Пример 3.12. Написать уравнение касательной и нормали к кривой y 2x4 в точке M(1,1).

Решение. Так как y 8x3 , то угловой коэффициент касательной равен y (1) 8 . Касательная: y 1 8(x 1) или

у = 8х 7. Нормаль: y 1 18 (x 1) .

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте определение производной. Каков ее геометрический смысл?

2. Приведите формулы производной суммы, произведения, частного.

3. Выведите формулы дифференцирования тригонометрических функций.

4. Что называется логарифмическим дифференцированием? Приведите примеры.

5. Сформулируйте определение дифференциала функции. 6. Выведите уравнения касательной и нормали к кривой.

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные функций:

1. у= ln 2 (x3 sin x) .

4.НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ

ОДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

4.1.Теорема о корнях производной (теорема Ролля)

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль f(a)=f(b)=0, то внутри промежутка [a,b] существует, по крайней мере одна точка x=c, a<c<b, в которой производная обращается в нуль, т.е. f (c) =0.

Заметим, что соотношения f (c) 0 и f (c) 0 совместимы лишь в том случае, когда f (c) 0 .

Геометрический смысл. Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке производную, пересекает ось Ох в точках (а,0) и (b,0), то на кривой найдется по крайней мере одна точка, касательная в которой параллельна оси Ох (рис. 17).

y

Рис. 17 Замечание 1. Теорема справедлива, если на концах от-

резка функция не обращается в нуль, а принимает равные зна-

чения f(a)=f(b).

Замечание 2. Если производная существует не во всех точках внутри [a,b], то утверждение может оказаться неверным, т.е. на отрезке может не оказаться точки в которой производная обращается в нуль. Например:

51