Методическое пособие 187

На третьем этапе следует провести корреляционно-регрессионный анализ пред-

ложенных данных (см. Приложение 2.) и записать полученные результаты с выводами во втором разделе.

3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цель и задачи исследования, называется объект и предмет курсовой работы. Объем введения не должен превышать 2-х страниц.

В первом разделе на основании изученных литературных источников ясно и дос-

тупно излагается рассматриваемая тема, освещаются основные понятия этой темы и ее практическое значение (с привлечением конкретных примеров). При этом широко исполь-

зуются учебники, специальные монографии, учебные пособия и методические рекоменда-

ции, материалы периодических экономических изданий. Список литературы должен со-

держать не менее 15 источников, включая ссылки на Интернет-сайты.

При написании данного раздела обязательны ссылки в квадратных скобках на ис-

пользуемые литературные источники. В конце реферата необходимо сформулировать чет-

кие обобщающие выводы об изученной теме и ее практической значимости. Также хоро-

шо бы привести предложения по устранению недостатков и совершенствованию предмета рассмотрения.

Во втором разделе на основании имеющихся данных определяются параметры линейной парной регрессии, производится проверка статистической значимости этих па-

раметров и проводятся их интервальные оценки.

Действия с числовыми данными лучше проводить в последовательности, представ-

ленной в приведенных ниже рекомендациях. При оформлении практической части курсо-

вой работы не следует повторять полностью эти подробные рекомендации, необходимо излагать текст самостоятельно.

2

4. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Провести корреляционно-регрессионный анализ следующих данных:

4.1. Графический метод и линейная регрессия.

Графический метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми признаками генеральной совокупности. Для этого в прямоугольной системе координат необходимо построить график, откладывая по оси ординат индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс – индивидуальные значения фак-

торного (объясняющего) признака X. Совокупность получающихся точек называется по-

лем корреляции или корреляционным полем [1]. На основании полученного графика вы-

двигается гипотеза (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возмож-

ными значениями признаков X и Y носит линейный характер: Y X . Этой связи со-

ответствует выборочное уравнение линейной парной регрессии (см. [1] – [5])

где a и b – статистические оценки параметров α и β, – случайная ошибка (отклонение,

возмущение).

Так как отклонения для каждого конкретного i–го наблюдения случайны и их зна-

чения в выборке неизвестны, то, как правило, считается, что – случайная величина с не-

зависимыми значениями и характеристиками M( ) 0, D 2

3

Оценки а и b параметров α и β проводятся по результатам выборки xi; yi , i 1,2,..., n с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Формально критерий МНК можно записать так:

i 1

Из (3) следует, что оценки b и а равны

(7)

Выборочное уравнение линейной парной регрессии в этих обозначениях имеет вид:

4.2. Расчет параметров уравнения линейной парной регрессии.

С помощью данных, приведенных в исходной таблице, и формулы (4) проводятся

соответствующие расчеты:

4

Выборочные дисперсии и среднеквадратические отклонения согласно (6) равны

Для выборочной ковариации и выборочного коэффициента корреляции имеем

cov x, y xy x y 126678,67 192,1 715,33 10736,22,

Коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признака-

ми могут быть слабыми и высокими (тесными). Эти критерии оцениваются следующим образом [4]:

Таблица 1. Шкала Чеддога

Связь между признаками также характеризует и знак коэффициента регрессии b

(или rxy ): если b 0, то связь между признаком Y и фактором X прямая, иначе – обратная.

В нашем примере rxy 0,7357 и связь между Y и X высокая и обратная.

Уравнение линейной парной регрессии для исходных данных имеет вид

или

5

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент b = –3,46 показывает среднее изменение результативного показателя

(в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением x на 1 единицу y понижается в среднем на –3,46. Коэффициент a = 1379,33 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко к выборочным значениям. Если же х=0

находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привес-

ти к неверным результатам, и даже, если линия регрессии довольно точно описывает зна-

чения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого на-

блюдения.

4.3. Ошибка аппроксимации. Дисперсионный анализ.

Необходимо оценить качество уравнения линейной регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации (среднее отклонение рас-

четных значений от фактических) равна

Поскольку ошибка меньше 15%, то (9) можно использовать в качестве выборочного ли-

нейного уравнения парной регрессии.

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой перемен-

ной c использованием тождества ( [2] – [5])

i 1

сумма квадратов отклонений.

Степень близости связи признака Y и фактора X к линейной связи характеризует-

ся коэффициентом парной корреляции rxy. Для любой формы корреляционной зависимо-

сти теснота связи определяется с помощью выборочного корреляционного отношения [5]

6

При линейной регрессии Y на X выборочное корреляционное отношение равно

n

rxy , т.к. согласно (2) и (7) yi y xi 2 n y2 1 rxy2 .

i 1

Квадрат выборочного корреляционного отношения называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объяснен-

ную вариацией факторного признака. Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

В рассматриваемом случае R2 rxy2 0,73572 0,5413,, т.е. в 54.13 % случаев изме-

нения х приводят к изменению y. Другими словами, точность подбора уравнения линейной парной регрессии – средняя. Остальные 45.87 % изменения Y объясняются факторами,

не учтенными в модели.

4.4. Интервальная оценка для коэффициента корреляции.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции rxy определяется форму-

лой ([1], [2])

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=28 находим tкрит(n–m–1;α/2) = tкрит(28; 0.025) = 2.048, где m = 1 - количество объясняющих перемен-

ных. Поскольку в нашем случае tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве нулю ко-

эффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически значим.

4.5. Интервальные оценки параметров уравнения регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина

7

S2y = 33699,64 – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг

линии регрессии); Sy Sy2 33699,64 183,57– стандартная ошибка оценки (стан-

дартная ошибка регрессии).

Для стандартного отклонения Sa случайной величины a имеем

В свою очередь, стандартное отклонение Sb случайной величины b равно

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надеж-

С вероятностью 95% можно утверждать, что значения параметров и бу-

дут лежать в найденных интервалах.

4.6. Проверка гипотез относительно уравнения линейной парной регрессии.

F – статистика

Проверка значимости модели линейной регрессии проводится с использованием

F–критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии ос-

таточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение Fтабл с k1=m и k2=n-m-1 степенями свободы больше фак-

тического значения F при заданном уровне значимости, то модель считается значимой,

где m – число факторов в модели.

Оценка статистической значимости линейной регрессии производится по следую-

щему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически не-

значимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.

2. Далее определяется фактическое значение F– критерия [4]:

где учтено, что m=1 для парной регрессии.

8