Учебное пособие 659

Чтобы найти функцию u(x, y) , можно выбрать в качестве

пути интегрирования наиболее простой, например, ACB , где AC и CB – отрезки, параллельные осям координат (рис. 2.7). Тогда

u(x, y) Pdx Qdy Pdx Qdy c

Поскольку

AC : y y0 , dy 0, x0 x (x const) ; CB : x const , dx 0, y0 y ( y const) , то

x2 y y2 c. 19

уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y) , т.е. P(x, y)dx Q(x, y)dy du .

Из определения следует, что общий интеграл такого дифференциального уравнения записывается в виде u(x, y) c .

20

Используем формулу (2.6) для нахождения функции u(x, y) . Таким образом, для уравнения в полных

дифференциалах решение может быть получено в виде

3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Опорный конспект №3

1) Поверхность в R3

G : z z(x, y), M (x, y) R2 , z(x, y), zx , zy - непрерывны в

D G – гладкая поверхность, являющаяся двусторонней.

т. M

21

2) ПИ 1р

2.1. Определение ПИ 1р

3) ПИ 2р

3.1. Определение ПИ 2р

Pdydz Qdxdz Rdydx

G

lim P(Mi ) Siy z Q(M i ) Six z R(M i ) Six y .

0 i 1n

Связь ПИ Iр и ПИ IIр:

Pdydz Qdxdz Rdydx (P cos Q cos R cos )d .

3.2. Вычисление ПИ 2р

Dx y прX OY G, Dx z прX O Z G, Dy z прY O Z G ,

G : z z(x, y) y y(x, z) x x( y, z)

Pdydz Qdxdz Rdxdy P(x( y, z), y, z)dydz

5) Формула Стокса

P(M ),Q(M ), R(M ) -

непрерывные вместе с частными производными на ориентированной поверхности G, L G - гладкая

24

3.1. Поверхности в R3

Пусть поверхность G задана уравнением F(x, y, z) 0 . Можно показать, что если в окрестности т. M0 (x0 , y0 , z0 ) G частные производные Fx , Fy , Fz непрерывны и одновременно

поверхности, в них касательная плоскость может не существовать. Например, поверхность x2 y2 z2 R2 (сфера)

не имеет особых точек. Ее можно задать и параметрическими уравнениями

x R cos sin , y R sin sin , z cos (рис. 3.1).

В общем случае поверхность G может быть задана параметрическими уравнениями

x (u, ) , y (u, ) , z (u, ) , (u, ) D R2 ,

или векторным уравнением

r r(u, ) , , .

Если (u, ) , (u, ) , (u, ) Рис. 3.1

непрерывны в D со своими частными

производными ( D предполагается кусочно-гладкой) и поверхность не имеет особых точек, т.е. в D

то поверхность является гладкой. Отметим, что в случае замкнутой поверхности (например, сферической) при параметрическом задании неизбежно наличие точек, получающихся при нескольких значениях параметров (u, ) – кратных точек поверхности.

Точки, соответствующие одному набору значений параметров, называются простыми.

Частным случаем параметрического задания G является

частными производными, то G - гладкая поверхность.

Пусть G - гладкая поверхность. Тогда в каждой т. M G можно выбрать одно из двух возможных направлений нормали, зафиксировав определенный единичный вектор нормали:

n(M ) {cos (M ),cos (M ),cos (M )},

возвращении в т. M совпадает с исходным. Если после обхода L направление n(M ) противоположно исходному,

то поверхность G называется односторонней.

Например, сфера – двусторонняя поверхность. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса (рис. 3.3, а), который получается склейкой сторон AB и CD прямоугольника ABCD так, что т. A совмещается с т. D , а т. B - с т. C (рис. 3.3, б).

Будем рассматривать только двусторонние поверхности, причем выбирать определенную их сторону, т.е. задавать ориентацию поверхности (см. рис. 3.2). В каждой точке такой

поверхности n(M ) зависит от т. M непрерывно.

Рис. 3.4

Введем понятие интеграла соответствующего формуле (3.1). Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в

пространственной области , которой принадлежит гладкая поверхность G . Проведем для G описанные выше построения и составим

max diam Gi 0 , если он существует, конечен и не зависит как от способа разделения G на Gi , так и от выбора промежуточных т. Mi Gi , т.е.

поверхности G Rn .

ПИ 1р обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл, так как его определение аналогично определению двойного интеграла. Из формулы (3.1) и определения ПИ 1р следует, что масса m поверхности G

интеграла. Пусть гладкая поверхность G задана уравнением z z(x, y) , (x, y) D , D прXOY G . Воспользуемся определением ПИ 1р, причем в интегральной сумме (3.2) выразим i через Si - площадь Di прX OY G (рис. 3.5).

Рис. 3.5

По формуле площади поверхности и теореме о среднем для двойного интеграла

Pi ( i , i ) Di . Выберем промежуточные т. Mi такими, что Pi прX O Y M i , тогда

30

плоскости, то получаются формулы, аналогичные (3.4). Из формулы (3.4) и теоремы существования двойного интеграла

3.3.Поверхностный интеграл II рода

3.3.1.Поток жидкости через поверхность. Определение ПИ 2р

Решим задачу о потоке жидкости. Пусть через двустороннюю поверхность G R3 стационарно (независимо

Найти поток жидкости через поверхность G , т.е. количество жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени.

Разобьем G на n частей Gi с площадями i , выберем M ( i , i , i ) Gi (рис. 3.7) и будем считать, что в пределахGi скорость постоянна и равна ( i , i , i ) .

Рис. 3.7

32

R(Mi ) cos (Mi )) i

Введем понятие интеграла, соответствующего формуле (3.5).

Рис. 3.8

O: Поверхностным интегралом II рода от функции P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) по

двусторонней ориентированной области G называется предел интегральной суммы (3.6) при0 , если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения G на части Gi и от выбора

т. Mi Gi .

Так как при выполнении условий существования поверхностного интеграла можно считать

то ПИ 2р обозначается

P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dydx .

G

В силу справедливости равенств

Из формул (3.5), (3.7) следует, что поток жидкости через поверхность G записывается поверхностным интегралом

ПG Pdydz Qdxdz Rdydx v nd .

G G

Из (3.7) следует, что ПИ 2р имеет такие же свойства, как и ПИ 1р, но в отличие от последнего меняет знак на противоположный при переориентации поверхности G.

3.3.2. Вычисление ПИ 2р

Вычисление ПИ 2р сводится к вычислению двойных интегралов. Если Dx y прXOY G, Dx z прXOZ G, Dy z прYOZ G , а двусторонняя поверхность такова, что ее уравнение можно записать как

z z(x, y) y y(x, z) x( y, z) ,

то

P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy

Рис. 3.9

: острый при x > 0,тупой при х < 0,

Вычисление ПИ 2р можно провести также по формулам

(3.7), (3.4).

3.4. Формула Остроградского – Гаусса

Формула Остроградского – Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой ориентированной поверхности G и тройным интегралом по пространственной области , G , и обобщает формулу Грина на пространственный случай.

Т: Пусть функции

P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)

непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области , G - гладкая ориентированная поверхность. Тогда справедлива формула

причем поверхностный интеграл берется по внешней стороне G. Формула (3.9) и носит название формулы Остроградского – Гаусса.

Предположим, что - простая область, т.е. G пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках (рис. 3.10). Если не является простой, то ее необходимо разбить на конечное число простых областей. Пусть z z1 (x, y), z z2 (x, y) - уравнения нижней G1

и верхней G2 поверхностей G, D прXOY G . Тогда, используя

(3.8), имеем

37