1.2. Кристаллографические индексы плоскостей

лографические направления (узловые ряды) тремя целочисленными индексами.

ответственно, где , ,

–

= 1

= 2

= 3

Пусть некоторая узловая плоскость отсекает на осях кристаллографиче-

ской системы координат

,

,

отрезки

,

и

со-

ми1 . 2

3

параметры элементарной ячейки (рис. 1.5, а). П о-

скольку мы

рассматриваем плоскость, проходящую через узлы решетки, числа

,

и

могут быть как целыми,

так и дробными, но всегда рациональны-

1 Если числа

,

и

являются иррациональными,

то данная плоскость

не может быть

узловой плоскостью.

1

2

3

Чтобы убедиться в рациональности чисел

,

рассмотрим двумер-

случаю, когда точки пересече-

ную иллюстрацию на рис. 1.5, б, относящуюся к 1, 2, 3

ния A, B рассматриваемой узловой плоскости с осями координат

,

не совпа-

дящие

дают с узлами решетки. Данная плоскость должна проходить

через некоторые

содержат целое ч

и

узлы

и . Узловые ряды, параллельные координатным осям

и прохо-

,

где

– целые числа.

и

через узлы

и пересекаются в некотором узле

. Отрезки

подобны,

:

= 1: 2

1

, 2

и

исло соответствующих осевых единиц

, поэтому мы мо-

. Остается заметить,

Треугольники

и

жем записать

= 1

:

= 1

: 2

= 2

поэтому

отрезки

и

же

отношением:

связаны таким

что величины

и

могут отно-

а

б

Рис. 1.5. Узловая плоскость, отсекающая на осях X, Y, Z отрезки

3 (б)

1 , 2 , 3

(а); к доказательству рациональности параметров 1, 2,

:

:

= 1: 2: 3 = 1: 2: 3.

Более

(1.3)

,

,

,

удобными в практических расчетах являются индексы Миллера,

которые определяются как тройка взаимно простых целых чисел

,

,

, об-

ратно пропорциональных величинам отрезков

отсекаемых плоско-

стью на осях координат:

:

=

:

2 :

Итак, для /

:

/

/

1

3 = : : .

(1.4)

узловой плоскости (и

определения индексов Миллера

всех параллельных ей плоскостей) любой

подходящий узел (не лежащий в дан-

, ,

ной плоскости) выбирают в качестве начала координат, после чего определяют

2,

3

и приводят

,

,

11

12

13

1/ 1

координаты (в осевых единицах)

точек пересечения этой плоскости с

1/

1/

1

1

1

.

:Индексы:

Миллера записывают в

координатными осями

,

,

.

Затем берут обратные к ним величины

,

1

2

3

виде

(символ плоскости1 :). 2

: 3

= : :

к отношению тройки вза-

вают

( )

двойное отношение

имно простых целых чисел:

над числом.

Если индекс отрицателен, знак минус указы-

Рассмотрим в качестве примера определение индексов плоскости

, пока-

занной на рис. 1.6. Выберем начало координат в каком-нибудь

подходящем уз-

α

ле рядом с данной плоскостью, например в отмеченном на рисунке узле

. То-

1 ∞ 1

1

,

,

будут

гда координаты точек пересечения плоскости с осями координат

(101

являются индек-

равны соответственно

,

,

. Обратные им величины 1, 0,

равны

, ,

(начало

β

,

т.е. это плоскость

). Определим

сами Миллера данной плоскости

теперь

1/2 1 2/3

с осями ,

,

индексы Миллера плоскости

. Координаты ее точек пересечения

1

координат выбрано в узле

(423)

чины равны 2,

, 3/2, умножая их на 2, получим индексы плоскости:

.

Наиболее

важные кристаллографические плоскости, характеризующиеся

зультате симметрических преобразований. Совокупность таких симметрически

(111)

эквивалентных плоскостей обозначают символом

(111)

. Например, для кубиче-

из плоскостей

,

,

ских кристаллов символ {111} обозначает любую{ }

Рис. 1.6. Индексы Миллера некоторых плоскостей в кубической

решетке

сти, отсекающей по осям отрезки 1 , 2

, 3 , может( )

. Уравнение плоско-

Найдем вид уравнения плоскости с индексами

1 +

+ 3 = 1.

быть записано в виде

(1.5)

2

′

= /,

,

′

= /

, выраженные в осевых

= /

Заменив для простоты

координаты

,

,

на координаты

′

,

1

2 3

′

′

′

′

′

′

1

2

3

(1.6)

единицах, а также умножая (1.5) на

получим

,

+

+

.

=

,

где

,= ,

2 3

,

лах

′

′

= 1 3

′

=

1 2

′

′

′

′

′

′

(1.7)

Избавляясь от дробей в рациональных чис-

умножением (1.6) на их общий знаменатель, получим

где

– целое число, а

+

+

= ,

целые числа

,

,

– очевидно, индексы Миллера.

Уравнение (1.7)

представляет собой уравнение семейства параллельных

узловых плоскостей с индексами

Значение

соответствует бли-

ния с осью, , легко

1/ 1/

1/

жайшей к началу координат

плоскости из данного семейства, она отсекает на

( ).

= 1

осях

отрезки

,

и

соответственно (координату точки пересече-

найти из уравнения плоскости, положив значения двух других

координат равными нулю). Значение

соответствует следующей по поряд-

ку параллельной плоскости и т.д.

Первой плоскости из данного семейства, для

= 2

, ,

которой точки пересечения со всеми тремя осями

совпадают с узлами

вид

Уравнение плоскости

( ),

=

.

решетки, соответствует значение

ственно на h, k, l частей( ,

)

(1.8)

Важное значение имеет следующая теорема:

в примитивной решетке па-

раллельные плоскости

делят ребра a, b, c элементарной ячейки соответ-

Докажем

+

+

+

+ +

частей, а диагона-

телесную диагональ – на

ли граней – на

,

и

частей.

первое утверждение этой теоремы. Представим уравнение (1.7)

в виде уравнения плоскости в отрезках по осям:

′

+ ′

+

′

= 1.

(1.9)

стояние между

1/ 2/ 3/

видно, что параллельные плоскости данного семейст-

Из этого уравнения /

/

/

ва отсекают по оси

отрезки

,

,

и т.д. (в осевых единицах), т.е. рас-

равно

)

соседними точками пересечения плоскостей с осью

1/(1/ ) =

параллельные плос-

. Параметр ячейки

является осевой единицей, поэтому

1/

кости (

этой ячейки на

одинаковых отрезков.

делят ребро

Аналогично, ребра

и делятся соответственно на

и

одинаковых отрезков.

1.3. Кристаллографические индексы направлений

Каждое кристаллографическое направление (узловой ряд) можно харак-

теризовать тремя индексами, которые определяются следующим образом. Про-

гой узел с

[[000]]

извольный узел данного ряда принимается за начало кристаллографической

числа ,

,

представляют собой

′

′

′

[[ ′′ ′]]

системы координат

, т.е. это узел

. В это м же ряду выбирается дру-

′

′

′

,

,

(узел

некоторыми координатами

). Отметим, что

коэффициенты разложения вектора , со-

единяющего два выбранных узла, по базисным векторам ,

,

: