Учебное пособие 659

Формула (3.10) называется формулой Стокса.

Если сторона поверхности выбрана, то направление обхода контура L берется положительным, т.е. таким, что при обходе контура по выбранной стороне поверхности G она остается слева (рис. 3.11).

то криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой L равен нулю:

Pdx Qdy Rdz 0, L

L

Как и в случае плоской кривой AB, условия (3.11) являются необходимыми и достаточными для независимости

криволинейного интеграла 2 рода Pdx Qdy Rdz от пути

AB

интегрирования. При их выполнении подынтегральное

Доказательство аналогично плоскому случаю.

39

Контрольные вопросы для самопроверки

гладкой, кусочно-гладкой?

3.Напишите параметрические уравнения плоской кривой, заданной: а) в декартовых координатах; б) в полярных координатах.

4.Дайте определение функции: а) непрерывной вдоль кривой; б) кусочно-непрерывной вдоль кривой.

5.Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла 1 рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла 1 рода.

6.Зависит ли от направления обхода: а) криволинейный интеграл 1 рода; б) какая-нибудь его интегральная сумма?

7.Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла 1 рода и вычисления его с помощью определенного интеграла.

8.Какие физические приложения криволинейного интеграла 1 рода вы знаете?

9.Для криволинейного интеграла 1 рода сформулируйте: а) свойство линейности и аддитивности; б) теорему об оценке модуля интеграла; в) теорему о формуле среднего значения.

10.Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла 2 рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла 2 рода.

11.Зависит ли от направления обхода: а) криволинейный интеграл 2 рода; б) какая-нибудь его интегральная сумма?

12.Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла 2 рода и сведения его к определенному интегралу. Напишите соответствующие формулы для:

а) плоской кривой, заданной параметрически; в декартовых координатах; б) пространственной кривой, заданной параметрически.

13.Какое направление обхода замкнутой кривой принимают за положительное?

14.Каков смысл обозначения Pdx Qdy ?

L

15.Сформулируйте теорему о связи между криволинейными интегралами первого и второго рода.

16.Приведите примеры физических приложений криволинейных интегралов 2 рода.

17.Напишите формулу для вычисления работы силы при перемещении материальной точки вдоль кривой.

18.Сформулируйте свойства линейности и аддитивности криволинейных интегралов 2 рода.

19.Назовите способы задания поверхности. Для каждого способа приведите пример.

20.Напишите уравнения поверхности в параметрическом и

ввекторном виде. Какие требования накладываются на параметрические уравнения поверхности?

21.Какая поверхность называется простой? Что называют границей или краем поверхности? Является ли простой поверхностью часть эллиптического параболоида

x u, y v, z u2 v2 , (u, v) g (u, v) : 0 u2 v2 a2 ?

Что является границей этой поверхности?

22.Дайте определение поверхности: а) двусторонней; б) односторонней; в) ориентируемой. Приведите примеры двусторонних поверхностей и односторонней поверхности. Каким характеристическим свойством обладает двусторонняя поверхность; односторонняя поверхность?

23.Дайте определение поверхностного интеграла первого

ивторого рода.

24.Сформулируйте теорему о существовании поверхностного интеграла первого рода и сведении его к

двойному интегралу для поверхности, заданной параметрически.

25.Напишите формулу вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла для явно заданной поверхности.

26.Сформулируйте достаточные условия существования поверхностного интеграла второго рода и напишите формулы сведения его к двойному интегралу в случае, если поверхность задана: а) параметрически; б) явно.

27.Выразите поверхностный интеграл второго рода

xdydz ydzdx zdxdy ,

F

через сумму двойных интегралов, где F—сфера х2 + у2 + z2 =R2

ип(М) = {cos α, cos β, cos γ} — ее внешняя нормаль.

28.Зависят ли от ориентации поверхности:

а) поверхностный интеграл первого рода и его интегральные суммы; б) поверхностный интеграл второго рода?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бугров Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1989.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т.2.

3.Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопрсах и задачах / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев. М.:

Высш. шк., 1988.

4.Петрушко И.М. Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения / И.М. Петрушко, Н.В. Гулевич, Л.А. Кузнецов. Спб.: Изд-во «Лань», 2006.

42