Учебное пособие 501

Таблица

x

(-∞,-3)

-3

( 3,

(

0

(0,

(

3

(3,∞)

3)

3

3,0)

3)

3

3,3)

f (x)

+

0

Не

0

Не

0

+

сущ

сущ

.

.

f (x)

Не

+

0

Не

+

+

+

сущ

сущ

.

.

f(x)

Возр.

Max

Убыв.

Не

Убыв

ТочкаУбыв

Не

Убыв

Min

Возр.,

вып.

ymax =

,

сущ

.

пе-

вып.

сущ

.

ymin

вогн

-4,5

вып.

.

вогн.

рег.

.

вогн

=4,5.

yтп=0

.

-3 - 3

0

3 3

x

на любую

функцию x,

то

есть

если

cosxdx sinx C , то

cos(x2)d(x2) sin(x2) C . Таким образом,

cos(x

2

xdx cos(x

2

) d(

x2

1

cos(x

2

)d(x

2

1

sin(x

2

) C

)

)

)

2

2

2

Пример 2. Проинтегрировать esin3x cos3x dx .

Решение:

Введем

новую

переменную

интегрирования:

sin3x

t sin3x

t dt

et

esin3x

e

cos3x dx

dt 3cos3xdx

e

C

C .

3

3

3

Еще один вариант замены переменной t определяется соотно-

шением x=ψ(t) Тогда

dx t dt и

f t t dt

f x dx

Пример 3. Проинтегрировать

dx

.

e

2x 1

4

dx

x

1

(lnt 1)

1

dt

1

d(t 2)

2

dx

dt

e2x 1 4

2

t(t 4)

2

(t 2)2 4

2t

1

(t 2) 2

1

t

1

e2x 1

ln

C

ln

C

ln

C .

(t 2) 2

t 4

e

2x 1 4

8

8

8

Пример 4. Найти интеграл

x 2

dx.

x

2 2x 5

2

x 2

dx

1

2(x 1)

dx

1

dx .

x2 2x 5

x

2 2x 5

2

x2 2x 5

В

первом

интеграле

сделаем замену

переменной

x2 2x 5 t , 2(x 1)dx dt . Получим

1

2(x 1)

dx

1

dt

1

ln

t

C

1

ln

x

2

2x 5

C .

2

x2 2x 5

2

t

2

2

Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе

полный квадрат x2 2x 5 x2

2x 1 4 (x 1)2 22.

1

dx

dx

dx

1

arctg

x 1

C.

x

2 2x 5

(x 1)2 4

2

2

Окончательно получим

x 1

x 2

1

2

1

dx

ln

x

2x

5

arctg

C .

x

2 2x 5

2

2

2

Задачи для самостоятельного решения. Найти неопределен-

ный интеграл посредством метода замены переменной

dx

9 2x

x 3

dx.

а)

cos

, б)

dx , в)

1 x2

x

x

x2 2x 2

u 5x 2;

du 5dx

(5x 2)sin7x

sin7x

(5x 2)cos7xdx

dv cos7xdx;

v

sin7x

5

dx

7

7

7

(5x 2)sin7x

5

sin7x

d(3x)

(5x 2)sin7x

5cos7x

C.

7

7

7

49

Задачи для самостоятельного решения. Найти неопределен-

ный интеграл интегрированием по частям

а) (x 5)

sin3x dx, б) (4x2 1) ln x dx.

Пример 6. Найти интеграл

x2 2x 3

dx .

(x 1)(x

2 6x 10)

x2 2x 3

A

Bx C

A(x

2 6x 10) Bx(x 1) C(x 1)

.

(x 1)(x2 6x 10)

x 1

x2 6x 10

(x 1)(x2 6x 10)

Приравняем числители:

A(x2 6x 10) B(x2

x) C(x 1) x2 2x 3.

x2

A B 1

x1

6A B C 2

B 1 A, C 3 A, A 1 A 3 A 2, .

x0

10A C 3

A

6

, B

1

, C 9.

5

5

Подставим найденные коэффициенты в разложение рациональ-

1

6

x

9

5

ной функции

5

.

(x 1)(x

2 6x 10)

x 1

x2 6x 10

а)

cos

3 xdx

,

б)

dx

.

5 4sin x

sin

2 x sin xcos x 2cos2 x

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

4e lnx dx

Пример 1. Вычислить определенный интеграл

.

e

x

4e

lnx dx

4e

2

1

ln4e 2 lne 2

разную

lnx d lnx

lnx

4e

x

2

e

e

2

e

1

ln 4 1 2 1

1

ln2 4 2ln 4 .

2

2

arctg3

x

2

2

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

dx .

0

4 x2

Решение. Выполним замену переменной в определенном инте-

грале:

x

t

arctg

2 arctg

3

x

2dx

2