности устройства: вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t), наработку на отказ, если t = 2000 часов.

10.Время работы изделия до отказа подчинено закону распределения Релея. Вычислить количественные характеристики надежности изделия P(t), f(t), λ(t), T0 для t = 500 часов, если параметр распределения с = 700 часов.

11.Среднее число отказов ремонтируемого устройства за время t = 500 ча-

сов – ncp = 10. Какова вероятность того, что за время t = 100 часов работы возникнет2; 3 отказа?

12.Время безотказной работы объекта подчиняется закону Вейбулла (В =

1,7; 0 10 5 1ч ). Вычислить вероятность безотказной работы, частоту отка-

зов, интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, если время работы t = 500 часов.

2. Аналитические методы расчета надежности информационных систем

Под расчетом надежности понимают определение численных показателей по тем или иным числовым данным.

При аналитическом методе основные показатели надежности: вероятность безотказной работы P(t) и средняя наработка на отказ Т0, определяются по из-

14

вестным интенсивностям отказов элементов, входящих в данную информационную систему.

1. Элементы информационной системы соединены последовательно, если отказ любого из элементов приводит к отказу всей системы.

Пусть система состоит из n последовательно соединенных элементов. Тогда для безотказной работы системы необходимо, чтобы каждый элемент

работал безотказно. Так как отказы элементов взаимно независимы, то вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей элементов:

i 1

где Р1, Р2, …, Рn – вероятности безотказной работы элементов; Рi – вероятность безотказной работы i-го элемента;

Рс – вероятность безотказной работы системы.

Если функции надежности элементов подчиняются экспоненциальному закону распределения, а интенсивности отказов не зависят от времени, то

P1(t) e 1 t , P2 (t) e 2 t , ..., Pn (t) e n t ,

где λ1, λ2,…, λn – интенсивности отказов элементов. Тогда,

Надежность системы также подчиняется экспоненциальному закону распределения.

Pc (t) e c t ,

где λс = λ1 + λ2 + … + λn.

Среднее время безотказной работы системы Т0с = 1/λc.

Вероятность безотказной работы системы при последовательном (основном) соединении элементов всегда меньше, чем вероятность самого ненадежного элемента. Она существенно возрастает при увеличении надежности самого ненадежного элемента.

2. Пусть система состоит из n параллельно соединенных элементов и отказы элементов взаимно независимы. Отказ системы наступает только тогда, когда отказывают все входящие в систему элементы.

Тогда вероятность отказа системы равна произведению вероятностей отказов элементов.

где Qi(t) = 1 – Pi(t) – вероятность отказа i-го элемента в течение времени t. Безотказная работа системы есть событие, противоположное отказу.

Вероятность безотказной работы системы:

Если элементы системы имеют неодинаковую интенсивность отказов, то средняя наработка на отказ системы:

При увеличении числа параллельно соединенных элементов вероятность безотказной работы системы возрастает. На рис. 2.1 – 2.3 изображены системы :

с основным (последовательным) соединением элементов;

16

с параллельным (резервным) соединением элементов;

P1(t)

P2(t)

Pn(t)

Рис. 2.2

со смешанным соединением элементов.

P2(t)

Рис. 2.3

При смешанном соединении сначала по соответствующим формулам находят надежность цепи из К последовательно соединенных элементов, затем надежность системы из m параллельных ветвей. При определении вероятности безотказной работы системы с произвольным соединением элементов используется метод минимальных путей. Минимальный путь – это такой минимальный набор работоспособных элементов, исключение любого из которых (т.е. отказ) переводит систему из состояния работоспособности в состояние отказа. У системы с произвольной структурой может быть несколько минимальных путей. Последовательное соединение из n элементов имеет один минимальный путь. Параллельное соединение из n элементов имеет n минимальных путей, проходящих через каждый элемент.

На рис. 2.4 изображена мостовая схема, где P1, P2, P3, P4, P5 – вероятности безотказной работы элементов схемы.

Рис. 2.4

17

Схема рис. 2.4 преобразуется в схему рис. 2.5, состоящую из четырех параллельно включенных ветвей.

Вероятность безотказной работы системы (рис. 2.5)

Pc 1 (1 P1 P4 )(1 P1 P3 P5 ) (1 P2 P5 )(1 P2 P3 P4 ).

Повышение надежности систем путем резервирования

Один из самых распространенных путей повышения надежности – путь резервирования. Резервирование – это способ повышения надежности, состоящий в том, что в систему вводятся избыточные элементы, узлы, агрегаты, которые включаются в работу по мере выхода из рабочего состояния основных элементов, узлов, агрегатов.

Резервирование приводит к увеличению массы, габаритов, стоимости аппаратуры. Присоединение резервированных элементов к основным выполняется параллельно.

Различают три метода резервирования.

1. Общее, предусматривающее резервирование объекта в целом. На рис. 2.6 изображена схема общего резервирования.

резервные 1

i

m

Рис. 2.6

18

2. Раздельное, предусматривающее резервирование отдельных элементов, их групп или отдельных узлов. На рис. 2.7 показана схема раздельного резервирования.

0

1 I m

Рис. 2.7

3. Смешанное, предусматривающее совмещение различных методов резервирования.

Различают однократное (дублирование) и многократное резервирование. Резервирование может быть с ремонтом любого основного или резервного

элемента в процессе эксплуатации, т.е. резервирование с восстановлением и без ремонта элементов, т.е. резервирование без восстановления.

Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием

При экспоненциальном законе распределения надежности и одинаковых элементах, когда

P1 e 1 t ,

общ

19

Среднее время безотказной работы при общем резервировании и одинаковой надежности параллельновключенных цепей

В случае раздельного поэлементного резервирования эквивалентная вероятностьбезотказнойработыгруппыпараллельносоединенныхэлементовимеетвид:

m 1

P'(t) 1 (1 Pij ),

i 1

где Рij – надежность i-го элемента в j-й цепи.

Вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей последовательно соединенных эквивалентных элементов:

Если надежность всех элементов одинакова и подчиняется экспоненциальному закону распределения, то

Среднее время безотказной работы при раздельном резервировании и одинаковых элементах в системе

где i i 11. m

По заданной вероятности безотказной работы (ВБР) системы можно определить требуемую вероятность отдельного элемента.

Пример:

Система состоит из n = 50 последовательно включенных одинаковых элементов. Найти требуемую вероятность безотказной работы отдельного элемента Pэ(t), если ВБР системы известна и равна Pc(t) = 0,97.

Решение: