Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 648

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

512.25 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

266 - 2013

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы

по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность»,

профили «Защитавчрезвычайныхситуациях», «Безопасность жизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды», очной формы обучения

Воронеж 2013

Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев

УДК 681.3.06

Элементы теории поля: методические указания для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая


математика"	для	студентов	направления		280700.62
«Техносферная		безопасность», профили		«Защита		в

чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды», очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, 2013. 45 с.

Настоящие методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" при изучении в 3 семестре раздела «Теория поля» для студентов специальностей ЧС, БЖ и ЗС. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решения типовых примеров.

Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и

содержатся в файле Vmfmm_TeorPoLe1.pdf.

Ил. 14. Библиогр.: 8 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2013

1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ

1°. Уравнение z f (x, y) в каждой точке (x, y) некоторой

области определяет значение z, которое называется полем скаляра z. Линией уровня функции z f (x, y) называется линия

f (x, y) C на плоскости xOy , в точках которой значение функции остается постоянным. Вдоль каждой из линий f (x, y) Ci (i 1, 2,...) , где Ci - постоянные, скаляр z остается постоянным и меняется только при переходе точки (x, y) с одной линии на

другую. Эти линии называются изолиниями (изобарами, изотермами и т. д.).

2°. Уравнение u F (x, y, z) в каждой точке (x, y, z) неко-

торого трехмерного пространства определяет поле скаляра и. Поверхностью уровня функции u F (x, y, z) называется повер-

хность F (x, y, z) C , в точках которой значение функции остается постоянным. Поверхности уровней или изоповерхности имеют вид F (x, y, z) Ci (i 1, 2,...) и на каждой из них скаляр

u остается постоянным.
Если скалярная функция		точки		задана выражением
u(M ) u(x , x ,..., x ) u(r ) где		r	-	радиус-вектор точки
1 2	n

M (x1, x2 ,..., xn ) , то в пространстве п измерений ей соответствует семейство гиперповерхностей уровня u(x1, x2 ,..., xn ) Ci .

1.1. Построить линии уровней функции (при z 0,1, 2 ):

а) z	x2	y2		1 б) z x y2
а) z		y2		1 б) z x y2
4
Решение. а) Полагая							z 0,1, 2 , запишем уравнения соот-
ветствующих линий уровня:
			x2		y2	1,	x2	y2	2 ,	x2	y2	3 .
		4			1	1,	4	1	2 ,	4	1	3 .
		4			1		4	1		4	1

На плоскости Oxy эти линии уровней представляют се-

мейство эллипсов (рис. 1), симметричных относительно координатных осей.

Рис. 1

б) Полагая z 0,1, 2 , получим уравнения линий уровня: y2 x , y2 x 1, y2 x 2 . На плоскости Oxy эти линии уровней представляют параболы, симметричные относительно

оси Ox , с вершинами в точках: x 0 ,	x 1 ,	x 2 , ветви
которых не пересекаются (рис. 2).

Рис. 2 1.2. Найти поверхности уровня функций:

а) u x2 y2 z ; б) u x y z ; в) u x2				x2	x2	x2 .
Решение. а) Полагая	u 0, 1, 2,...,		1	2	3	4
			получим уравнения
соответствующих поверхностей уровня:
x2 y2 z , x2	y2 z 1,	x2	y2	z 2,...
В декартовой системе	координат	Oxyz		эти	поверхности

уровней представляют семейство параболоидов (рис. 3), симметричных относительно оси Oz, с вершинами в точках

z 0 , z 1,...

Рис. 3

б) Полагая u 0, 1, 2,..., получим уравнения поверхностей уровня: x y z 0 , x y z 1 , x y z 2 , которые в

пространстве представляют семейство параллельных плоскостей, одинаково наклоненных к координатным осям (рис. 4) и отсекающих на координатных осях отрезки, соответственно равные: x y z 0 , x y z 1, x y z 2,...

		Рис. 4
в) Полагая u Ci	(i 0, 1, 2,...)			получим уравнения ги-
перповерхностей уровня x2		x2	x2	x2	C , которые в 4-х
	1	2	3	4	i

мерном пространстве представляют 4-мерные сферы.

2. ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ. ГРАДИЕНТ

1°. Если функция u F(x, y, z) дифференцируема, то производная в данном направлении l определяется по формуле

cos

cos N l ,

(1)

l ;

где

cos ,cos ,cos -

направляющие косинусы вектора

l0{cos , cos , cos } - единичный вектор направления

l ;

- нормальный вектор поверхности уровня.

Если точка (x,y,z) перемещается по прямой
x x0 l cos ,		y y0 l cos ,		z z0 l cos
со скоростью dl 1,		то скаляр	u F(x, y, z) изменяется		со
dt
скоростью v du	du .
dt	dl
В случае функции двух переменных z f (x, y) производ-
ная в данном направлении вычисляется по формуле
	dz	f cos df sin ,			(2)
	dl	x	dy

где - угол между вектором l и осью Ox.

Точки, в которых производная функции в любом направлении равна нулю, называются стационарными точками этой функции.

2°. Градиентом скаляра u F(x, y, z) называется вектор

grad u

(3)

k F ,

где

- оператор Гамильтона (набла).

Градиент есть вектор скорости наибыстрейшего изменения скаляра u в данной точке. Направление вектора прямо противоположного направлению градиента, т. е. - grad u(M1 )

характеризует наибольшую скорость убывания функции u(M )

при переходе точки М через точку

M1 .

Направление вектора

grad u

некоторой

точке

М совпадает

с направлением

нормали к поверхности (линии) уровня в этой точке.

Производная в направлении вектора l

и градиент функции

связаны формулой

du Пp

grad u ,

и производная du

в направлении градиента имеет наибольшее

значение

grad u

F 2

(4)

max

2.1.

Дана

функция

z ln(3x2 2 y3 )

вектор

n 3i j .

Найти grad z в точке М(-1,2) и производную по направлению вектора n в точке М.

Решение. Пользуясь определением градиента, найдем

частные производные								z				6x					и	z							6 y		, а так же
частные производные								x		3x2 2 y3							и	y			3x2				2 y3		, а так же
								x		3x2 2 y3								y			3x2				2 y3
их значения			в точке						M :		z						6		и	z						12	. Отсюда
их значения			в точке						M :		x			M		19			и	y						19	. Отсюда
																							M
																							M
	6			12				6
grad z		i		19		j			i		2 j				.
grad z	19	i		19		j		19	i		2 j				.
Для определения производной по направлению вектора n
найдем направляющие косинусы вектора n
cos						3					3		,		cos					3		.
cos						32 12					10		,		cos					10		.
						32 12					10									10
Отсюда по формуле (1) будем иметь
		dz						6	3			12 1								6				.
		dz						6	3			12 1								6
		dn
							19					19
					M				10						10			19 10
					M				10						10			19 10
												5

2.2. Найти производную функции u x2 y2 z2 в точке М(1,1,1) в направлении вектора l cos 60 ,cos 60 ,cos 45 и

длину grad и в той же точке.

Решение. Найдем частные производные функции и и их

значения в точке М
ux' (M ) 2 , u'y (M ) 2 , uz' (M ) 2 .
Отсюда производная функции и в направлении вектора l				в
точке М равна
u' (M ) 2 cos 60 2 cos 60 2 cos 45 2			2. .
l			j 2k , а его
Градиент функции и в точке М равен grad u 2i 2
длина по формуле (4) будет
	grad u	4 4 4 2 3.

2.3. Найти наибольшую крутизну поверхности z2 xy				в

точке М(4,2).

Решение. Наибольшая по абсолютной величине крутизна поверхности численно равна модулю градиента функции z в точке М. Для нахождения градиента вычислим частные про-

изводные в точке. Полагая F(x, y, z) z2 xy , будем иметь

			F
			F
zx' (M )			x
zx' (M )			F
			F
			z		M
			z		M
			F
			F
z'y (M )			y
z'y (M )			F
			F
			z		M
					M
	2			2
Отсюда grad z(M )		i
Отсюда grad z(M )	4	i		2
	4			2
			6


y		2		,
2z	M	4


x			2		.

2z
	M	2

j , а его модуль

					grad z(M )							2		2					10	.
												2							10

											16				4			4
											16				4			4
2.4. Найти производную функции u xy yz xz																					в точке
M1 (1, 2,3)		в направлении, идущем													от этой точки						к	точке
M2 (5,5,15) .
Решение. Найдем направляющие косинусы вектора
M1M2	(5 1)i (5 2) j (15 3)k														4i			3 j 12k .
cos			4					4		, cos						3	,		cos 12 .
cos			32							, cos							,		cos 12 .
	42		32	122			13								13			13
Для определения производной функции и в направлении
вектора M1M2			l найдем частные производные
	u y z,					u	x z,						u x y,
	x					y							z
и их значения в точке M1
ux' (M1 ) 5,					u'y (M1 ) 4,							uz' (M1 ) 3.
Таким образом, искомая производная равна
		du 5			4	4		3	3		12				78 .
		du 5				4			3		13				78 .
		dl		13			13				13				13
2.5. С какой наибольшей скоростью может возрастать фун-
кция u ln(x2			y2	z2 ) при переходе точки M (x, y, z)																		через

точку M0 (1,1,1) ?

Решение. Наибольшая по абсолютной величине скорость возрастания функции и при переходе точки М через точку М0 совпадает с направлением градиента функции и в точке М0 и численно равна модулю градиента функции в этой точке. Находим частные производные функции и ее градиент в точке

M0 .

2 y

;

x2 y2 z2

ux' (M0 ) 2, u'y (M0 ) 2, uz' (M0 ) 2, grad u(M0 ) 2i 2 j 2k.

Отсюда наибольшая скорость возрастания функции при переходе точки М через точку М0 по формуле (4) равна

	grad u(M0 )			4 4 4 2 3.

2.6. Найти стационарные точки функции z x3 3xy y3 .

Решение. В стационарных точках производная функции по любому направлению равна нулю. Для этого необходимо, чтобы все частные производные первого порядка функции одновременно обращались в нуль. Находим частные производные и приравниваем их нулю

z	3x2 3y 0,	z	3y2 3x 0.
x		y

Решая эту систему уравнений получим две стационарные точки: (0,0) и (1,1).

2.7. Вывести формулы: а) grad (uv) ugrad v vgrad u;

б) grad

vgradu ugradv

Решение. а) Пользуясь определением градиента будем

иметь

grad uv

uv i

uv k

k v

ugrad v vgrad u.

б) Аналогично

grad

y v

x u

k u

vgrad u ugrad v .

2.8. Доказать ортогональность поверхностей уровня полей:

u x2 y2 z2

и v xz yz .

Решение. Будем определять угол между поверхностями углом между нормалями к ним, которые совпадают с направлениями градиентов к поверхностям уровня

			az	ay
grad u 2xi 2 yj	2zk ,	rot a			,
			y	z
grad v zi zj
		x y k .

Из условия ортогональности двух векторов

grad u,grad v 2xz 2 yz 2z(x y) 0 ,

следует ортогональность поверхностей уровня.

2.9. Вычислить grad u, если u 1r , где r x2 y2 z2 .

Решение. По определению градиента имеем

grad u		xi					yj	zk
grad u					3		3	3
		x2 y2 z2 2					x2 y2 z2 2	x2 y2 z2 2
	xi yj zk			r		.
		3				.
		3		r	3
	x2 y2 z2
	x2 y2 z2		2

3. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ.

ДИВЕРГЕНЦИЯ И ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

1°. Векторным полем называется область (плоская или про-
странственная), каждая точка M которой характеризуется не-
которой физической векторной величиной a a M a r ,
где a	- векторная функция точки, r xi yj zk - радиус
вектор точки М.		В декартовой системе координат вектор a
равен	a axi ay j az k , где ax ax x, y, z , ay ay x, y, z ,
az az	x, y, z -	проекции вектора а на координатные оси.
Отсюда следует,		что поле векторной величины a может быть

задано тремя скалярными функциями ax , ay , az , т. е. ее проек-

циями на оси координат.

Векторными линиями (силовые линии, линии тока) векторного поля называют кривые, направления которых в каждой точке совпадают с направлением вектора в этой точке. Векторные линии находятся из системы дифференциальных уравнений

dx dy		dz .	(1)
ax	ay	az

Векторное поле, не зависящее от времени t, называется

стационарным, а зависящее от времени – нестационарным.


2°. Дивергенцией	векторного					поля		a(M ) axi ay j az k
называется скаляр				ay
		ax				az
div a		x				z	a .		(2)
				y
Дивергенция может быть представлена в виде суммы сле-
дующих скалярных произведений								a
		a			da
div a i		x	j		y	k		z .	(3)

Если вектор a характеризует поле скоростей текущей жидкости, то абсолютная величина div a(M0 ) определяет мощность

источника или стока. Так если div a(M0 ) 0 , то точка M0 на-

зывается источником, т.е. в любой бесконечно малой окрестности точки M0 жидкость возникает. Если div a(M0 ) 0 , то

точка M0 называется стоком, т. е. в окрестности точки M0

жидкость исчезает.

Если в каждой точке поля div a 0 , то векторное поле называется соленоидалъным, В этом случае поток вектора a через

любую замкнутую поверхность равен нулю.

3°. Вихрем

(или

ротором)

векторного

поля

a M axi

j az k

называется вектор

rot a

(4)

ax ay az

Вихрь может быть представлен в виде суммы следующих векторных произведений

(5)

rot a

i ,

k ,

Векторное поле, во всех точках которого rot a 0 , называется потенциальным (безвихревым). В этом случае существует

потенциал	U f (r ) - скалярная функция,	определяемый из
уравнения	dU axdx ay dy az dz , причем	grad U a .

Если векторное поле является одновременно потенциальным и соленоидальным, то div(grad U) = 0 и оно называется гармоническим. Потенциальная функция U в этом случае

удовлетворяет уравнению Лапласа

0 или

dx2

dy2

dz2

U 0

и называется

гармонической.

Здесь

оператор

Лапласа, равный 2

3.1. Найти векторные линии следующих полей:

а) a

xi yj; б) a

z .

Решение. а) Векторное поле плоское, следовательно, век-

торная линия находится из уравнения

dx dy

или

dy .

Интегрируя,

будем иметь

ln x ln y ln C; x C

, xy C -

семейство гипербол.

б) Составим систему уравнений

1/dxx 1/dyy 1/dzz или xdx ydy, xdx xdz.

Интегрируя, получим:	x2 y2	C , x2	z2	C	2	. Таким
		1			2

образом, векторные линии представляют линии пересечения гиперболических цилиндров двух семейств.

3.2. Найти дивергенцию векторного поля:

yi xy

а) a x

в точке M 1, 2,1 ;

б) r yz 4xi yj zk .

Решение. а) Проекции вектора a на оси координат равны:

ax x2 y, ay

xy2 , az yz2 .

По определению дивергенции (2)

имеем

2xy 2 yz . Отсюда дивергенция вектора в

div a 2xy

точке

div a(M ) 4 4 4 4 0 ,

т.

е.

точка М является

стоком.

б) По определению дивергенции имеем

div r

4 yz

2 yz 2 yz 0 ,

т.е. в поле вектора

нет ни источников,

ни стоков.

Данное

векторное поле будет соленоидальным.

3.3.Найти div

a,b

, если a xi

yj zk , b yi zj xk .

Решение. Найдем сначала векторное произведение

x y

yx z

i yz x

j xz y

k .

a,b

Отсюда по формуле (2) имеем div

a,b y z x .

3.4. Доказать, что: a) div

fa f

div a a grad f ;

б) div a,b

b rot a a rot b .

Решение. а) По определению дивергенции, учитывая, что f скалярная функция, имеем

fax

fay

faz

div f a

ax x ay

f div a

grad

f .

б) Воспользуемся формулой (3), тогда

div

a,b

Учитывая свойства смешанного произведения

и т.д.,

i ,

;

i ,

получим

div

i ,

k ,

a,b

k ,

Отсюда по формуле (5)

b rot a a rot b ,

div

a,b

что и требовалось доказать.

a yzi xzj xyk ;

3.5. Найти ротор векторных полей а)

yzi

xyz

k .

б) a x

Решение. а) Здесь

ax yz, ay

xz, az

xy.

Пользуясь

формулой (4) будем иметь

rot a i x x j( y y) k (z z) 0 .

б) Здесь ax

x2 yz, ay

xy2 z, az

xyz2 .

По

формуле (4)

будем иметь

y yz

k y

rot a

i xz

x z2 y2 i y x2 z2 j z y2 x2 k.

3.6. Найти:

rot

a b a ,

если

a xi yj zk ,

b i j k ; б)

rot

r b a , если r xi yj zk ,

b i j k ,

a i j k .

Решение. а) Найдем сначала скалярное произведение век-

торов a b

x y z. Тогда

a b a x x y z i y(x y z) j z(x y z)k.

Отсюда по формуле (4) получим

rot a b a

(z y)i x z j y x k .

б) Скалярное произведение равно r b x y z . Отсюда

r b a x y z i x y z j x y z k .

Таким образом, окончательно получим

rot r b a ( 1 1)i ( 1 1) j ( 1 1)k 2i 2k .

3.7. Является ли функция

U a x2 a y2 a z2

2a xy 2a xz 2a yz

гармонической?

Решение. Функция U является гармонической, если она

удовлетворяет	уравнению	Лапласа U 0 .		Находя вторые
частные	производные	2U	2a , 2U	2a , 2U		2a ,
		x2	1 y2	2	z2	3

получим U 2 a1 a2 a3 . То есть данная функция будет

гармонической, если выполняется условие a1 a2

a3 0 .

3.8. Доказать,

что

векторное

поле

вектора

xi yj zk

является гармоническим.

x2 y2 z2

Решение. Векторное поле называется гармоническим, если

оно

является одновременно

соленоидальным

div a 0 и

потенциальным rot a 0 . Действительно

x2 y2

x2 3 x2 y2

div a

x2 y2 z2 3

y2 z2

3y2 x2 y2 z

x2 y2 z2 3

y2 z2

3z2 x2 y2 z

x2 y2 z2 3

3x2 3y2 3z2 3 x2 y2 z2

x2 y2 z2 2

3yz

x2 y2 z2

3yz x2 y2 z2 2

rot a i

x2 y2 z2

3xz x2 y2 z2 2

x2 y2 z2

3yx x2 y2 z2 2

x2 y2 z2

grad f , a f

3.9. Доказать, что: a) rot f a

rot a ;

б) rot

a div b b div a

a,b

Решение. а) По формуле (5) имеем

f a

rot f a

f a

i ,

k ,

i ,

j, a

k , a

, a

i ,

grad f , a f

rot a.

б) Векторное произведение есть вектор, т. е.

aybz azby i

a,b

azbx

axbz j axby aybx k.

Проекция ротора этого вектора на ось Ox равна

axby aybx

azbx axbz by

x y

z z

Проекция на ось Ox правой части доказываемого равенства

равна

x b

x y

x z

z z

x x

x z

y y

z z

Легко проверить, что обе эти проекции равны. Аналогично проверяется равенство проекций на оси Oy, Oz, что и доказывает данное выражение.

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ

2-ГО ПОРЯДКА

4.1. Используя векторный смысл оператора Гамильтона ,

доказать дифференциальные операции 2-го порядка:

а) grad div a , a ,

б) div grad U , U 2U U , в) div rot a , , a 0 ,

г) rot grad U , U 0 , д) rot rot a , , a ,

е) div a div a .

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022510.55 Кб4Учебное пособие 643.pdf
#
30.04.2022511.19 Кб4Учебное пособие 644.pdf
#
30.04.2022511.46 Кб2Учебное пособие 645.pdf
#
30.04.2022511.47 Кб2Учебное пособие 646.pdf
#
30.04.2022512.08 Кб3Учебное пособие 647.pdf
#
30.04.2022512.25 Кб5Учебное пособие 648.pdf
#
30.04.2022512.25 Кб2Учебное пособие 649.pdf
#
30.04.2022257.79 Кб3Учебное пособие 65.pdf
#
30.04.2022512.26 Кб3Учебное пособие 650.pdf
#
30.04.2022512.85 Кб2Учебное пособие 651.pdf
#
30.04.2022513.41 Кб3Учебное пособие 652.pdf