Методическое пособие 519

= a11a22a33 −a11a23a32 −a12a33a21 + a12a31a23 + a13a21a32 −a13a22a31.

Определители 2 – го и 3 – го порядка обладают одинаковыми свойствами, справедливыми для определителей любого порядка n ≥ 2 .

Определение 2.5. Если в матрице A соответственно поменять местами строки и столбцы, то эту операцию называют транспонированием матрицы A ,

а полученную матрицу AT называют транспонированной по отношению к A .

Свойства определителей

1.При транспонировании матрицы A ее определитель не меняется, т.е.

A = AT .

2.Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак.

3.Если в определителе элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

4.Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5.Если в определителе элементы i - й строки (столбца) являются суммой двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, отличающихся от данного только i - й строкой (столбцом): у одного в i - й строке (столбце) стоят первые слагаемые, а у другого – вторые слагаемые i - й строки (столбца) исходного определителя.

6.Если в определителе к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число k , то определитель не изменится.

7.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

8.Если в определителе все элементы, стоящие под (над) главной диагональю, равны нулю, то определитель равен произведению диагональных элементов.

2.1.2. Матрицы

Определение 2.6. Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m ×n .

31

Обозначение матрицы и ее элементов такое же, как и для квадратной матрицы. Если m ≠ n , то матрица называется прямоугольной. Если A имеет размер

m ×n , то транспонированная матрица AT имеет размер n ×m . Если элементы матрицы A (размера m ×n ) обозначены aij (i =1,…, m; j =1,…, n ), то матрицу A будем описывать так:

A =(aij )i=1,…,m . j=1,…,n

Действия над матрицами

Для суммы матриц справедливы свойства:

Справедливы свойства:

1.k (A + B)= kA + kB .

2.(k1 + k2 )A = k1 A + k2 A .

3.1 A = A .

4.0 A =O .

5.k O =O .

6.(k1 k2 )A = k1 (k2 A).

32

Справедливы свойства:

1.(A B)C = A(B C ).

2.(k A)B = k (AB).

3.A(B +C )= AB + AC .

4.A O =O .

5.AB и BA , вообще говоря, разные матрицы, и при существовании мат-

рицы AB матрица BA может и не существовать.

6. AI = A и IA = A , где I – квадратная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны нулю (матрица I называ-

Обратная матрица

Определение 2.10. Если A - квадратная матрица и det A = 0 , то матрицу

A называют вырожденной. Если же det A ≠ 0 , то A - невырожденная матрица.

Определение 2.11. Если A - невырожденная матрица, то существует матрица, обратная к матрице A , обозначаемая A−1 (матрицу A называют обрати-

ми, матрица, стоящая в правой части (2.10), составлена соответственно из алгебраических дополнений к элементам матрицы A , а затем транспонирована.

33

ней матрицы получается простая формула

Ранг матрицы

Определение 2.12. Пусть A - матрица размера m ×n . Рассмотрим произвольные k строк и k столбцов матрицы A (k ≤ min{m, n}). Определитель по-

рядка k матрицы, элементы которой стоят на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка k матрицы A .

Определение 2.13. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A называется рангом матрицы A и обозначается r = r (A).

Из определения 2.12 следует, что

r (A)≤ min{m, n},

где m - количество строк, а n - количество столбцов матрицы A .

Можно дать другое определение ранга матрицы, эквивалентное определе-

нию 2.13.

Рассмотрим столбцы матрицы A как векторы m - мерного векторного пространства, а строки матрицы A как векторы n - мерного векторного про-

странства. Имеем две системы векторов: одна состоит из n векторов-столбцов

матрицы A , а вторая - из m векторов-строк матрицы A .

Определение 2.13′. Ранг матрицы A равен максимальному количеству линейно независимых векторов-столбцов (векторов-строк) матрицы A (см. оп-

ределение 1.28).

2.1.3. Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений вида

34

где x1,…, xn – неизвестные, aij (i =1, m; j =1, n ) – коэффициенты системы, а bi (i =1, m ) – правые части уравнений, содержит m уравнений с n неизвестными.

Определение 2.16. Набор n чисел (x1,…, xn ) называется решением сис-

темы (2.12), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных в каждое уравнение системы все уравнения превращаются в тождественные равенства.

Если система (2.12) имеет решение, то ее называют совместной, если решений нет, то несовместной.

Определение 2.17. Если система имеет единственное решение, то ее называют определенной. Если решений бесчисленное множество, то неопределен-

ной.

Определение 2.18. Если у системы (2.12) все правые части уравнений равны нулю (bi = 0; i =1,m), то систему называют однородной. В противном случае – неоднородной.

Теорема Кронекера – Капелли. Система (2.12) совместна в том и только томслучае, когдарангматрицысистемыравенрангуеерасширеннойматрицы, т.е.

Если выполнено равенство (2.14), то справедливы следующие утверждения. 1. Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных, т.е.

то система имеет единственное решение.

35

2. Если ранг матрицы системы меньше количества неизвестных, т.е.

то система имеет бесчисленное множество решений. В этом случае хотя бы один из миноров матрицы A порядка r не равен нулю. Этот минор называют базисным минором, а неизвестные, коэффициенты при которых являются столбцами базисного минора, называют базисными неизвестными (переменными). Остальные (n −r ) неизвестных называют свободными, им можно прида-

вать произвольные значения независимо друг от друга. Каждому набору значений свободных неизвестных соответствует одно решение системы.

3. Если система однородна, то она всегда совместна, в частности имеет нулевое решение x1 = 0, …, xn = 0 . Ненулевые решения однородная система

имеет, если r (A)< n .

4. Если система (2.12) имеет одинаковое количество неизвестных и уравнений, т.е. m = n , то при выполнении условия (2.14), вопрос о единственности решения сводится к выполнению неравенства

Иными словами, если выполнено условие (2.17), то система (2.12) (при m = n ) имеет единственное решение. В частности, если (2.12) – однородная система, то выполнение условия (2.17) говорит об отсутствии ненулевых решений; наоборот, если det A = 0 , то у однородной системы есть ненулевые решения.

Решение системы линейных уравнений

Определение 2.19. Две системы линейных уравнений называют эквивалентными, если любое решение одной системы является решением другой системы и наоборот.

Определение 2.20. Преобразование системы уравнений в систему уравнений, эквивалентную исходной, называют эквивалентным преобразованием системы.

Кэквивалентным преобразованиям системы относят:

●умножение левой и правой части какого-нибудь уравнения на коэффициент, не равный нулю;

●перемену местами уравнений системы;

●изъятие из системы одного из двух одинаковых уравнений;

●замену одного из уравнений на сумму этого уравнения и какого-нибудь другого уравнения системы, умноженное на любое число.

36

Метод Гаусса

Метод решения системы линейных уравнений, основанный на эквивалентных преобразованиях системы, – это метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, знакомый всем из школьного курса математики. В процессе применения этого метода получаем ответ на вопрос о совместности системы и, в случае совместности, на вопрос о количестве решений, а также сами решения.

Матричный метод решения системы

Система линейных уравнений (2.12) может быть записана в виде матричного уравнения

т.е. (2.19) – это формула решения уравнения (2.18). Но, зная решение уравнения (2.18), мы одновременно знаем единственное решение системы (2.12). Метод решения системы (2.12) с помощью формулы (2.19) называют матричным методом решения системы n линейных уравнений с n неизвестными (det A ≠ 0 ).

Метод Крамера

Если применима формула (2.19), т.е. матрица системы (2.12) квадратная размера n ×n и невырожденная, то для значений неизвестных в решении системы справедливы формулы

37

она имеет бесчисленное множество ненулевых решений, каждое из которых – это координаты собственного вектора, соответствующего собственному значе-

нию λ .

2.1.5. Квадратичные формы

Здесь aij - коэффициенты квадратичной формы и aij = a ji . Если в квадра-

тичной форме привести подобные члены, то коэффициенты при произведениях различных переменных xi и xj примут вид 2aij .

Определение 2.23. Матрица A =(aij )i=1,n называется матрицей квадра-

j=1,n

тичной формы.

Матрица A является симметричной, т.е. AT = A ( aij = a ji ).

Определение 2.24. Квадратичную форму называют положительно (отрицательно) определенной, если для любого набора значений переменных x1,…, xn , где хотя бы одно из значений не равно нулю, квадратичная форма

принимает положительное (отрицательное) значение. Иными словами, если

x12 +…+ xn2 ≠ 0 , то

39

Замечание 2.1. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Определение 2.25. Главный минор квадратной матрицы A порядка k - это ее минор, стоящий на пересечении первых k строк и первых k столбцов.

Замечание 2.2 (Критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны.

2.2.Тестовые задания и их решения

2.2.1.Вычисление определителей

Тестовое задание 2.1

Решение. В этом задании нужно воспользоваться формулой (2.3) и сравнить значения вычисленных определителей с предлагаемыми ответами:

40