Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 501

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

450.08 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Производная по направлению вектора l в точке M равна

cos

cos = 4

Задача для

самостоятельного

решения..

Дана

функция

z x2 y2 2xy 4x, точка A(1,2) и вектор l 1,3 i 3j. Требуется найти: 1) направление градиент функции z в точке А; 2) произ-

водную в точке А по направлению вектора l .


	ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
	Пример	1. Исследовать на			экстремум	функцию
z 8x3 y3 4xy .
	Решение.		Вычислим частные		производные	функции
z	24x2 4y,		z	3y2 4x. Найдем точки возможного экстре-
	24x2 4y,			3y2 4x. Найдем точки возможного экстре-
x			y

мума из решения системы

zxzy

24x2 4y 0,

3y2 4x 0.

Это точки M1(0,0) и M2(						1	,	2	).

				3			3
Находим частные производные второго порядка исследуемой
функции:	A fxx 48x, C fyy 6y,									B fxy 4. В точке
M1(0,0)	имеем AC B2			16<0 , то есть, в данной точке экс-
тремума нет. В точке M2(		1	,	2	) имеем AC B2 64 16>0. По-
				3
	3

скольку A 16 >0, то в точке имеется минимум.

Задача для самостоятельного решения. Найти экстремум функции z 4x2 9y2 4x 6y 3.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния с разделяющимися переменными (1+х2)dy +ydx=0.

Решение. Преобразуем уравнение к виду (уравнению с разде-

лёнными

переменными)

dх

. Интегрируя,

получаем

1 x2

или ln

arctgx C . Общее решение можно запи-

x2 1

сать в виде y еC arctgx .

Пример 3. Найти общее решение уравнения у tgx tgy .

Решение.

Разделяя

переменные,

приходим к

уравнению

ctgy dy tgx dx.

Интегрируем:

ctgy dy tgxdx, lnsin y lncos x lnC .

Постоянная интегрирования выбрана в виде lnC для упрощения представления ответа. Далее находим общий интеграл

sin y	C	или sin y cos x C .

cos x

Задача для самостоятельного решения. Найти общее реше-

ние дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

х2у y2 4.

Пример 4. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения xу x 2y .

Решение. Чтобы привести однородное дифференциальное уравнение к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными, проводят замену y x v(x) , где v(x) – новая неизвестная функция.

Преобразуя исходное уравнение к виду, разрешенному относи-

тельно производной у . Получим у =1 2 y . Полагаем y x v,

тогда у x v v. Уравнение запишется в виде

x v v 1 2v или x v 1 v .

Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменны-

ми

1 v

или

1 v

Интегрируя

получим

ln1 v

lnC ,

1 v

1 v xC

или v xC 1.

Возвращаясь к старой переменной у по формуле y x v(x) ,

получим общее решение у Cх2

х .

Задачи для самостоятельного решения. Найти общее реше-

ние однородного дифференциального уравнения

3xy

а) у

x2 y2 , б) y

x .

Пример 5.

Найти частное решение линейного дифференциаль-

ного уравнения первого порядка

(x 1)3,

удовлетворяю-

щее начальному условию у(0) 1.

х 1

Решение. Ищем решение

y(x)

в виде

y(x) u(x) v(x). По-

скольку y

, то уравнение принимает вид

u v uv

2uv

(x 1)

) (x 1)

u v

v u

или u v u(v

х 1

Для нахождения частного решения v(x) решаем уравнение

=0.

х 1

Разделяя переменные в этом уравнении, находим

или

2dx

х 1

После интегрирования

обеих

частей

равенства, получим

2ln

x 1

C ,

так как достаточно найти хотя бы одно отличное

от нуля решение,

то положим

C 0

и опустим

модули. Тогда

v(x) (x 1)2. Подставляя найденное значение v(x) в исходное урав-

нение и учитывая, что v

(х 1)

или

запишем u (х 1)

х 1

x 1,

откуда

после

интегрирования

получим

u(х)

(х 1)2 C .

Общее

решение

запишется

y uv

(х 1)4

C(х 1)2 .

Найдем частное решение,

удовлетво-

ряющее начальному условию

у(0) 1. Имеем у(0)

C 1, от-

куда C

. Тогда частное решение (решение задачи Коши)

запи-

(х 1)4

(х 1)2

шется в виде

Задача для самостоятельного решения. Найти частное реше-

ние линейного дифференциального уравнения первого порядка

y y х, удовлетворяющее начальному условию у(1) 1. x

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

Пример 1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка со специальной правой частью y 7y 6y (x 2)ex.

Решение. Общее решение будет иметь вид y yoo yчн. Для нахождения общего решения yoo соответствующего однородного уравнения y 7y 6y 0 составляется характеристическое уравнение

k2 7k 6 0

и находятся его корни: k1 1, k2 6.

Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения приобретает вид

yoo C1ek1x C2ek2x C1ex C2e6x.

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения yчн рассмотрим правую часть (x 2)ex. Правая часть данного неод-

нородного уравнения имеет вид P1(x)ex и характеризуется параметром правой части α±iβ=1±0i. Так как параметр правой частиi 1 0i 1 совпадает с простым корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем ис-

кать в форме yчн xex(Ax B) . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

[(Ax2 Bx) (4Ax 2B) 2A 7(Ax2 Bx) 7(2Ax B) 6(Ax2 Bx)]ex

(x 2)ex

или

( 10Ax 5B 2A)ex (x 2)ex.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях																							xex ,
ex , получим
												10A 1,

											2A 5B 2,
откуда A	1	, B			9		.			Следовательно,							частное				решение		будет
откуда A		, B					.			Следовательно,							частное				решение		будет
10					25
			x		1				9
иметь вид yчн xe								x				.
иметь вид yчн xe					10			x				.
					10						25
						y C e6x									ex	ex		1		x2	9
Общее решение:												C		2								x .
Общее решение:												C										x .
									1									10			25
																		10			25
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния y 4y 5y cos2x.
Решение.
Запишем		соответствующее												характеристическое								уравнение:
k2 4k 5 0, k				4						16 20			,	k		2				2 i. При нали-
				4						16 20									1
																			1
1,2									2					1,2
									2

чии комплексных корней характеристического уравнения общее ре-

шение			однородного			уравнения		имеет	вид:
y	oo	e 2x C	sin x C	2	cosx .
	oo	1		2				cos2x
		Правая	часть	неоднородного			уравнения	cos2x	имеет вид
P0(x)sin2x Q0(x)cos2x, где						P0(x) 0	и Q0(x) 1– многочлены ну-

левой степени. Правая часть неоднородного уравнения описывается параметром i 0 2 i, не совпадающим с корнями характери-

стического уравнения. Частное решение yчн ищется в виде, подоб-

ном правой части (без домножения на xl и с коэффициентами, подлежащими определению):

yчн Asin2x Bcos2x.

Коэффициенты A и B находятся из результата подстановки yчн

висходное уравнение

Asin2x Bcos2x 4 Asin2x Bcos2x 5 Asin2x Bcos2x cos2x,

4Asin2x 4Bcos2x 4 2Acos2x 2Bsin2x 5 Asin2x Bcos2x cos2x

Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях sin2x

и cos2x

слева и справа для вычисления A и B.

4A 8B 5A 0 A 8B 0

A 8B , B 64B 1,

, A

4B 8A 5B 1

B 8A 1

Частное

решение

неоднородного

уравнения

равно

yчн

sin2x

cos2x,

общее

решение

равно

y e 2x C sin x C

cos x

sin2x

cos2x.

Задача для самостоятельного решения. Найти общее реше-

ние

неоднородного

дифференциального

уравнения

y 5y 6y x2e4x со специальной правой частью.

Пример 3. Найти частное решение линейного неоднородного

уравнения,

удовлетворяющее

начальным

условиям

y y 2y cos x 3sin x,

y(0) 1,

y (0) 2

		Найдем общее решение соответствующего однородного урав-
нения			y y 2y 0. Составим				характеристическое				уравнение и
найдем			его	корни k2 k 2 0,			k 1,	k	2	2.	Тогда общее
							1		2
решение					соответствующего		однородного				уравнения:
y	oo	C ex		C	2	e 2x.
	oo		1		2						cosx 3sinx
		Правая часть данного неоднородного уравнения									cosx 3sinx
имеет			вид	eox(Pcosx Qsinx) .			Так как		параметр		правой части

i 0 1i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме учн (Acos x Bsin x). Под-

ставляя

это

выражение

вместе

производными

у ( Asin x Bcos x), у ( Acos x Bsin x)

в заданное уравнение,

будем иметь

(B 3A)cosx ( A 3B)sinx cosx 3sinx.

Приравнивая коэффициенты при cosx и sin x , получим

B 3A 1,

, откуда A 0, B 1. Следовательно, частное решение

3B A 3,

будет иметь вид yчн sinx.

Общее решение: y C ex

C e 2x sin x .

Найдем С1,

С2, используя начальные условия,

C e

sin0 1;

C1 C2

или

1 2.

cos0 2,

C 2C

C e

Отсюда С1=1, С2=0. В итоге получаем решение задачи Коши y ex sinx.

Пример 4. Найти частное решение линейного неоднородного

	y y ex,
уравнения, удовлетворяющее начальным условиям		y(0) 0,
уравнения, удовлетворяющее начальным условиям		y(0) 0,
		y (0) 1
		y (0) 1

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y y 0. Составим характеристическое уравнение

и найдем его корни k2 k 0, k(k 1) 0, k1 0, k2 1. Тогда об-

щее		решение				соответствующего	однородного	уравнения:
y	oo	C	C	2	e x.
	oo	1		2
		Правая часть данного неоднородного уравнения ex						имеет вид
ex(1 cos(0x) 0 sin(0x)). Так как							параметр правой части

i 1 0i 1 не совпадает с корнями характеристического урав-

нения, то частное решение будем искать в форме учн Aex . Под-

ставляя это выражение вместе с производными у Aex , у Aex в

заданное уравнение, будем иметь Aex Aex ex .																							1
	Приравнивая коэффициенты при ex , получим 2A 1,																				A		1		.
	Приравнивая коэффициенты при ex , получим 2A 1,																				A				.
																					2
	Следовательно, частное решение будет иметь вид																			y		ex		.
	Следовательно, частное решение будет иметь вид																			y				.
																	ex			чн	2
	Общее решение:											y C C e x					ex	.
	Общее решение:											y C C e x						.
													1		2	2
																2
	Найдем									С1,			С2,		используя				начальные		условия,
						1
C1 C			2					0;
C1 C			2			2		0;
				1		2

	C	2					1.
	C						1.
			2
	Отсюда C 0,											C		1	. В итоге получаем решение задачи
	Отсюда C 0,											C			. В итоге получаем решение задачи
									1			2	2
					e x					ex			2
Коши y					e x					ex
											.
						2					.
						2			2

Задача для самостоятельного решения. Найти частное реше-

ние линейного неоднородного дифференциального уравнения второ-

го порядка у 4у (3х 1)е х , удовлетворяющее начальным усло-

виям у(0) 0 , у (0) 4 .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: Высш. шк., 1999.

Ч. 1. 415 c.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1977. Т. 1,2.

ОГЛАВЛЕНИЕ
I СЕМЕСТР…………………………………………………...	3
Практическое занятие № 1…………………………………..	3
Практическое занятие № 2…………………………………..	7
Практическое занятие № 3…………………………………..	11
Практическое занятие № 4…………………………………..	16
II СЕМЕСТР………………………………………………….	22
Практическое занятие № 1…………………………………..	22
Практическое занятие № 2…………………………………..	26
Практическое занятие № 3…………………………………..	31
Практическое занятие № 4…………………………………..	34
Библиографический список…………………………………	39

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим работам для студентов направления подготовки

15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Технологии, оборудование и автоматизация

машиностроительных производств») заочной формы обучения

Составители: Горбунов Валерий Викторович Соколова Ольга Анатольевна

В авторской редакции

Подписано к изданию 12.11.2021.

Уч.-изд. л. 2,5.

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20225.52 Mб25Учебное пособие 50095.doc
#
30.04.20225.57 Mб41Учебное пособие 50096.doc
#
30.04.20226.08 Mб15Учебное пособие 50097.doc
#
30.04.20226.78 Mб47Учебное пособие 50098.doc
#
30.04.20226.83 Mб4Учебное пособие 50099.doc
#
30.04.2022450.08 Кб3Учебное пособие 501.pdf
#
30.04.2022450.3 Кб3Учебное пособие 502.pdf
#
30.04.2022450.83 Кб1Учебное пособие 503.pdf
#
30.04.2022451.45 Кб2Учебное пособие 504.pdf
#
30.04.2022451.59 Кб6Учебное пособие 505.pdf
#
30.04.2022451.63 Кб3Учебное пособие 506.pdf