4.2. Метод вращения вокруг проецирующих осей

Метод заключается в том, что геометрический объект (прямую или плоскость) вращают вокруг проецирующей оси i до положения параллельности какой-либо плоскости проекций. В результате вращения геометрический объект проецируется на плоскость проекций в натуральную величину. На рис. 4.6 в наглядной форме представлено вращение точки А вокруг горизонтально-проецирующей оси (рис. 4.6, а) и вокруг фронтально-проецирующей оси (рис. 4.6, б).

Из приведенных схем видно, что если точка вращается вокруг горизонтально-проецирующей оси, то её горизонтальная проекция перемещается по дуге окружности, а фронтальная - по прямой линии, параллельной оси ОX. При вращении вокруг фронтально-проецирующей оси наблюдается обратная картина.

а) б)

Рис. 4.6. Вращение вокруг проецирующей прямой

Чтобы определить натуральную величину прямой необходимо повернуть ее в пространстве вокруг проецирующей оси (рис. 4.7). Если ось проходит на некотором расстоянии от прямой, то следует повернуть две точки прямой (рис. 4.7, а). Вращение выполнено вокруг фронтально-проецирующей оси. Если ось проходит через одну из точек принадлежащих прямой, то точка, лежащая на оси вращения, своего положения в пространстве не меняет, перемещаться будет только одна точка (рис. 4.7, б). Вращение выполнено вокруг горизонтально-проецирующей оси.

На рис. 4.8 дано решение задачи по определению натуральной величины плоскости заданной треугольником АВС. Треугольник расположен перпендикулярно к плоскости проекций П₁, т.е. является горизонтально проецирующей плоскостью. Проводим ось вращения через вершину треугольника С перпендикулярно П₁.

а) б)

Рис. 4.7. Определение натуральной величины прямой

Рис. 4.8. Определение натуральной величины плоскости

Горизонтальная проекция треугольника, повёрнутого до положения параллельного оси ОХ, расположит плоскость треугольника параллельно плоскости П₂. Определим в новом положении этой проекции положение точек А₁' и В₁'. Так как точка С лежит на оси вращения, она своего положения в пространстве не изменит. Так как горизонтальные проекции точек А и В перемещаются по окружности, то траектория фронтальных проекций точек А и В будет представлять собой прямую, параллельную оси Х. Проведя из точек А₁', В₁' линии связи перпендикулярно к оси Х и продолжив их до пересечения с траекторией соответствующих точек, получим новое положение фронтальной проекции треугольника. Она будет представлять собой истинную величину треугольника АВС.

Метод совмещения представляет собой частный случай вращения вокруг линии уровня. За ось вращения в этом случае принимают один из следов плоскости. Сущность метода заключается в том, что плоскость вместе с объектом, находящимся в ней, вращают до совмещения с плоскостью проекций.

4.3. Метод плоскопараллельного перемещения

Плоскопараллельное перемещение – это вид механического движения объекта, когда каждая его точка перемещается в плоскости, параллельной какой-либо плоскости проекций, в результате чего объект перемещается на новое место и ему придаётся новое положение.

Различают плоскопараллельное перемещение относительно плоскости П₁ – ППП(П₁) и относительно плоскости П₂ – ППП(П₂).

При плоскопараллельном перемещении объекта относительно плоскости П₁ горизонтальная проекция объекта изменяет свое положение, не изменяя своей формы и размеров (рис. 4.9, а). Фронтальная проекция объекта при этом изменяется по форме и размерам, а каждая точка объекта перемещается по прямым линиям, параллельным оси ОX. Обратная картина наблюдается при ППП(П₂) (рис. 4.9, б).

Для решения задачи по определению натуральной величины отрезка прямой общего положения необходимо сделать одно перемещение и разместить одну из проекций так, чтобы она стала параллельна оси ОХ (рис. 4.9, а). Расположим отрезок параллельно фронтальной плоскости проекции. При таком его положении горизонтальная проекция отрезка А₁В₁ расположится параллельно оси ОХ. Эта проекция может быть вычерчена в любом месте чертежа.

Следует учесть, что расстояние между точками А₁ и В₁ не изменится, т.е. А₁'В₁'=А₁В₁. Затем через концы фронтальной проекции отрезка проводим линии (траектории движения) параллельно оси ОХ. Пересечение этих прямых с линиями проекционной связи определяют концы новой проекции отрезка и его натуральную величину (рис. 4.9, а).

На рис. 4.9, б решена задача по определению натуральной величины треугольника АВС, расположенного перпендикулярно фронтальной плоскости проекций.

В любом месте чертежа вычерчиваем параллельно оси ОХ фронтальную проекцию А₂'В₂'С₂'=А₂В₂С₂. Новая горизонтальная проекция А₁'В₁'С₁', построенная по исходной горизонтальной проекции и новой фронтальной проекции определит истинную величину треугольника АВС.

а) б)

Рис. 4.9. Два вида плоскопараллельного перемещения

Для решения задачи на определение натуральной величины плоскости общего положения, заданной треугольником АВС, совершают два плоскопараллельных перемещения: сначала относительно плоскости проекций П₁, а затем относительно П₂ (рис. 4.10).

Целью первого перемещения является перевод плоскости из общего положения в проецирующее. Плоскость станет проецирующей, если будет содержать прямую, перпендикулярную плоскости проекций. В качестве такой прямой используют горизонталь. При первом перемещении проекция натуральной величины горизонтали плоскости А₁1₁ занимает положение, перпендикулярное оси ОХ. В новом положении А₁'В₁'С₁'=А₁В₁С₁.

Для построения А₁'В₁'С₁' опустим из точки В₁ перпендикуляр на горизонтальную проекцию горизонтали и отметим точку К₁. Далее проведём горизонталь перпендикулярно оси ОХ. На этой проекции горизонтали отметим точку А₁', 1₁' и точку К₁'. Из точки К₁' восстановим перпендикуляр К₁'В₁'=К₁В₁. Соединяем точку А₁' с точкой В₁'. Получим А₁'В₁'=А₁В₁. Затем точку В₁' и точку 1₁' проведём В₁'С₁', равную В₁С₁ (рис. 4.10). Соединив точку С₁' с точкой А₁', получим А₁'С₁'=А₁С₁. Таким образом, получим ΔА₁'В₁'С₁'=ΔА₁В₁С₁. Новая фронтальная проекция А₂'В₂'С₂' построена по исходной фронтальной проекции и новой горизонтальной проекции. Она представляет собой фронтальную проекцию плоскости, перпендикулярной плоскости П₂.

Целью второго перемещения является перевод плоскости из проецирующего положения в положение, параллельное плоскости проекции П₁. Расположив проекцию В₂'А₂'С₂' параллельно оси ОХ, построим горизонтальную проекцию по проекциям В₂'А₂'С₂' и В₁'А₁'С₁'. Горизонтальная проекция В₁''А₁''С₁'' будет представлять собой истинную величину треугольника (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Двойное плоскопараллельное перемещение

Вопросы для самоконтроля

1. Какие бывают пути перехода от общего положения геометрического объекта к частному?

2. Сущность метода замены плоскостей проекций.

3. Опишите решение задачи нахождения натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций.

4. Опишите решение задачи нахождения натуральной величины проецирующей плоскости методом замены плоскостей проекций.

5. Какая последовательность решения задачи по нахождению натуральной величины плоскости общего положения методом замены плоскостей проекций?

6. Сущность метода вращения вокруг оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций.

7. Ход решения задач по нахождению натуральной величины отрезка прямой и проецирующей плоскости методом вращения.

8. Опишите метода плоскопараллельного перемещения.

9. Опишите решение задачи нахождения натуральной величины отрезка прямой методом плоскопараллельного перемещения.

10. Ход решения задачи по нахождению натуральной величины плоскости общего положения методом плоскопараллельного перемещения.