Учебное пособие 334

1)

9x2 4y2 18x 8y 23 0.

Ответ.

X 2

Y 2

1,

O 1;1 .

4

9

1

2)

x2 4y2 6x 16y 11 0.

Ответ.

X 2

Y 2

1, O 3;2 .

4

1

1

O 1; 2 .

3)

y 3x2 6x 5 0.

Ответ. Y 3X 2 ,

1

Пример 2. Найти предел lim

5x2 3x

.

9x4 5

Решение.

x 1

lim 5x2 3x

5lim x2 3lim x

lim

5x2

3x

8

2.

x 1

x 1

x 1

5

lim 9x4 5

9lim x4 lim 5

4

x 1 9x4

x 1

x 1

x 1

3

5

2

7

6x3 5x2 2x 7

x

6

x

x2

x3

lim

lim

4

1

x 3x3 4x2 x 1

x

3

1

x

3

x

x2

x3

6

5

2

7

6

x

x2

x3

lim

2.

4

1

1

3

x

3

x

x2

x3

Здесь было использовано, что при x величины

1

,

1

,

1

x2

x3

стремятся к нулю.

x

x2 3x 10

Пример 4. Найти предел

lim

.

x 2

x2 5x 2

x2

3x 10

(x 2) x 5

x 5 7

lim

lim

lim

.

2

1

x 2

2x

5x 2

x 2

x 2

2x 1 3

2(x 2) x

2

Пример 5. Найти предел lim

sin 3x

.

x 0 sin10x

1-м замечательным пределом lim

sin (x)

1:

(x) 0

(x)

lim

sin3x

lim

sin3x

3 10x

3

0,3.

10sin10x

10

x 0 sin10x

x 0 3x

y

x

(arcsin x)

arcsin

x (x)

1

x2

x

arcsin x

x arcsin x 1 x2

1 x2

.

x2

x2 1 x2

Пример 7. Найти производную сложной функции

y (2x3 5)4.

Решение. Обозначим (2x3 5) u. Тогда

y u4. По правилу

дифференцирования сложной функции имеем

y (u4 )u (2x3 5)x 4u3(6x2 ) 24x2(2x3 5)3.

Решение. y 2sin

cos

1

.

x 1

x 1

2

x 1

Задачи для самостоятельного решения

у=ln

2

(x

3

sin x) . Ответ.

y

2ln(x

3

sin x)

3x2 cosx

1.

.

(x3 sin x)

2.

y sin

x

sin2x. Ответ.

y

2sin

x

cos2x

1

cos

x

sin2x .

2

2

2

2

z

= 3x2 6xy 16y3 1. Рассматривая x как постоянную величину,

x

z

получим

=

3x2 48xy2

4y3

y

15

функции z tg x2

xy 5y2 .

Решение. Рассматривая y как постоянную величину, получим

z

1

(x2 xy 5y2)x

(2x y)

.

2 xy 5y2)

x cos2(x

cos2(x2 xy 5y2)

Аналогично, рассматривая x как постоянную величину, полу-

чим

(x2 xy 5y2)y

z

1

( x 10y)

.

2 xy 5y2)

y cos2(x

cos2(x2 xy 5y2)

Пример 11.

Найти

производные

второго порядка функции

z x4 x5 y3 y3 16.

Решение.

z

4x3 5x4 y3 ;

z

3x5 y2 3y2 ;

x

y

2z

12x

2

20x

3

y

3

2z

5

;

6x

y 6y ;

x2

y2

2z

15x4 y2 ;

2z

15x4 y2.

x y

y x

Задача для самостоятельного решения. Найти частные про-

изводные первого порядка функции

z

x

2

x

z

2x 1 z

x

2x2

. Ответ.

;

.

y

x

y

2

y

2

y y

y2

y3

Пример 12. Даны: функция z 2xy 3y2 , точка A(1,–2) и век-

тор l 9, 12 . Найти: 1)

градиент функции

z 6xy 8y2

в точке

A(1,–2),

2)

производную

в

точке

A

по

направлению

вектора

z

(x,y) 2y,

z

(1, 2) 4,

z

(x,y) 2x 6y,

z

(1, 2) 2 12 10.

x

x

y

y

Градиент

функции

z

имеет

вид

z

z

grad z

i

j (2y)i (2x 6y) j ,

x

y

grad z A ( 4)i

(2 6 ( 2)) j 4i

10 j .

Найдем

косинусы

направляющих

углов,

перейдя от

вектора

l 9, 12 к соответствующему орту

9

12

3

4

l

cos ,cos

,

,

.

5

l

9

2

( 12)

2

9

2

12

2

5

Производная по направлению вектора l

в точке M равна

z

z

cos

z

cos = 4

3

4

52

10

.

l

x

y

5

5

5

Задача для самостоятельного решения. Найти величину и

направление градиента функции z x2 y в точке М (1,2).

Ответ.

z M

4i j ,

grad z

M =

.

grad

17

z

3x2

9y

3x

2 9y 0

x

. Решая систему уравнений, полу-

z

2

3y2

9x 3y

9x 0

y

чим критические точки х1=0;

у1 =0; х2= 3; у2= 3; М1(0,0); М2(3,3).

Найдем вторые производные:

2z

2z

2z

= 6х,

= 9,

= 6у.

x2

x y

y2

В точке М1: А=0, В= 9,

С =0. AC B2 < 0. Экстремума нет.

17

функции f ax dx

1

F ax c . Ответ. zmin

8

.

a

27

9.

dx

arcsinx c

.

1 x

2 arccosx c

dx

arctgx

c

.

10.

1 x

2

arcctgx c

11.

dx

ln

x x2

a2

c .

2

2

x

a

12.

dx

1

ln

a x

c.

a2 x2

2a

a x

Свойства неопределенного интеграла:

1.

Af x dx A f x dx .

2.

f x g x dx f x dx g x dx (верно для любого ко-

нечного числа слагаемых).

3.

Если

f x dx F x c , то

f x b dx F x b c.

4.

f ax dx

1

F ax c .

a

1

5.

f ax b dx

F ax b c.

a

3

2

1

x

x

x x 1

2

1.

dx x

1 x

2 x

dx xdx dx

x2

1

x2

1

x 1