Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 334

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

379.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе полный квадрат x2 2x 5 x2 2x 1 4 (x 1)2 22.

arctg

x 1

x2 2x 5

(x 1)2 4

Окончательно получим

x 1

x 2

arctg

C .

2x 5dx

Задачи для самостоятельного решения. Найти неопределен-

ный интеграл посредством метода замены переменной.

sin2

x cosxdx.

Ответ.

sin3 x

x25

(x3

x3 8dx.

Ответ.

8)6 /5 C.

arcsin x

4/3

dx.

Ответ.

(arcsinx)

1 x

Пример 5. Решим следующие примеры, используя метод ин-

тегрирования по частям udv uv vdu .

5.1.		u x;		du dx
	xexdx	x			x
			dx;	v e
	dv e

xex exdx xex ex c.

5.2. (5x 2)cos7xdx

u 5x 2;

du 5dx

(5x 2)sin7x

sin7x

dv cos7xdx;

sin7x

(5x 2)sin7x

sin7x

d(3x)

(5x 2)sin7x

5cos7x

u ln x, du

5.3. x

ln x

ln xdx

dx, v

ln x

Задачи для самостоятельного решения. Найти неопределен-

ный интеграл интегрированием по частям

1. xe5xdx.

Ответ.

e5x

(5x 1) C.

xln(3x 2)dx.

Ответ.

ln(3x 2)

Пример 6. Найти интеграл

2 2x 3

dx .

(x 1)(x2 6x 10)

Решение: Учитывая, что знаменатель имеет однократный действительный (простой) корень x1 1, а так же множитель

(x2 6x 10) с отрицательным дискриминантом (с двумя комплекс- но-сопряженными корнями), разлагаем на простейшие дроби

x2 2x 3	A	Bx C		A(x	2 6x 10) Bx(x 1) C(x 1)
						.

(x 1)(x2 6x 10)	x 1	x2 6x 10			(x 1)(x2 6x 10)
Приравняем числители
A(x2 6x 10) B(x2			x) C(x 1) x2 2x 3.

Из тождественности следует равенство коэффициентов при одинаковых степенях x слева и справа:

x2	A B 1
x2	A B 1
x1	6A B C 2	B 1 A, C 3 A, A 1 A 3 A 2, .
x0	10A C 3

A 6 , B 1 , C 9. 5 5

Подставим найденные коэффициенты в разложение рациональ-

					1					6					x		9
									5								9
ной функции									5			5						.
ной функции		(x 1)(x2				6x 10)			x 1			x2 6x 10						.
		(x 1)(x2				6x 10)			x 1			x2 6x 10
	В итоге получим							x											x
	x2 2x 3			6		dx		x	9				6					(	x	9)dx
											dx			ln		x 1
			dx					5											5
								5											5

	(x 1)(x2 6x 10)		5			x 1	x2 6x 10					5						x2 6x 9 1
	(x 1)(x2 6x 10)		5			x 1	x2 6x 10					5						x2 6x 9 1

				1	x 3	3
	6						9	dx		6
				5		5	9	dx
		ln	x 1								ln	x 1
		ln	x 1								ln	x 1
5					x 3 2	1			5
5					x 3 2	1			5

	x 3
		dx
	5	dx
	5
x 3 2		1
x 3 2		1


				42										d (x 3)2 1
					dx			6				1				42
				5	dx
									ln	x 1							arctg x 3
									ln	x 1							arctg x 3
		x 3 2 1						5			10				x 3 2 1	5
		x 3 2 1						5			10				x 3 2 1	5
6	ln		x 1			1	ln x2 3x 10						42		arctg x 3 C .
6						1							42

5					10								5
5					10								5

Задача для самостоятельного решения. Найти неопределен-

ный интеграл				dx			.		Ответ.		1			1	ln		x 1	C.
ный интеграл							.		Ответ.		2(x 1)				ln	x 1		C.
			(x 1)2(x 1)								2(x 1)			4		x 1
Рассмотрим определенные интегралы, которые вычисляются по
								b
формуле Ньютона – Лейбница f (x)dx F(x)												ba	F(b) F(a).
формуле Ньютона – Лейбница f (x)dx F(x)												ba	F(b) F(a).
								a
Пример 7. Вычислить определенный интеграл
3	dx	1		3	1			2
	dx	1		3	1			2
				1		1				.
	x2	x			3	1			3
	x2	x			3				3
1
								23

	arctg3	x
2

		2	dx.
Пример 8. Вычислить определённый интеграл

0	4 x2

Решение. Выполним замену переменной в определенном инте-

	arctg3	x
2

		2	dx
грале
	4 x2
0

x t arctg 2

dt 2dx , x2 4

x1 0, t1 0,

x2 2, t2 4.

						t4				4
1	4		3		1			/4
1	4				1			/4
		t		dt							.
					2		4				.
2					2		4	0	2048
	0
	0

Задачи для самостоятельного решения. Найти определенный

1		xdx				1
интеграл: 1.				.	Ответ.		.
		2	2

0	(x	1)			4

2.sinxcos2 xdx. Ответ. 1 .

Пример 9. Вычислить определенный интеграл x arctgxdx.

Решение. Выполним интегрирование по частям в определенном интеграле.

1						u arctgx,					du						dx							2			1		1		2
1						u arctgx,					du				x		2							2	arctgx			1	1	x	2
xarctgxdx															x				1				x		arctgx			1		x		dx
																		2
																														2
																x									2		0	20 x		2	1
0						dv xdx,							v			x									2		0	20 x			1
						dv xdx,							v				2
																	2
		11 x2 1 1								11										1 1 dx
			0					dx					0 dx								0
	8	2	0		x2 1			dx	8			2	0 dx							2	0	x2 1
		1		x	1	1	arctgx		1					1											1
		1			1	1			1					1											1
									0																	.
	8	2				2					8			2					8				4		2	.
	8	2			0	2					8			2					8				4		2

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить определенный интеграл.

2		1		xdx				1
1. (3x2	1)dx. Ответ. 6.	2.				.	Ответ.		.
				2	2

0		0	(x	1)			4

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линия-

ми: y

, y 0, x 1, x 3.

x2 1

ln x2

xdx

ln10 ln2

Решение.

ln5.

1 x

2 1

x2 1

3 x

Рис. 4

Пример 11. Найти объем тела, образованного вращением во-

круг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y x3 , x 1, y 0. Решение. Объём тела вращения равен

1		x7	1
V x6dx					.

0	7		0	7

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 9x, y 3x. Ответ. 1/2.

2.Фигура, ограниченная параболой y2 4x и прямой х=4, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

Ответ. 32 .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: Высш. шк., 1999.

Ч. 1. 415 c.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1977. Т. 1.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Практическое занятие № 1 ………………......................

2.Практическое занятие № 2 …………………………….. 11

3.Практическое занятие № 3……………………………... 18

Библиографический список………………………….…..… 26

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим работам для студентов направления подготовки 54.03.01 «Дизайн» (профиль «Промышленный дизайн») заочной формы обучения

Составители: Соколова Ольга Анатольевна Горбунов Валерий Викторович

В авторской редакции

Компьютерный набор О. А. Соколовой

Подписано к изданию 16.11.2021.

Уч.-изд. л. 1,7.

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022235.74 Кб3Учебное пособие 33.pdf
#
30.04.2022378.24 Кб2Учебное пособие 330.pdf
#
30.04.2022378.38 Кб3Учебное пособие 331.pdf
#
30.04.2022378.85 Кб5Учебное пособие 332.pdf
#
30.04.2022379.48 Кб2Учебное пособие 333.pdf
#
30.04.2022379.91 Кб2Учебное пособие 334.pdf
#
30.04.2022380.22 Кб6Учебное пособие 335.pdf
#
30.04.2022380.3 Кб2Учебное пособие 336.pdf
#
30.04.2022380.69 Кб3Учебное пособие 337.pdf
#
30.04.2022381.1 Кб3Учебное пособие 338.pdf
#
30.04.2022381.81 Кб3Учебное пособие 339.pdf