Методическое пособие 704

[x] ,

2[x] ,

3[x] разделите многочлен

f (x) с остатком на

(x x0 )

и найдите значение f (x0 ) :

1)

f (x) 5x5

4x4

7x3

11x2 29,

x

1;

0

2)

f (x) 11x6 6x5 4x4 5x3 x 5,

x 1;

0

3)

f (x) x5

23x3 2x2

x 37,

x

5;

0

4)

f (x) 13x5 5x4 4x2 9x 5,

x 1;

0

5)

f (x) x6

2x4

7x3

3x2

5x 11,

x

1;

0

6)

f (x) x5

2x4

9x3

7x2

5x 17,

x

5;

0

7)

f (x) 3x6 5x5 2x4 11x3 7x2 5,

x 1;

0

8)

f (x) 2x6

3x4

11x3 12x 25,

x

1;

0

9)

f (x) 3x6

x3

28x2

13x 19,

x

1;

0

10)

f (x) 7x6 x4

3x3

10x2 2x 19,

x

1;

0

11)

f (x) x5

39x4

8x3

17x2 5x 7,

x

1;

0

12)

f (x) x5

5x4

8x3

15x 23,

x

5;

0

13)

f (x) 2x5

7x4

8x2

21x 31,

x

1;

0

14)

f (x) 3x5

2x4

7x3

10x 19,

x

1;

0

15)

f (x) x5

6x4

5x3

27x2 55,

x

5;

0

16)

f (x) x6

2x3

35x2

6x 25,

x

1;

0

17)

f (x) x5

3x3

19x2

10x 49,

x

1;

0

18)

f (x) x6

8x3

23x2

51x 91,

x

1;

0

19)

f (x) 2x6

5x5

7x2

8x 73,

x

1;

0

20)

f (x) 7x5

2x3

3x2

11x 19,

x

1.

0

колец [ x] ,

2[x] ,

3[x] . В кольцах

2[x] и

3[x] найдите

линейное представление для унитарного НОД.

1) x5 x4 x3 x2 2x 2,

x5 1;

2) x5 2x4 2x2 7x 6,

x4 x3 4x2 3x 2;

3) 3x5 7x4 x3 2x 5,

x4 1;

4) x6 6x4 4x3 9x2 12x 4,

x5 4x3 2x2 3x 2;

5) 3x5 x4 6x3 3x2 3x 2,

3x4 4x3 3x2 2x 1;

6) x6 3x5 4x4 x3 2x2 5x 3,

x5 2x4 3x3 2x2 7x 4;

7) x5 x4 x3 2x 1,

3x4 2x3 x2 2x 2;

8) x5 x4 x3 3x2 3x 1,

x4 2x3 x2 2x 1;

9) x4 4x3 1,

x3 3x2 1;

10)

x6 4x5 14x3 18x2 11x 6,

x5 2x4 5x3

7x2 4x 3;

11)

x4 2x3 x2 4x 2,

x4 x3 x2 2x 2;

12)

x5 5x4 2x3 12x2 2x 12,

x3 5x2 3x 17;

13)

2x4 3x3 3x2 5x 2,

2x3 x2 x 1;

14)

x4 x3 3x2 4x 1,

x3 x2 x 1;

15)

x5 3x4 4x 8,

x2 4;

16)

3x4 11x3 7x2 x 6,

x3 2x2 2x 3;

17)

x6 2x4 4x3 3x2

8x 5,

x5 x2

x 1;

18)

x5 x4 x3 2x 1,

3x4

2x3

x2 2x 2;

19)

x6 7x4 8x3 7x 7,

3x5 7x3 3x2 7,

20)

x4 x3 4x2 4x 1,

x2 x 1.

множители над каждым из полей

, 2 ,

3 :

1)

x5

x4 x3 8x2 41x 6;

2)

x5 7x3 11x2 5x 30;

3) x5 4x4 7x3 10x2 10x 4;

4) x5 2x4 4x3 4x2 5x 6;

5)

x5

5x4 6x3 11x2 43x 30;

6)

x5 4x4

9x3 19x2 44x 21;

ЗАДАЧА 59. В поле

3[x]

f

найдите сумму, произведение и

обратные элементы для классов [a(x)] f

и [b(x)] f , если:

1)

a(x) x2 x ,

b(x) 2x 2 ,

f (x) x3 2x2 1;

2)

a(x) x 2 ,

b(x) x2 x 2 ,

f (x) x3 2x 1 ;

3)

a(x) 2x2 x 1,

b(x) x 1,

f (x) x3 x2 2 ;

4)

a(x) 2x2 1,

b(x) 2x2 x 1 ,

f (x) x3 2x 2 ;

5)

a(x) x2 2x 2 ,

b(x) 2x 1,

f (x) x3 2x2 1;

6)

a(x) x2 1,

b(x) x2 2x 1 ,

f (x) x3 2x 1 ;

7)

a(x) 2x2 ,

b(x) 2x2 x 2 ,

f (x) x3 x2 2 ;

8)

a(x) x 1,

b(x) x2 x 2 ,

f (x) x3 2x 2 ;

9) a(x) 2x2 x 1,

b(x) x 1,

f (x) x3 2x2 1;

10)

a(x) 2x2 1,

b(x) 2x2 2x ,

f (x) x3 2x 1 ;

11)

a(x) 2x 2 ,

b(x) x2 x 2 ,

f (x) x3 x2 2 ;

12)

a(x) x2

2x 2 ,

b(x) x2 x ,

f (x) x3 2x 2 ;

13)

a(x) x2

2x ,

b(x) 2x2 2x 1 ,

f (x) x3 2x2 1;

14)

a(x) 2x2 2 ,

b(x) x2

2x ,

f (x) x3 2x 1 ;

15)

a(x) x2 1,

b(x) x2

2x 1 ,

f (x) x3 x2 2 ;

16)

a(x) x2

2x 2 ,

b(x) 2x 1,

f (x) x3 2x 2 ;

17)

a(x) 2x2 x ,

b(x) 2x2 x 2 ,

f (x) x3 2x2 1;

18)

a(x) 2x 1 ,

b(x) x2

x 1,

f (x) x3 2x 1 ;

19)

a(x) x2 2x 1,

b(x) x 1,

f (x) x3 x2 2 ;

20)

a(x) 2x 2 ,

b(x) x2

x 2 ,

f (x) x3 2x 2 .

1)

x4 x3 2x2 1 ;

11)

x4 2x 1;

2)

x4 2x3 2x2 1;

12)

x4 x3 1;

3)

x4 x3 2x2 x 2 ;

13)

x4 x2 x 2 ;

4)

x4 2x2 2x 1;

14)

x4 x3 x2 2x 1;

5)

x4 2x3 x2 2x 2 ;

15)

x4 x3 x2 2 ;

6)

x4 2x3 2x2 2 ;

16)

x4 2x3 x2 x 1;

7)

x4 x2 2x 2 ;

17)

x4 2x2 2x 2 ;

8)

x4 2x3 1;

18)

x4 2x2 x 2 ;

9)

x4 2x2 x 1 ;

19)

x4 x3 2x2 x 1;

10)

x4 x3 2x2 2 ;

20)

x4 2x3 x2 2 .

1)

a(x) x5 x3 x2 x 2 ,

b(x) x5 x3 x 1;

2)

a(x) x5 2x4 2x3 2x 2 ,

b(x) x5 x3 2x2 2x 1;

3)

a(x) x5 x3 2x2 x 1,

b(x) x5 x2 x 2 ;

4)

a(x) x5 2x4 2x2 x 1 ;

b(x) x5 x3 x2 2 ;

5)

a(x) x5 2x4 x2 2 ,

b(x) x5 2x3 2x2 2 ;

6)

a(x) x5 x4 x2 2x 1 ,

b(x) x5 2x2 x 1 ;

7)

a(x) x5 2x4 x3 x2 1,

b(x) x5 2x3 2x2 x 1;

8)

a(x) x5 x4 2x3 2x 1 ,

b(x) x5 x4 2 ;

9)

a(x) x5 2x4 2x2 2x 2 ,

b(x) x5 x4 x2 2x 2 ;

10) a(x) x5 2x4 2 ,

b(x) x5 x4 x2 x 1;

13)

a(x) x5 2x4 x3 x 1,

b(x) x5 x3 2x2 x 2 ;

14)

a(x) x5 x4 2x2 1 ,

b(x) x5 2x3

2x2 2x 1;

15)

a(x) x5

2x3 x 1 ,

b(x) x5 2x3

x2

1;

16)

a(x) x5

2x4 2x3 1 ,

b(x) x5

x3 x2 2 ;

17)

a(x) x5 2x2 2x 1 ,

b(x) x5 x4 x2 1;

18)

a(x) x5 x2 2x 2 ,

b(x) x5 x4 x 2 ;

19)

a(x) x5 x 1 ,

b(x) x5

2x3

x2

2x 2 ;

20)

a(x) x5 x4 2x3 2 ,

b(x) x5

2x3

x2

x 2 .

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП, КОЛЕЦ

ЗАДАЧА 62. Найдите подстановку x S9

из уравнения:

а) ax c ,

б)

xb c ,

в)

axb c ,

г) x 1a 1

b , д) a 1xb2 c .

1)

1 2

3 4 5 6 7 8 9

1 2

3 4 5 6 7 8 9

a

,

b

,

4 6

9 5 1 8 2 7 3

5 7

4 6 8 3 2 9 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c

7

4

5

6

9

2

8

1

3

;

2)

1 2

3 4 5 6 7 8 9

1 2

3 4 5 6 7 8 9

a

,

b

,

5 7

4 3 6 1 2 8 9

4 6

8 5 9 7 2 3 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c

7

2

8

5

6

4

1

3

9

;

3)

1 2

3 4 5 6 7 8 9

1 2

3 4 5 6 7 8 9

a

,

b

,

5 3

2 7 6 1 9 8 4

1 2

4 3 7 9 8 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c

4

3

9

7

5

8

1

6

2

;

4)

1 2

3 4 5 6 7 8 9

1 2

3 4 5 6 7 8 9

a

,

b

,

4 6

3 1 8 7 9 5 2

4 5

7 6 2 1 8 3 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c

4

3

2

7

9

6

8

1

5

;

5)

1 2

3 4 5 6 7 8 9

1 2

3 4 5 6 7 8 9

a

,

b

,

1 9

5 8 6 7 3 4 2

3 5

4 7 2 9 8 1 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c

7

6

8

3

9

4

1

2

5

;

6)

1 2

3 4 5 6 7 8 9

1 2

3 4 5 6 7 8 9

a

,

b

,

1 2

6 7 4 3 9 8 5

9 2

4 1 5 6 8 7 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c

;

1

7

6

2

9

8

4

3

5

7)

1

2 3 4 5 6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a

,

b

,

5

6 7 2 1 9

3

8

4

5

6

3

9

8

1

7

2

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c

;

1

2

8

6

9

7

5

3

4

ЗАДАЧА 65. Найдите четность и

декремент подстановки

x S , если известно, что

x 1

a2b 3c 1b , где a , b , c – подста-

9

новки из задачи 66.

ЗАДАЧА 66. На

множестве

G {a, b, c, d}

задана

операция

умножения данной таблицей.

а) Найдите

a b ,

b a ,

(a b) c , a (b c) .

б) Существует ли нейтральный элемент в (G, ) ?

в) Найдите

a 1 , b 1 , c 1 ,

d 1 (если они существуют).

г) Является ли (G, ) группой? В случае положительного ответа

выясните, будет ли эта группа циклической.

1) а)

a

b

c

d

б)

a

b

c

d

a

b

c

d

a

a

a

b

c

d

b

c

a

b

b

b

b

c

d

a

c

d

d

a

c

c

c

d

a

b

d

a

b

c

d

d

d

a

b

c