Методическое пособие 401

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1.Название, цель работы.

2.Номер варианта задания и исходные данные.

3.Расчеты в соответствии с вариантом задания.

4.Результаты измерений, представленные в виде таблиц (расчетная величина, измеренная, погрешность).

5.Осциллограммы, графики, диаграммы.

6.Выводы по работе.

2

Лабораторная работа № 1 Движение точки в поле центральной силы

Цель работы: рассчитать движение спутников вокруг планет; изучить законы движения тела в гравитационном поле по эллиптической, параболической и гиперболической траекториям.

Теоретическое введ ение

Задача двух тел часто сводится к задаче движения точки в поле центральной силы. Изучение этой задачи также предполагает рассмотрение законов движения планет, обращения спутников вокруг Земли, движения электронов вокруг ядра (теория Бора), опыта Резерфорда по рассеянию альфа-частиц ядрами атомов золота, движения сферического маятника, шарика в осесимметричной потенциальной яме и т.д.

Один из эффективных способов изучения этого вопроса состоит в применении компьютерных моделей. Лабораторная работа выполняется в редакторе MS Excel [8] Табличный процессор MS Excel является мощным программным средством, объединяющим в себе электронные таблицы, средства визуального программирования и графический модуль, позволяющий построить различные диаграммы, графики и поверхности. Хотя пакет MS Excel имеет меньше возможностей по сравнению со специализированными пакетами (MathCad, MathLab, Math и т.д.), он позволяет реализовать простейшие алгоритмы численного решения дифференциальных уравнений, создать компьютерные модели и решить достаточно широкий круг физических задач. Для этого соответствующие дифференциальные уравнения представляются в конечно-разностном виде [11] и создается макрос (небольшая программа) на языке Visual Basic [2]. Для написания макроса достаточно выбрать: Вид –> Панели инструментов –> Элементы управления –> Кнопка. Необходимо кнопку Command Button1 перенести на таблицу и

3

дважды кликнуть по ней. В появившееся окно следует записать текст программы, которая будет исполняться после запуска. Макрос, произведя расчеты, создает таблицу результатов вычислений, на основе которых стандартными средствами Excel можно построить график изучаемой зависимости.

Движение точки в центральном поле

Рассмотрим материальную точку, движущуюся в центральном поле с потенциальной энергией U=U(r), которая зависит только от расстояния r до центра O. Если это поле притяжения, то на нее действует сила F=F(r), направленная к O (рис. 1). Из законов механики следует:

Таким образом, программа для расчета движения частицы должна содержать цикл, в котором пересчитываются проекции действующей силы, ускорения, скорости, координаты в последовательные моменты времени t.

На рис. 2 представлен результат моделирования движения частицы в поле гравитационных сил притяжения, действующих по закону обратных квадратов; траекторией является эллипс. Из рис. 2(1)) видно, что при малых скоростях точка движется по эллиптической орбите (траектории 1, 2, 3, 4), а при больших – по гиперболе (траектории 5, 6). Критическому случаю соответствует параболическая траектория. На рис. 2(2) представлены результаты расчетов движения частицы в центральном поле, для которого сила не подчиняется закону обратных квадратов. Видно, что траекторией является незамкнутая кривая (розетка). По теореме

4

Бертрана, частица движется по замкнутой траектории в двух случаях: 1) в поле квазиупругой силы (F пропорциональна r); 2) в поле силы притяжения, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния r до центра O.

Рис. 1. Движение точки в поле центральной силы

Рис. 2. Движение точки в поле: 1) гравитационном Земли

По второму закону Кеплера секториальная скорость планеты остается постоянной. Определить секториальную скорость можно следующим образом. Пусть за время dt планета перемещается из A(x,y) в B(x1,y1) (рис. 3). Из геометрических соображений:

5

Рис. 3.Моделирование движение точки в поле центральной силы

Радиус-вектор планеты занимает площадь треугольника OAB. На рис. 3(2) представлены графики зависимости от времени расстояния r от планеты до Солнца, модуля линейной скорости v и секториальной скорости. Видно, что секториальная скорость не изменяется, это и подтверждает второй закон Кеплера. При движении частицы в поле сил отталкивания, подчиняющейся закону обратных квадратов, она движется по гиперболической траектории.

Порядок выполнения работы

1.Изучите теорию движения точки в центрально симметричном поле сил притяжения и отталкивания.

2.Изучите математическую модель явления и алгоритм, позволяющий рассчитать движение точки в поле центральной силы.

3.Промоделируйте движение планеты вокруг Солнца (рис. 4). Для этого наберите программу рис. 5 и запустите ее. Повторите моделирование при других начальных координатах

искоростях планеты. Убедитесь, что при малых скоростях планета движется по замкнутой эллиптической орбите. При увеличении начальной скорости эллипс становится более вытянутым, превращается в параболу (критический случай), а затем в гиперболу.

6

что секториальная скорость планеты остается постоянной (второй закон Кеплера).

5. Предложите способ проверки третьего закона Кеплера, из которого следует, что отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси ее орбиты для любой планеты остается постоянным. Для этого необходимо промоделировать движение планеты при различных ее начальных координатах и скоростях, определить период ее обращения и большую полуось орбиты. Если начальные условия задать так: x0=–20, y0=0, vx=0, vy=6 (все величины в условных единицах), то планета начнет свое движение из точки А(x0,0), лежащей на оси Ox левее нуля, со скоростью, параллельной оси Oy. Через половину периода t1=T/2 она оказывается в точке B(x1,0). Большая ось AB эллипса имеет длину x1–x0 и совпадает с осью Ox. Поэтому большая полуось орбиты a=(x1-x0)/2. Значение x1 и соответствующий ему момент времени t1 могут быть найдены из таблицы, получающейся в результате работы программы. Период обращения планеты T=2*t1.

6. Выполните 5–8 численных экспериментов при различных начальных координатах x и скоростях vy и заполните таблицу. Убедитесь, что во всех случаях коэффициент k, равный отношению квадрата периода к кубу большой полуоси орбиты остается постоянным. Пример приведен в табл. 1.

7. Несколько (3 – 6) раз промоделируйте движение планеты при одинаковых x0 и различных vy, в каждом случае определяя большую полуось a=(x1-x0)/2 орбиты, перигелийное расстояние q (оно равно | x0 | или x1) и эксцентриситет e=1-q/a. Результаты оформите в виде таблицы.

8