Учебное пособие 648
.pdf
Решение. а) Поскольку имеет место плоский случай, то воспользуемся формулой Грина
|
|
|
ay |
|
ax |
|
||
a, dr |
|
|
|
|
dxdy . |
|||
x |
y |
|||||||
L |
|
S |
|
|
|
|||
Учитывая, что ax x2 y, ay y2 x , и переходя к полярным координатам, получим
|
2 |
R |
a, dr 2 d d 2 R2 . |
||
L |
0 |
0 |
б) Воспользуемся |
формулой |
(12). Учитывая, что ax x , |
ay y, az z , и используя систему параметрических уравнений винтовой линии, будем иметь
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
b |
2 |
. |
a, dr |
a cos t a sin tdt a sin ta cos tdt btbdt 2 |
|
|
||||||||||
L |
5.14. |
0 |
Вычислить |
0 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
циркуляцию |
векторного |
поля |
|||||||||
|
|
4x |
2 |
2 |
k по линии ABCA пересечения с координат- |
||||||||
a |
yzi |
j |
y |
||||||||||
ными плоскостями той части поверхности S : 4x2 y2 z 2 2 ,
которая лежит в первом октанте. А, B, C - точки пересечения поверхности с координатными осями.
Решение. Сделаем чертеж эллиптического конуса в первом октанте (рис. 12). Вычислим циркуляцию непосредственно по
определению
C a, dr yzdx 4x2dy y2dz.
AB BC CA
Дуга АВ является частью эллипса 4x2 y2 4, |
здесь z 0, dz 0. |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
y |
3 |
|
|
2 |
|
16 . |
|
|
|
|
|
|||||||
IAB |
4x2dy 4 y2 |
dy |
4 y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
||||||||||
AB |
0 |
|
|
3 |
|
|
0 |
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Линия BС является прямой y 2 z , здесь x 0, dx 0 . 39
|
2 |
|
z 2 |
3 |
|
|
2 |
8 . |
|
|
|
||||||||
IBC y2dz z 2 2 |
dz |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
BC |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Линия CA является |
прямой 2x z 2 , |
здесь |
|
y 0, dy 0 и |
|||||
ICA 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, C IAB IBC |
8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12 |
|
|
|
|
|
5.15. С помощью теоремы Стокса найти циркуляцию век- |
|||||||||||
|
2 |
3 |
|
2 |
k |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
2 |
тора a |
x |
y i 2 j |
z |
по сечению сферы x |
|
|
R |
||||
плоскостью z 0 .
Решение. Сечение L |
сферы и плоскости есть окружность |
x2 y2 R2 . Поскольку |
ax x2 y3 , ay 2, az z2 то формула |
(13) примет вид
a, dr 3 x2 y2dxdy .
L S
Проекция поверхности сферы на плоскость Оху есть круг радиуса R. Переходя к полярным координатам, получим
|
|
|
2 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a, dr 3 |
2 |
cos2 2 sin2 d |
|
|
|
|
|
||||||
L |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3R6 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
|
R6 |
|
R6 |
|
R6 |
. |
6 |
|
1 |
2 |
cos 4 d |
4 |
8 |
8 |
||||||
|
4 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
5.16. Найти по теореме Стокса циркуляцию векторного поля a zi 2 yzj y2k по линии ABCA пересечения с коорди-
40
натными плоскостями той части поверхности |
x2 9 y2 |
9 z , |
|||||||||||||||||||||
которая лежит в области: x 0, y 0, z 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение. Находим ротор поля |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
2 yz |
|
z |
|
y2 |
|
|
||
rot a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
||
x |
|
y |
|
z |
y |
z |
z |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z |
2 yz |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 yz |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
y |
k |
2 y 2 y i |
j |
j. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поверхность |
x2 9 y2 |
9 z |
является |
|
эллиптическим па- |
||||||||||||||||||
раболоидом и показана в первом октанте на рис. 13. |
|
|
|||||||||||||||||||||
Рис. 13
По теореме Стокса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
C rot a, n dS cos S . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
S |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае cos 0 |
и cos dS dxdz . Отсюда |
|
|
||||||||||
|
3 |
9 x2 |
3 |
|
9 x2 |
3 |
|
|
x |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
C dxdz dx |
|
dz z |
|
|
dx 9 x2 |
dx |
9x |
|
|
|
18. |
||
|
|
|
|
||||||||||
S |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
3 |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
15.17. Найти потенциал поля:
а) a 6xy xy2 i 3x2 x2 y j ; б) a yzi xzj xyk . 41
Решение. а) Поле плоское. Убедимся, что оно потенциаль-
|
ay |
ax |
|
ay |
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
но: |
|
y , |
|
|
6x 2xy, |
y |
|
6x 2xy , т.е. rot a 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
За путь интегрирования примем ломаную ОАВ, где O 0,0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
A x,0 , B x, y . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
|
C , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a, dr |
C a, dr |
a, dr |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
OAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a, dr 6xy xy2 dx 3x2 x2 y dy . |
|||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку вдоль прямой ОА имеем y 0, dy 0 , то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На прямой AB имеем dx 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
B a, dr |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
3x2 x2 y dy 3x2 y |
C . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
б) Убедимся сначала, что заданное поле потенциально, т. е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
rot a |
0 . |
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a |
z |
|
x, |
a |
x |
|
|
a |
z |
|
y, |
|
|
a |
x |
z . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||||
За путь |
|
интегрирования |
примем ломаную OABC , где |
|||||||||||||||||||||||||||||||
O 0,0,0 , A x,0,0 , B x, y,0 ,C x, y, z . Тогда |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
C , |
|||||||||
U a, dr |
C |
a, dr |
|
a, dr |
a, dr |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где a, dr yzdx xzdy xydz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Поскольку вдоль прямой |
|
ОА |
имеем |
|
y 0, dy 0, z 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
dz 0 , то
A a, dr 0 .
O
42
На прямой АВ имеем dx 0, z 0, dz 0 , следовательно,
B a, dr 0 .
A
На прямой ВС имеем dx 0, dy 0 и
C a, dr z xydz xyz C .
B |
0 |
Таким образом, U xyz C . |
|
5.18. Проверить, является ли векторное поле a y2 z2 i 2xyj 2xz 1 k
а) потенциальным; б) соленоидальным. Если поле потенциально, найти его потенциал.
Решение. а) Находим ротор поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
2xz 1 |
|
2xy |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
rot a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
y |
|
z |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y2 z2 |
2xy |
2xz 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y2 z2 |
|
|
2xz 1 |
|
|
2xy |
|
y2 z2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
j 2 y 2 y k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2z 2z |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Следовательно, поле a |
- потенциально. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б) Найдем дивергенцию поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
ay |
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
div a |
x |
|
|
|
|
z 2x 2 y 0 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||
Следовательно, поле соленоидально.
Поскольку поле потенциально, то потенциал поля находим по формуле (14), где в качестве пути интегрирования возьмем ломаную ОАВМ, состоящую из отрезков прямых, параллельных координатным осям (рис. 14).
|
Рис.14 |
U x, y, z y2 |
z2 dx 3xydy 2xz 1 dz . |
OM |
OA AB BM |
На отрезке OA : y 0, z 0, dy 0, dz 0 , следовательно
IOA x 0 dx 0 .
0
На отрезке AB : x const, z 0, dx 0, dz 0 , отсюда
y
IAB 2xydy xy2 .
0
На отрезке BM : x const, y const, dx 0, dy 0 и
IBM z 2xz 1 dz xz2 z C .
0
Таким образом, U x, y, z xy2 xz2 z C.
44
43
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Андрианова Т.Н. Задачник практикум по высшей математике / Т.Н. Андрианова.– СПб.: Изд-во Сант-Петерб. ун-
та, 1994.
2.Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах / И.А. Марон. – М.: Физматлит, 1973.
3.Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2007.
4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-
пресс, 2008.
5.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах
/П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1998.
6.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. — М.: Наука, 1987.
7.Щипачев B.C. Высшая математика / В.С. Щипачев. — М.: Высш.школа, 2003.
8.Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.
СОДЕРЖАНИЕ
1.СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ ……………………………. 1
2.ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ.
ГРАДИЕНТ ………………………………………………. 3
3.ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ.
ДИВЕРГЕНЦИЯ И ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ …. 10
4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
2-ГО ПОРЯДКА ……………………………………….. 18
5.ИНТЕГРАЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ И ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА ……………………………. 22
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………… 45
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика"
для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность»,
профили «Защитавчрезвычайныхситуациях», «Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды»,
очной формы обучения
Составитель: Пантелеев Игорь Николаевич
В авторской редакции
Компьютерный набор И.Н. Пантелеева
Подписано к изданию 10.12.2013.
Уч.-изд. л. 2,7
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
45